函授高数专升本复习题doc.docx

函授高数专升本复习题doc.docx

《函授高数专升本复习题doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函授高数专升本复习题doc.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

函授高数专升本复习题doc

高等数学复习题

（函授专升本）

第一章一元函数微积分概要

1、求下列各极限

x—xo「e~e③lim

xt。

sinx

⑤lim

xtO+

2、试解下列各题

②lim（yjx2+x-Vx2+1

X->4-00\

④limxsin—+—sinx

XT°kXX

[sint2dt

⑥lim——

iox6

%1设y=arctan（e'）,求y\yr\dy.

%1设y=f（y）,求矿,y〃.

—x=ln（l+x2）dyd2y

%1设*，，求竺竺g・

y=t-arctanxdxdx

%1设y=l-xe、'，求空及在点（0,1）处的切线与法线方程。

dx

%1设I=xcosx,求/（%）.

⑥求函数y=2x3-6x2-18x-7的单调区间与极值。

3、求下列各积分

②^r\l-r2dr

⑨J2（3%5s^r2x\^x

cr2/\ZxeX<1

⑩[f⑴如其中'⑴=22

^5A.

第二章微分方程

1、求下列一阶微分方程的通解或特解

%1矿=刈；

③yf+y=e~x；

⑤xyr=yin—；

x

2、求下列二阶微分方程的通解或特解

①矿，="广；

②y，=e2"y（o）=一?

；

④xyr+y-sinx=O,y|x=;r=1；

⑥xyf+y=2^/xyo

%1（1+、2））〃=2工矿，y（0）=l,yr（0）=3；

%1y〃+25y=0,y（0）=2；矿（0）=5；

%1yn-^-y'=%2+2%；

%1yrr-y=xe2x；

y,r-yf-2y=3e~x

y（O）=O,y'（O）=l

4、设f（x）为连续函数，旦满足方程=f（x）一尸―1,求f（x）o

5、设某曲线上各点的法线都通过点（a,b）,求此曲线方程。

6、设某曲线y=f（x）经过点（0,1）且在此点与直线y=|+l相切，并满足方程y"=x,切此曲线的方程。

7、设质量为秫的质点从液面由静止开始在液体中下降，假定液体的阻力与速度v成正比，试求质点下降时的位移x与时间f的函数关系。

第三章空间解析几何与向量代数

1、试解下列各题

%1设向Sa=i-2j+2k,b=3i-4k,求a-b>axbcos（瓦B）、及目的方向余弦；

%1已知三点A（l,2,3）,3（3,4,4）,C（l,0,4）,求同时垂直于而，京的单位向量,及三角形AA3C的面积；

%1已知向量同=1,网=20与5之间的夹角为三,求以行，5为邻边的平行四边形的对角线的长；

%1已知向量2=（化1,2）,5=（2,-2,3）相互垂直，求■的值。

2、试解下列各题

2z=y2

%1求VOZ面上曲线'绕Z轴旋转所得的旋转曲面的方程，并画出旋转曲面的

x-0

图形。

%1画出由曲面z=6-x2-y2,z=^x2+y2所围成的立体的图形，并求这两张曲面的交线在xoy面上投影曲线的方程。

%1求球心在点（1,2,3）,并与xoy面相切的球面方程。

①过点（1,2,—3）,旦与平面x+2y—3z=9平行;

②过点（0,-2,3）,且与直线号=.=辛垂直;

③过X轴和点（3,2,1）；

④过点（2,一1,3）和直线^±1=z_1=£±2

4、求下列直线方程

①用点向式与参数式方程表示直线

x+2y-z=7-2x+y+z=7

②求过点（0,2,4）,旦与两平面x+2z=l和y-3z=2均平行;

5、

③求过点1,0）,且和直线z0：

^=2±Z=|垂直相交。

求点（1,2,1）至U平面x+2y+2z—10=0的距离。

6、

求点（-1,2,0）在平面x+2y-z+i=0上投影点的坐标。

第四章多元函数微分学

1、

已矢n/（w,v）=w2-v2,求；

2、

求函数z=ln（y—x）+

a/x

22

-x-y

的定义域;

z=xln（.xy）；

3、

求下列函数的一阶偏导数

①z=x3y+cos（x+2y）；

⑤Z=f（工2_y2

z=f（x2+y2,en!

①设z=e*,，求dz；

5、求下列函数的二阶偏导数

②设w=xy~,求dw

yz8^z8^z

①设z=arctan；,求忘，苛，咨;

②设z=f（2y+l,xy）,求暮。

oxoyox&y

6、求下列隐函数的偏导数或全微分

设由方程x+2y-3z=W确定z是的函数，求—.

dxdy

设由3xyz=z3确定z（x,y）,求—.

dxdy

设z=c（x+y—z）,求dz.

7、设z=y+0（"）,其中0（"）可微,

27

u=x-y,

证明:

dzdz

yFx——xa

dxdy

8、多元函数微分学的在几何上的应用

%1求曲面ez-z+xy=3在点（2,1,0）处的切平面与法线方程。

%1求曲线x=acos0,y=asin3,z=bO在点0=0处的切线与法平面方程。

X=

%1求曲线■,在点（1,1,1）处的切线与法平面方程。

%1求曲面Z=xy平行与平面x+3y+z+9=o的切平面方程。

9＞求函数z=x3+y3-3xy的极值。

10、要造一个容积为V的长方形无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使表面积最小。

11、证明曲面=J^上任一点的切平面在三个坐标轴上的截距之和为常

数。

第五章多元函数积分学

1、画出下列各积分区域，并改变积分次序

%1_[*匚丁

（2）公。

%1「妇：

”（3）如

2、求下列二重积分

%1JJ（2x+y）dcr,D:

.r+y<1,.r>0,y>0.

