新课标全国3卷高三最新信息卷理数三.docx

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新课标全国3卷高三最新信息卷理数三

2019年新课标全国3卷高三最新信息卷

理科数学（三）

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．[2019·江师附中]集合Ax1x2，Bxx1，则AeRB（）

A．xx1B．xx1C．x1x2D．x1x2

【答案】D

【解析】∵eRBxx1，∴AeRBx1x2，故选D．

2．[2019呼·和浩特调研]若复数2ai1i（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，

则实数a为（）

A．2B．2C．

1

2

D．

1

2

【答案】D

【解析】∵2ai1i2a12a1i在复平面内所对应的点在虚轴上，

∴2a10，即1

a．故选D．

2

3．[2019蚌·埠质检]某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点

击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也

不同员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖则他获得奖次的不同情形种数为（）

A．9B．12C．18D．24

【答案】C

【解析】根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，

则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，

则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有

3

226种情况，

则他获得奖次的不同情形种数为3618种；故选C．

4．[2019惠·来一中]平面向量a与b的夹角为

π

，a2,0，b1，则a2b（）

3

A．23B．6C．0D．2

【答案】D

【解析】∵a2,0，∴a2，∴

π

ababcos1，

3

∴

22

a2ba4ab4b4442．故选D．

5．[2019江·西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果S1320，则判断框中应填入（）

A．k12B．k11C．k10D．k9

【答案】D

【解析】初始值k12，S1，

执行框图如下：

S112121320，k12111；k不能满足条件，进入循环

S12111321320，k11110；k不能满足条件，进入循环；

S132101320，k1019，此时要输出S，因此k要满足条件，∴k9．

故选D．

6．[2019四·川诊断]几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）

A．729B．428C．356D．243

【答案】D

【解析】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥PABCD，底面是边长为9的正方形，

高PA9，

∴几何体的体积为

1

2

V99=243．故选D．

3

7．[2019唐·山一中]已知0ba1，则在

b

a，

a

b，

a

a，

b

b中最大值是（）

A．

a

bB．

a

aC．

b

aD．

b

b

【答案】C

【解析】∵0ba1，∴

x

ya和

x

yb均为减函数，∴

ba

aa，

ab

bb，

又∵

b

yx在0,为增函数，∴

bb

ab，即在

b

a，

a

b，

a

a，

b

b中最大值是

b

a，故选C．

8．[2019·宜宾诊断]已知直线l1：

3xy60与圆心为M0,1，半径为5的圆相交于A，B两点，另一

直线

l：

2kx2y3k30与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最大值为（）

2

A．52B．102C．521D．521

【答案】A

【解析】以M0,1为圆心，半径为5的圆的方程为

2

215

xy，

联立

3xy60

2

xy

2

15

，解得A2,0，B1,3，∴AB中点为

33

22

，

而直线

l：

2kx2y3k30恒过定点

2

33

22

，要使四边形的面积最大，

只需直线

l过圆心即可，即CD为直径，此时AB垂直CD，

2

22

AB210310，

∴四边形ACBD的面积最大值为11102552

SABCD．故选A．

22

9．[2019吉·林实验中学]一个正三棱锥（底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心）的四

个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（）

A．

33

4

B．

3

3

C．

3

4

D．

3

12

【答案】C

【解析】设正三棱锥底面中心为O，连接OP，延长CO交AB于D，则3

CDOC．

2

∵O是三棱锥PABC的外接球球心，∴OPOC1，∴

3

CD，∴BC3．

2

∴

1133

2

VS△OP31．故选C．

PABCABC

3344

10．[2019四·川诊断]已知函数

π

fxsinx0,的最小正周期为π，其图象向左

2

平移

π

个单位后所得图象关于y轴对称，则fx的单调递增区间为（）

6

A．

5ππ

kk，kZB．ππ,ππ

π,πkk，kZ

121236

C．

5ππ

2kπ,2kπ，kZD．

1212

π5π

kπ,kπ，kZ

1212

【答案】B

【解析】由fx的最小正周期为π，∴2，

fx的图象向左平移

π

个单位后所得图象对应的函数为

6

π

ysin2x，

3

因其图象关于y轴对称，∴

ππ

k，kZ，

π

32

∵

π

，则

2

π

，∴

6

π

fxsin2x，

6

由

πππ

2kπ2x2kπ，kZ，得

262

ππ

kxk，kZ．

ππ

36

即fx的单调递增区间为

ππ

kk，kZ．故选B．

π,π

36

11．[2019·厦门一中]已知数列an的前n项和为Sn，直线yx22与圆

2222

xya交于An，

n

*

BnN两点，且

n

1

2

SAB．若

nnn

4

2

a12a23a3nanan2对任意

*

nN恒成立，则实数的取

值范围是（）

A．0,B．

1

2

C．0,D．

1

2

【答案】B

【解析】圆心O0,0到直线yx22，即xy220的距离

22

d2，

2

由

2

212

dABr，且

nn

2

1

2

SAB，得

nnn

4

2

2Sn2an2，∴4Sn2SnSn12，

即

S22S2且n2；∴Sn2是以a12为首项，2为公比的等比数列．

nn1

由

2

2Sn2an2，取n1，解得a12，

∴

n

﹣1，则2n12

S；

S2a22

n1n

∴

n1nn

aSS122222n2，

nnn

n

a12适合上式，∴a2；

n

设

23n1n

Ta12a23a3na22232n12n2，

nn

234nn1

2T22232n12n2，

n

∴

n

12312121111

nnnnnn

T22222n222n21n22；

n

12

∴

n1

Tn122，若

n

2

a12a23a3nanan2对任意

*

nN恒成立，

即

2

n1n

n12222对任意

*

nN恒成立，即

n

n

2

1

1

对任意

*

nN恒成立．

设

n1nn12n

b，∵b1b1，∴b1b2b3b4bnbn1，

nn1nnnnn

2222

故

b的最大值为

n

bb，

23

∵

1

bb，∴

23

2

λ

1

2

．故选B．

12．[2019四·川诊断]已知定义在R上的函数fx关于y轴对称，其导函数为fx．当x0时，不等式

xfx1fx．若对xR，不等式eee0

xfxxaxaxfax恒成立，则正整数a的最大值为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】∵xfx1fx，∴xfx1fx0，

