（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数的图像于点F，分别联结OE、OF，当∽时，请直接写出满足条件的所有的值．
【答案】
（1）；
（2）；（3）或．
【解析】解：
（1）∵，，
∴，∴；
（2）∵，∴，
∴，∴；
（3），
当时，，
∴，，
∴，∴；
当时，，
∴，
∴，∴；
综上：
或．
【总结】本题综合性较强，一方面考查了锐角三角比在函数背景下的运用，另一方面考查了点的坐标与距离间的关系，注意对符号的判定．
1、知识内容：
在以几何为背景的此类压轴题中，几何推导的过程较为复杂，往往需要多次运用边、角关系的代换才能得到最终结果；在计算上也经常需要借助函数、方程的思想，来求得最后的解答。
2、解题思路：
（1）寻找或证明两个三角形中一定相等的两个角；
（2）计算或表示出夹此两角的四条边；
（3）根据比例关系列出方程，解出未知边的长度等要求，并代回验证．
【例5】如图1，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=4．M、N分别是边AD、BC上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME//DN，MF//AN，联结EF．
（1）如图2，如果EF//BC，求EF的长；
（2）如果四边形MENF的面积是面积的，求AM的长；
（3）如果BC=10，试探求、、能否两两相似？
如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．
【答案】
（1）EF的长是2；
（2）AM的长为1或3；（3）．
【解析】解：
（1）∵EF//BC，AD//BC，∴EF//AD，∴．
又∵EM//ND，FM//NA，∴，．
∴，即AM=MD．∴AE=EN，DF=FN．
∴．
（2）∵EM//DN，MF//AN，∴，．
∴，．
又∵，∴．
∴或．
∴AM的长为1或3．
（3）先考虑与，
∵，∴或．
分情况讨论
时，可得：
．
过A作AH⊥BC于H，可得：
，，．
∴，．
∴．
又∵，
∴．
∴当，时，三个三角形两两相似．
时，可得，，与情况①相同．
综上所述，．
【总结】本题综合性较强，考查了梯形背景下的面积问题及相似三角形的存在性问题，注意利用梯形的性质进行分析．
【例6】如图1，已知在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．
（1）求证：
∠BCD=∠BDC；
（2）如图1，若以P为圆心、PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，
求DP的长；
（3）如图2，点E在BC的延长线上，且满足DP=CE，PE交DC于点F，若和
相似，求DP的长．
图1图2
【解析】
（1）略；
（2）DP的长为；（3）DP的长为．
【解析】解：
（1）作DG⊥BC于G，可得，，，．
∵，∴，∴．
∴，∴∠BCD＝∠BDC．
（2）设DP=x，则．∵，
∴，．∵两圆外切，∴．
∴，解得：
；
（3）作PM//BE，∴PM=DP=x，．
由，．
当∽时，，即，解得：
（舍）；
当∽时，，即，解得：
；
∴DP的长为．
【例7】如图，已知BC是半圆O的直径，，过线段BO上一动点D，作交半圆O于点A，联结AO，过点B作，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F．
（1）求证：
；
（2）设，，求关于的函数关系式；
（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当与相似时，求BD的长度．
【答案】
（1）略；
（2）；（3）BD=．
【解析】
（1）证明：
∵ADBC，BHAO，∴∠ADO=∠BHO=90°
在ADO与BHO中，，
∴ADO≌BHO，∴OH=OD
又∵OA=OB，∴AH=BD；
（2）联结AB、AF
∵AO是半径，AO弦BF，∴，∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB．
在RtADB与RtBHA中，
∴RtADB≌RtBHA，∴∠ABF=∠BAD，∴∠BAD=∠AFB．
又∵∠ABF=∠EBA，∴BEA∽BAF，∴，∴．
∵，∴．
∵∠ADO=∠ADB=90°∴，，
∴=．
∵直径BC=8，BD=，∴
∴．
（3）联结OF
∵∠GFB是公共角，∠FAE>∠G
∴当FAE∽FBG时，∠AEF=∠G
∵∠BHA=∠ADO=90°
∴∠AEF+∠DAO=90°，∠AOD+∠DAO=90°
∴∠AEF=∠AOD
∴∠G=∠AOD
∴AG=AO=4
∵∴∠AOD=∠AOF
∴∠G=∠AOF，又∴∠GFO是公共角
∴FAO∽FOG
∴
∵，AB=AF∴
∴，解得：
是原方程的解．
∵>4，∴舍去，
∴BD=．
【总结】本题主要考查圆背景下的函数解析式及相似的存在性问题，主要运用了圆心角定理、全等的性质、勾股定理及相似三角形的判定等知识点．
【例8】如图，在中，，，BC=7，点D是边延长线上的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，联结CE交AB于点G．
（1）当点E是BD的中点时，求的值；
（2）的值是否随线段AD长度的改变而变化，如果不变，求出的值；
如果变化，请说明理由；
（3）当与相似时，求线段AF的长．
【答案】
（1）；
（2）；．