D

%1。

尤其中D是由两条抛物线y=4x,y=x2所围成闭区域。

D

由曲线xy=l,y=x,x=2围成。

pi,siny,

%1』弘J—dyo

%1jjcos（尤之+,D:

7i20.D

%1JJ（*2+y2）姑'D：

x2+y2<2axD

3、求由旋转抛物面z=6-x2-y2与锥面z=yjx2+y2所围成立体的体积。

4、求下列各曲面的面积

①球面x2+y2+r=4含在圆柱面./+y2=l内的那部分曲面。

②锥面lM+V被柱面z2=2x所割下部分的曲面。

5、求下列各三重积分

①~ydxdydz,:

由平面xH-y+z=l,工=0,y—0,z=0所围成°

%1+Q:

由抛物面捉+/=2［与平面2=2围成。

%1x2+y2+Z2dv,Q：

x2+y2+z2<2z=

6、将三重积分jJLW+y”q：

R7^

7、求下列各曲线积分

%1j（x2+y2）nds,L:

x2+y2=a2<,L

%1pk*,L：

从点（0,0）到点（1,1）的直线段。

L

%1^xds,L:

由y=x,y=x2所围成区域的整个边界。

L

%1^2ydx+x2dy,L：

曲线y=x2上从点（0,0）到点（2,4）的弧段。

L

8、用格林公式求下列曲线积分

%1J（尤3-子刃必:

+何？

一）3）"乙：

%2_py2-4正向一周。

L

%1｝（2尤》一尤2）故+（尤+y2）dy,其中L是由抛物线y=x2,y2=x所围成闭L

区域的正向边界曲线。

%1siny-2y+尤）故+（e*cosy+y）dy，L:

从点（q,0）到点（一。

0）的上L

半圆周y=yja2—x2（q〉0）。

9、试确定a.b的值，使得（oxy，_y2cosx）dx+（y+》ysini+3x2y2）dy为某函数的全微分，并求出一个这样的函数。

10>设曲线积分广（尤2+29（x））y+与路径无关，其中伊（尤）可导，且

伊

（1）=0,求9（x）及当A（l,0）,3（2,2）时的积分值。

第六章无穷级数

1、判定下列级数的敛散性

2、

00

①Z

n-\

On

③yin

"=1〃+1

oo_2

⑤沃

n-\乙

判定下列级数的绝对与条件收敛性

②

3"

④

.71sin—

n

n-l

ooqwM

⑥

〃=1汨

00

①"E

1111

n=l〃十1

%1—+—+

In2In3In4In5

3、

求下列幕级数的收敛半径与收敛区间

®t^nn=\n

4、

③£5

n-\

n2

求下列幕级数的和函数

"2）"

00

④g汨

co/

①£成（-2

COn

②切日（一3<心）

5、

求下列函数的麦克劳林级数

ln（2+x）；

6、

7、

③x•arctanx；

fcost2dt；

Jo

将f（x）=——展开成X-1的蓦级数。

\'.r2+3.r+2

TT

将/（x）=sinx展开成x+子的幕级数。

模拟试卷

%1.填空题（共21分，每小题3分）

1.limn[ln（n+l）-lnn]=；n—>oo

2.设=x2sinx,贝U/（x）=；

3.设z=f（x2-y2\贝【Jx—+=；

dydx

4.改变积分次序gdxf/（x,y）dy=；

2

5.将三重积分+Q•.扣+y2gv』a2-x2-y2表

Q

示成球面坐标系下的三次积分:

6.设L是圆周x2+y2=a2,则j（x2+y2\ds=

L

7.将-展开成x-2的幕级数为。

x

%1.选择题（共9分，每小题3分）

1.曲线

%=上点（1,1,1）处的法平面方程为（

Z=1

2.下列级数中条件收敛的级数为（

（A）*1）4

n=ln

00

（D）Z（-l）"ln"2。

n=l

3.设f（x,y）在点（J，%）的某个领域内有定义’旦九（和y0）=fy（xoJ%）=。

，则（）

（A）f（x,y）在（和光）的连续；

（B）z=f（x,y）在（了0,光）的全微分为0；

（c）f（x,y）在（和光）有极值；

（D）曲线刃在（哗%，f（x0-%））点处有切线，且切线平行于X

〔y=%'

轴。

%1.计算题（共40分，每小题8分）

1.求积分;

2.设ez-xyz=0,求dz；

3.求通解xyr=3y+x2；

4.求极值f{x,y）=x3-y2-3x；

5.求曲线积分-尤2）弘+（尤+y2）dy,

L

其中L是由抛物线y=x2,y2=x所围成闭区域的正向边界曲线。

四（10分）求球面x2+y2+z2=5被平面z=1,z=2所夹部分的曲面面积。

rV2V3x"

五（10分）求幕级数一+—+—+•••++…的收敛区间及和函数。

22-223-23n-T

fftrs_q—X

六（10分）求初值问题\y~y~y~e。

项0）=0,y'（O）=l