导数公式的证明最全版.docx

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导数公式的证明最全版

导数的定义：

f'（x）=limAy/Ax

△x宀0（下面就不再标明Axt了）

用定义求导数公式

（1）f（x）=xAn

证法一：

（n为自然数）

f（x）

=lim[（x+A-xAn]/Ax

=lim（x+-A）[（x+Ax）A（n+x*（x+Ax）A2）+…+xA（n-2）*（x+Ax）+xA1）j/Ax

=lim[（x+Ax）/-（t）+x*（x+Ax）A2）+...+xA（n-2）*（x+Ax）+x-in]

=xA（n-1）+x*xA（n-2）+xA2*xA（n-3）+…xA（n-2）*x+xA（n-1）

=nxA（n-1）

证法二：

（n为任意实数）

f（x）=xAn

lnf（x）=nlnx

（lnf（x））'=（nlnx）'

f（x）/f（x）二n/x

f（x）=n/x*f（x）

f（x）=n/x*xAn

f（x）=nxA（n-1）

（2）f（x）=sinx

f（x）

=lim（sin（x+-sinX）/Ax

=lim（sinxcosAx+cosxsinx）/AxXx

=lim（sinx+cosxsin-sinx）/xAx

=limcosxsinAx/Ax

=cosx

（3）f（x）=cosx

f（x）

=lim（cos（x+-ctosx）/Ax

=lim（cosxcos-sinxsin-Acxx）/Ax

=lim（cosx-sinxsin-Aos）/Ax

=lim-sinxsinAx/Ax

=-sinx

（4）f（x）=aAx

证法一：

f（x）

=lim（aA（x+-aAx）/Ax

=limaAx*（aA-1）/xAx

（设aAA-1=m,贝卩Ax=logaA（m+⑪

=limaAx*m/logaA（m+1）

=limaAx*m/[ln（m+1）/lna]

=limaAx*Ina*m/ln（m+1）

=limaAx*lna/[（1/m）*ln（m+1）]

=limaAx*lna/ln[（m+1）A（1/m）]

=limaAx*Ina/lne

=aAx*Ina

证法二：

f（x）=aAx

Inf（x）=xIna

[lnf（x）]'=[xlna]'