【解析】解：
（1）∵AE⊥BD，BE=DE，∴AB=AD，
∵，，BC=7，
∴，∴，
∵，∴，
∵AE⊥BD，∴，
∴，
∵BF∥CD，∴，∴
∴；
（2）的值不变．
∵，∴，
又，∴∽，∴，
∵，，∴，
∵，∴∽，∴，
∴；
（3）∵与相似，又∽，
∴∽，∵，
，∴，又，∴，
∵，∴，
∴，∵，，∴，
过点B作BH⊥CE于点H．∴，，∴，
∵，∴．
【习题1】已知抛物线（）经过A（，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线（）的解析式，并求出顶点P的坐标；
（2）求∠APB的正弦值；
（3）直线与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当与相似
时，求点M的坐标．
【答案】
（1）（1，）；
（2）；（3）M点坐标为或．
【解析】解：
（1）将A、B两点代入，解得：
，．
∴抛物线为，顶点P的坐标为（1，）；
（2）作AH⊥BP于H，可得：
，．
∴，
∴．
（3）∵为直角三角形，
∴为直角三角形，点M在C的左侧．
∴．
∴或．
又∵，，，
∴或．
∴M点坐标为或．
【总结】本题综合性较强，考查的内容比较多，包含了二次函数的解析式及顶点坐标的确定，还有几何图形的面积的确定，以及相似背景下的点的坐标的确定，解题时注意进行分析，不要漏解．
【习题2】如图，已知矩形ABCD中，AB=12cm，AD=10cm，⊙O与AD、AB、BC三边都相切，与DC交于点E、F．已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm/s、xcm/s、1.5cm/s，当点Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动．设运动时间为t（单位：
s）．
（1）求证：
DE=CF；
（2）设x=3，当与相似时，求t的值；
（3）设关于直线PQ对称的图形的，当t和x分别为何值时，点A′与圆
心O恰好重合，求出符合条件的t、x的值．
【答案】
（1）略；
（2）t的值为或；（3），．
【解析】
（1）设⊙O分别切AD、AB、BC于M、N、T，作OH⊥DC于H，
连接OM、OT、OD、OC，
∴，，EH=FH，
∴四边形ABTM为长方形．
∴AM=BT．∴DM=CT．
又∵OM=OT，，
∴．
∴OD=OC．∴DH=CH．∴DE=CF．
（2）当时，，，，，且．
∵，∴或．
∴或．
解得：
（负舍）或．
∴当与相似时，t的值为或．
（3）连接AO，MN，
∵四边形MANO为正方形，
∴MN垂直平分AO，即A、O两点关于直线M、N对称．
∴符合条件时，P在M点，Q在N点．
此时，，．
【总结】本题综合性较强，主要考查动点背景下的相似问题，注意分类讨论．
【作业1】如图，中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F、G．
（1）求线段CD、AD的长；
（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结EF，当与相似时，求线段CE的长．
【答案】
（1），；
（2）（）；
（3）CE的长为或．
【解析】解：
（1）∵CD⊥AB，
∴，，
∴，．
（2）∵，，∴．
∴，∴，
∴（）；
（3）∵，分情况讨论：
①时，，∴EF//DC．
∴，即．
解得：
．
②时，，∴．
又∵CF⊥DE，∴．
∴．
综上所述：
CE的长为或．
【总结】本题主要考查直角三角形背景下的相似三角形的存在性问题，注意对基本模型的归纳总结，解题时注意进行分类讨论．
【作业2】如图，在中，，，，点D是边AC上的一点，AD=8．点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D．点F是边AC上一动点（点F不与A、C重合），作，交射线BC于点G．
（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；
（2）当点G在边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结EG，当与相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G
与圆E可能产生的各种位置关系．
【答案】
（1）半径为5；
（2）；（4（3）与相交或外离．
【解析】
（1）设AD的垂直平分线与AB交于点E，垂足是点H．
在中，由，AD=8，
得：
AE=5，EH=3．
所以圆E的半径长等于5；
（2）∵，，∴．
又∵，∴∽．
∴．∴．
化简得：
（4（3）①当点G在边BC上时，
与相似，有两种可能．
当时，可得：
CF//EG．
易证四边形HCGE是平行四边形．
∴，．
∵，∴两圆外离．
当时，延长EF与BC的延长线相交于点M，
可证得，由≌，可得：
点F是CH的中点．
∴，，．
∵，，∴两圆相交．
当点G在BC延长线上时，
与相似，只能是．
设EG与AC交于点N,
易证：
点N是EG的中点．
由≌，
可得CG=3，．
∵，
∴两圆外离．
综上所述：
当与相似时，与相交或外离．
【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，主要是几何图形背景下的圆与圆的问题关系，解题时注意对相似性质的综合运用．
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