令Fxxfx1，则Fxxfxfx10，

又∵fx是在R上的偶函数，∴Fx是在R上的奇函数，

∴Fx是在R上的单调递增函数，

xfxaxfaxxax，可化为exfex1axfax1，

又∵eee

x

即FeFax，

xax恒成立，又∵Fx是在R上的单调递增函数，∴e0

xx令e

gxax，则gxea，

∵a0，∴gx在,lna单调递减，在lna,上单调递增，

∴

gxaaa，则1lna0，

minln0

∴0ae，∴正整数a的最大值为2．故选B．

第Ⅱ卷

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分．

yx1

13．[2019全·国大联考]若实数x，y满足2xy2

，则zx2y的最小值为_______．

xy3

【答案】11

yx1

【解析】作出不等式组2xy2

表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

xy3

平移直线x2y0，可知当直线过点C时，z有最小值，

联立

2xy2

xy3

，解得

x

y

5

8

，故C5,8，

则z的最小值为52811．故答案为11．

14．[2019云·师附中]在1和2之间插入2016个正数，使得这2018个数成为等比数列，则这个数列中所有

项的乘积为______．

【答案】

1009

2

【解析】根据等比数列的性质可得

a1a2018a2a2017a3a2016a1009a10102，

∴这个数列中所有项的乘积为

1009

2，故答案为

1009

2．

15．[2019南·洋中学]已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x0时，

2

fxx6，则x0时，不等

式fxx的解集为_______．

【答案】2,

【解析】∵函数fx是定义在R上的奇函数，∴当x0时，x0，

∴

26

fxx，由奇函数可

26

fxx，

∴不等式fxx可化为

x

0

2

x6x

，解得x2；

∴x0时，不等式fxx的解集为2,，故答案为2,．

16．[2019扬·州中学]已知双曲线

22

xy

221a0,b0

ab

的左、右焦点分别为F1、F2，直线MN过F2，且与

双曲线右支交于M、N两点，若cosF1MNcosF1F2M，

FM

1

FN

1

1

2

，则双曲线的离心率等于_______．

【答案】2

【解析】如图，由cosF1MNcosF1F2M可得F1MNF1F2M，

∴F1MF1F22c，F1N2F1M4c，

由双曲线的定义可得MF22c2a，NF24c2a，∴MN6c4a，

在

△中由余弦定理得

FMN

1

cos

FMN

1

22222

2c6c4a4c3c6ac2a

22c6c4ac3c2a

，

在

△中由余弦定理得

FFM

12

cos

FFM

12

222

2222

ccacca

22c2c2a2c

，

∵

cosFMNcosFFM，∴

112

22

3c6ac2aca

c3c2a2c

，整理得

22

3c7ac2a0，

∴

3e7e20，解得e2或1

2

e（舍去）．∴双曲线的离心率等于2．故答案为2．

3

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）[2019保·山统测]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

2

BC

a2b2c12cos．

2

（1）求角C；

（2）若c23，求△ABC周长的最大值．

【答案】

（1）2π

C；

（2）423．

3

【解析】

（1）由

2

BC

a2b2c12cos得a2b2ccosA．

2

根据正弦定理，得sinA2sinB2cosAsinC，

化为sinA2sinAC2cosAsinC，整理得到sinA2sinAcosC，

∵sinA0，故cos1

C，

2

又0Cπ，∴2π

C．

3

（2）由余弦定理有

2222cos

cababC，故

2212