f（x）/f（x）=lna

f（x）=f（x）Ina

f（x）=aAxIna

若a=e,原函数f（x）=eAx

则f'（x）二eAx*Ine=eAx

（5）f（x）=IogaAx

f（x）

=lim（IogaA（x+-logxAx）/Ax

=limIogaA[（x+Ax）/x]/Ax

=limIogaA（1+Ax/x）/Ax

=limIn（1+Ax/x）/（lna*Ax）

=limx*ln（1+Ax/x）/（x*Ina*Ax）

=lim（x/Ax）*ln（1+Ax/x）/（x*lna）

=limIn[（1+△x/x）八（x/△x）]/（x*Ina）

=limIne/（x*Ina）

=1/（x*Ina）

若a=e，原函数f（x）=IogeAx=Inx

贝卩f'（x）=1/（x*Ine）=1/x

（6）f（x）=tanx

f（x）

=Iim（tan（x+-△nx）/△x

=Iim（sin（x+△x）/cos（x+nx/ob^）/△x

=Iim（sin（x+△x）Coxcos（k+△x）/（△xcosxcos（x+△x））

=Iim（sinxcos△xcosx+sin△xcosxcosx

sinxcosxcos△x+sinxsinxsin△x）/（△xcosxcos（x+△x））

=Iimsin△x/（△xcosxcos（x+△x））

=1/（cosxF2二secx/cosx=（secx）A2=1+（tanx）A2

（7）f（x）=cotx

f（x）

=Iim（cot（x+-cMx）/△x

=Iim（cos（x+△x）/sin（x+-cos2x/x）nx）/△x

=Iim（cos（x+

=Iim（cosxcos

cosxsin△xcosx）/（

△xjsinxsin（x+△x））/（△xsinxsin（x+△x））

△-sSnsinxsin-cosxsinxcos-△x

△xsinxsin（x+△x））

=Iim-sin△x/（△xsinxsin（x+△x））

=-1/（sinx）八2二-cscx/sinx=-（secx）八2=-1-（cotx）八2

（8）f（x）=secx

f（x）

=lim（sec（x+Asx）dx）/Ax

=lim（1/cos（x+-t/cx$x）/Ax

=lim（cosx-cos（x+Ax）/（AxcosxcosAx）

=lim（cosx-cosxcosAx+sinxsinAx）/（Axcosxcos（x+Ax））

=limsinxsinAx/（Axcosxcos（x+Ax））

二sinx/（cosx）A2=tanx*secx

（9）f（x）=cscx

f（x）

=lim（csc（x+Adxcx）/Ax

=lim（1/sin（x+-A/x）nx）/Ax

=lim（sinx-sin（x+Ax））/（Axsinxsin（x+Ax））

=lim（sinx-sinxcosAixAxcosx）/（Axsinxsin（x+Ax））

=lim-sinAxcosx/（Axsinxsin（x+Ax））

=-cosx/（sinx）A2二-cotx*cscx

（10）f（x）=xAx

Inf（x）=xInx

（Inf（x））'=（xlnx）'

f（x）/f（x）=lnx+1

f（x）=（lnx+1）*f（x）

f（x）=（lnx+1）*x^x

（12）h（x）=f（x）g（x）

h'（x）

=lim（f（x+△x）g（fx）g（x））/Ax

=lim[（f（x+-f（A）x）f（x））*g（x+Ax）+（ggx+-g（x+xAx））*f（x）]/Ax

=lim[（f（x+-f（A）x*g（x+Ax）+（g（xJ（x）Af（x）+f（x）*g（x+-f（x）*g（x+Ax）]/Ax

=lim（f（x+Afxx））*g（x+Ax）/Ax+-g（x）^*f（A））t）Ax

=f（x）g（x）+f（x）g'（x）

（13）h（x）=f（x）/g（x）

h'（x）

=lim（f（x+Ax）/g（xf（x）g（xx）/Ax

=lim（f（x+Ax）6

=lim[（f（x+-f（A）x）f（x））*g（x）-（g（x+Ag（x）+g（x））*f（x）]/（Axg（x）g（x+Ax））

=lim[（f（x+Afx）））*g（x）-（g（x+Ag（x））*f（x）+f（x）g（x）-f（x）g（x）]/（Axg（x）g（x+Ax））

=lim（f（x+-Axx）*g（x）/（Axg（x）g-（g（x+AA（g（x））*f（x）/（Axg（x）g（x+Ax））

=f（x）g（x）/（g（x）*g（x））-f（x）g'（x）/（g（x）*g（x））

=[f（x）g（x）-f（x）g'（x）]/（g（x）*g（x））x

（14）h（x）=f（g（x））

h'（x）

=lim[f（g（x+-f（gxx））]/Ax

=lim[f（g（x+-g（k）+g（x））f（g（x））]/Ax

（另g（x）二u,g（x+Ax）（x）二A）

=lim（f（u+-Au））/Ax

=lim（f（u+-Au））*Au/（Ax*Au）

=limf（u）*Au/Ax

=limf（u）*（g（x+-g（x））/x）Ax

=f（u）*g'（x）=f,（g（x））g'（x）

（反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1）

（15）y=f（x）二arcsinx

贝卩siny=x

（siny）'=cosy

所以

（arcsinx）'=1/（siny）'=1/cosy

=1/“1inyF2

（siny=x）

=1/V-kA2

即f'（x）=1/“1

（16）y=f（x）=arctanx

贝卩tany=x

（tany）'=1+（tanyF2=1+xA2

所以

（arctanx）'=1/1+xT

即f'（x）二1/1+xA2

总结一下

（xAn）'二nxA（n-1）

（sinx）'二cosx

（cosx）'=-sinx

（aAx）'=aAxIna

（eAx）'=eAx

（logaAx）'=1/（x1na）

（Inx）'=1/x

（tanx）'=（secx）A2=1+（tanx）A2

（cotx）'=-（cscx）A2=-1-（cotx）A2

（secx）'=tanx*secx

（cscx）'=-cotx*cscx

（xAx）'=（Inx+1）*xAx

（arcsinx）'=1/-x91

（arctanx）'=1/1+xA2

[f（x）g（x）]'=f（x）g（x）+f（x）g'（x）

[f（x）/g（x）]'=[f（x）g（x）-f（x）g'（x）]/（g（x）*g（x））

[f（g（x））]'=f'（g（x））g'（x）