六年级下册奥数精讲精练最大公约数与最小公倍数 全国通用.docx

六年级下册奥数精讲精练最大公约数与最小公倍数 全国通用.docx

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六年级下册奥数精讲精练最大公约数与最小公倍数全国通用

第十讲最大公约数与最小公倍数

如果一个数同时是几个数的约数，那么我们就称它为这几个数的公约数.几个数的公约数中最大的一个，称为这几个数的最大公约数.

如果一个数同时是几个数的倍数，那么我们就称它是这几个数的公倍数.几个数的公倍数中最小的一个，称为这几个数的最小公倍数.

求最大公约数和最小公倍数一般有以下几种方法.

1．短除法：

例1求8，12，18的最大公约数和最小公倍数.

解：

求最大公约数和最小公倍数的最常用的办法就是短除法.具体作法如下：

8、12、18的最大公约数为2.

8、12、18的最小公倍数为2×2×3×2×3＝72

我们习惯上用（8，12，18）表示，8，12，18的最大公约数，即：

（8，12，18）＝2用［8，12，18］表示8，12，18的最小公倍数，即

［8，12，18］＝72

短除法的长处在于它可同时求出最大公约数和最小公倍数.在求三个以上数的最大公约数和最小公倍数时，尤其简便.

2．分解质因数法：

分解质因数是求最大公约数的最直接的方法.但往往被忽视.

解：

化简分数实际上就是求分子分母的最大公约数.如果用短除法，就会发现很难找出其公有的质因数.但很容易看出6933是3的倍数，25421是11的倍数.

实际上，只要将分子分母分解质因数，就很容易看到结果.6933＝3×2311

25421＝11×2311

无论是短除法，还是分解质因数法，在质因数较大时，都会觉得困难.这时就需要用新的方法.

3．辗转相除法：

例3从一张长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是

毫米.

解：

剪的过程如图所示

第一、二次剪下847×847平方毫米的正方形.

第三、四次剪下边长308毫米的正方形.

第五次剪下边长231毫米的正方形.

第六、七，八次剪下边长77毫米的正方形.

以上的解题过程，实际上给出了求最大公约数的另一个办法——辗转相除法.以上过程可用算式表示如下：

2002＝847×2＋308

847＝308×2＋231

308＝231×1＋77

231＝77×3

由以上算式可以看出；这种方法就是用大数除以小数，再用上次运算中的除数除以余数，如此反复除，直至余数为零.最后一个除数就是两数的最大公约数.这是因为；两个数的最大公约数，同时是两个数的约数，也就是余数的约数.拿这道题来说，2002和847的公约数，也就是847与308的公约数，也就是308与

231的公约数，也就是231与77的公约数.由于231是77的倍数，所以它们的

最大公约数就是77，即2002与847的最大公约数.辗转相除法的竖式格式如下：

最大公约数与最小公倍数的一个重要性质是：

两个数的乘积等于其最大公约数与最小公倍数的乘积.

例4求36953与59570的最大公约数.解法1：

用辗转相除法

（36963，59570）＝37

解法2：

上面的方法计算量很大.能否简化运算呢？

通过观察容易发现，36963有约数3×3.而59570没有质因数3.59570有质因数2和5，36963没有质因数2和5.所以可以从36963中分解出3×3，从59570中分解出2×5，再求其余部分的最大公约数.

36963＝3×3×4107

59570＝2×5×5957

（36963、59570）＝37

由此可见，求最大公约数的几种方法并非是截然分开的.还可把他们结合起来使用.

例5下面两个算式中，得数较大的是哪一个？

分析：

如要算出得数，计算量很大.比较一下两个式子.括号内都是两个分子为

1的分数相加.如果能使括号外部分相同.那么括号内部分就比较好比较了.解：

［30，40］＝120

最大公约数与最小公倍数的性质，在解题中会经常遇到.

解：

光明区获奖人数占参赛学生总数的：

中心区获奖人数占参赛学生总数的：

朝阳区获奖人数占参赛学生总数的：

所以参赛学生总数，应是72，56，90的倍数.

［72，56，90］＝2520

所以参赛学生总数是2520的倍数.由已知参赛学生共有2000多人，可知参

赛人数就是2520人.

设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷井时，另一个跳了米.

“最小公倍数”.但两数都是分数，它们的“最小公倍数”是什么意思？

如何求呢？

求两分数分子的最小公倍数.

［36，99］＝396

两分数的“最小公倍数”规定为化为同分母后，以分子的最小公倍数作为分子，相同分母作分母的分数.

所以狐狸跳11次掉进陷井.再来看看黄鼠狼.

［99，22］＝198

所以黄鼠狼比狐狸先掉进陷井.它掉进陷井时，狐狸跳了

例8一条公路由A经B到C.已知A、B相距280米，B、C相距315米.现要在路边植树，要求相邻两树间的距离相等.并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵.那么两树间距离最多有多少米？

由上面两个例题可以看出，最大公约数与最小公倍数的概念，如果必要也可以扩展到分数的范围.

习题十1．求35，98，112的最大公约数与最小公倍数.

2．求403，527，713的最小公倍数.

3．求83613与121824的最大公约数.

4．老师将301个笔记本，215支铅笔和86块橡皮分给班里同学，每个同学得到的笔记本、铅笔和橡皮的数量相同.那么，每个同学各拿到多少？

5．两个合数的积是5766，它们的最大公约数是31.那么，这两个数是多少？

6．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504.如果其中一个数是42，那么另一个数是多少？

7．某校全体学生列队.不论他们人数相等地分成2队、3队、4队、5队、6队、7队、8队、9队，都会多出1人.那么该校至少有多少名学生？