abab，

整理得到

2

ab

2

ab12ab12，故ab4，

2

当且仅当ab2时等号成立，∴周长的最大值为2223423．

18．（12分）[2019柳·州模拟]某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气

质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：

该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，

把该直方图所得频率估计为概率．

（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多

少天的空气质量达到优良？

（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；

（3）从这10天的数据中任取三天数据，记表示抽取空气质量良的天数，求的分布列和期望．

【答案】

（1）11月中平均有9天的空气质量达到优良；

（2）7

PA；（3）见解析．

15

【解析】

（1）由频率分布直方图，知这10天中1级优1天，2级良2天，3-6级共7天．

∴这10天中空气质量达到优良的概率为3

P，

10

∵

3

309

10

，∴11月中平均有9天的空气质量达到优良．

（2）记“从10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量优良”为事件A，

则

12

CC7

28

PA，即恰好有一天空气质量良的概率

3

C15

10

7

15

．

（3）由题意得的所有可能取值为0，1，2，

03

CC7

28

P0；

3

C15

10

12

CC7

28

P1；

3

C15

10

21

CC1

28

P2．

3

C15

10

∴的分布列为：

∴0717213

E．

1515155

19．（12分）[2019全·国大联考]如图，在四棱锥SABCD中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，

点O是AC的中点，点S在底面ABCD上的射影为点O，点P在棱SD上，且四棱锥SABCD的体积为2

3

．

（1）若点P是SD的中点，求证：

平面SCD平面PAC；

（2）若SPSD，且二面角PACD的余弦值为10

10

，求的值．

【答案】

（1）见解析；

（2）1

4

．

【解析】

（1）∵点S在底面ABCD上的射影为点O，∴SO平面ABCD，

又四边形ABCD是边长为2的正方形，且四棱锥SABCD的体积为

2

3

，

∴

12

22

SO，即SO1，∴SC2，

33

又CD2，点P是SD的中点，∴CPSD，同理可得APSD．

又APCPP，∴SD平面PAC，

又SD平面SCD，∴平面SCD平面PAC．

（2）如图，连接OB，易得OB，OC，OS互相垂直，

分别以OB，OC，OS的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，

则A0,1,0，C0,1,0，S0,0,1，D1,0,0，

∵SPSD，点P在棱SD上，∴01，

又SD1,0,1，∴SP,0,，∴P,0,1，

nAP0

设平面PAC的法向量为nx,y,z，则

，

nAC0

xy1z0

∵AP,1,1，AC0,2,0，∴

，2y0

令z，可得x1，∴平面PAC的一个法向量为n1,0,，

又平面ACD的一个法向量为OS0,0,1，二面角PACD的余弦值为

10

10

，

∴cosOS,

n

OS

OS

n

n

1

22

10

10

，即

2

8210，

解得

1

4

（负值舍去）．

20．（12分）[2019柳·州模拟]如图，已知椭圆

22

xy

C:

1ab0

22

ab

的左、右焦点分别为F1、F2，点A为

椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，有

AF1BF14，且F1AF2的最大值

π

．

3