二次函数专题复习.doc
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二次函数专题复习
考点一 二次函数的概念
一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．
注意：
（1）二次项系数a≠0；
（2）ax2＋bx＋c必须是整式；（3）一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；（4）自变量x的取值范围是全体实数．
考点二 二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
图象
（a＞0）
（a＜0）
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标
增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
考点三 二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系
考点四 二次函数图象的平移
抛物线y＝ax2与y＝a（x－h）2，y＝ax2＋k，y＝a（x－h）2＋k中|a|相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同．它们之间的平移关系如下表：
考点五 二次函数关系式的确定
（1）一般式：
.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：
已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：
考点六 二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．[来源:
学&科&网]
2．ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是抛物线与x轴交点的横坐标．
3．当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
1.抛物线的对称轴是（）
A． B． C． D．
2.抛物线的顶点坐标是（）
A．（2，3）B．（－2，3）C．（2，－3）D．（－2，－3）
3.（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为
A．B．
C．D．
类型一：
二次函数的图象
1.（2012•泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
B．C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
2.（2011•湘潭）在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ）
3.（2010•达州）抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（ ）
A．y=x2-2x+3 B．y=-x2-2x+3 C．y=-x2+2x+3 D．y=-x2+2x-3
4.（2011•威海）二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．-1＜x＜3 B．x＜-1 C．x＞3 D．x＜-3或x＞3
5.已知函数y1=x2与函数y2=-x+3的图象大致如图．若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（ ）
A．-＜x＜2 B．x＞2或x＜-C．-2＜x＜D．x＜-2或x＞
类型二：
二次函数的性质
（2010•兰州）二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是（ ）
A．（-1，8） B．（1，8） C．（-1，2） D．（1，-4）
（2010•毕节地区）已知抛物线y=-2（x-3）2+5，则此抛物线（ ）
A．开口向下，对称轴为直线x=-3B．顶点坐标为（-3，5）
C．最小值为5D．当x＞3时y随x的增大而减小
（2012•德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（ ）
A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3
类型三：
二次函数的增减性
1.已知函数，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且-3对应的函数值的大小关系是（ ）
A．y3>y2>y1 B．y1>y3>y2 C．y20
2
2.小明从右边的二次函数图象中，观察得
出了下面的五条信息：
①，②，③函数的最小值为，④当时，
，⑤当时，．你认为其中正确
的个数为（ ）
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5
3.若的为二次函数的图像上的三点，则y1,y2,y3的大小关系是（）
A.y14.从y=x2的图象可看出，当－3≤ｘ≤－1时，ｙ的取值范围是
A、ｙ≤0或 B、0≤ｙ≤9 C、0≤ｙ≤1 D、1≤ｙ≤9
5.小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点（－1，y1），（，y2），
（－3，y3），则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（ ）
A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1C.y3>y1>y2D.y3>y2>y1
二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号
【例2】如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点（－1,2）和（1,0），且与y轴交于负半轴．
（1）给出四个结论：
①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0，其中正确结论的序号是__________；
（2）给出四个结论：
①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确结论的序号是__________．
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b2－4ac＞0；②abc＞0；③8a＋c＞0；④9a＋3b＋c＜0.
其中，正确结论的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
（2012•玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x=1，有如下结论：
①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，
则正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
（2012•威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．abc＞0 B．3a＞2bC．m（am+b）≤a-b（m为任意实数） D．4a-2b+c＜0
（2011•兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：
（1）b2-4ac＞0；
（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
四、确定二次函数的解析式
【例】已知一抛物线与x轴的交点是A（－2,0），B（1,0），且经过点C（2,8）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求该抛物线的顶点坐标．
1.在直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕O点按逆时针方向旋转900到△COD。
（1）求C，D两点的坐标；
（2）求经过C，D，B三点的抛物线解析式。
3、如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．
⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；
2.如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点。
点A,C的坐标分别是（－1，0），（0，）。
（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP的面积的最大值。
3.已知直线y＝－2x＋b（b≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y＝x2－（b＋10）x＋c.
⑴若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y＝－2x＋b上，试确定这条抛物线的解析式；
⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y＝－2x＋b的解析式.
4．已知抛物线y=（1-m）x2+4x-3开口向下，与x轴交于A（x1,0）和B（x2,0）两点，其中xl（1）求m的取值范围；
（2）若x12+x22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；
5．如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A（0,6），D（4，6），且AB=2.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在
（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBD=S梯形ABCD。
若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.
中考压轴题分析：
1.如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点．
（1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标；
（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：
（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．
2.如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）,交x轴于点A（3,0），交y轴于点B
（1）求抛物线和直线AB的解析式;
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及;
（3）在
（2）中是否存在一点P，使，若存在，求出P点的坐标;若不存在，请说明理由.
3．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在
（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？
若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如果点P是
（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？
若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
A
x
y
B
O
9
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