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质数与合数

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质数与合数

    质数与合数

   一、趣题引入

   甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪，三人各自中靶的环数之积都是60，按个人中靶的总环数由高到低排，依次是甲、乙、丙。

靶子上4环的那一枪是谁打的？

（环数是不超过10的自然数）

   二、知识点

   如果一个比1大的自然数只有两个约数：

1和本身，那么这个自然数就叫质数。

（质数也叫素数。

）

   例如：

43=1×43。

43只有1和43两个约数，所以43是质数。

100以内的质数极为常用，它们是：

   2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。

   在自然数中，如果除了1和本身两个约数，还有其它的约数，这个自然数就叫做合数。

   例如：

6的约数有1，2，3，6，那么6是合数。

   应特别注意：

1既不是质数也不是合数，这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：

质数、合数和1。

   偶数中只有2是质数，而且是所有质数中最小的一个。

除2以外所有的偶数都是合数，除2以外所有的质数都是奇数。

   每个合数都可以写成几个质数相乘的形成，这几个质数就叫做这个合数的质因数，例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数。

   把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如：

60=2×2×3×5=22×3×5，把60这个合数用2×2×3×5或22×3×5的形式来表示，就是把60分解质因数。

   三、例题分析

   例1：

两个质数的积是46，求这两个质数的和。

   分析：

两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数

   只有2，因此很容易得出另外的质数，从而问题得以解决。

   解：

因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一个质数为46÷2=23，所以2与23的和是25。

   例2：

用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？

   分析：

首先考虑个位是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以各位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为243，423，253，523，453，543，最后根据质数的判断方法，得到所求的质数。

   解:

如果组成的三位数的个位数字是2,4,5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，，所以只有523是质数。

   [说明]质数的判断方法是，当一个数比较小时，用定义直接判断，但这个数比较大时，通常采用查质数表，因此最好记住100以内的所有质数。

在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除，如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数一定是质数。

   例如，判断100以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数一定是质数，否则不是质数。

判断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数，为什么不必去试除比97小的所有的质数呢？

因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等数（分别为2，3，5的倍数）整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除，97÷11=8……9，97÷13=7……6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此判断100以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7去试除。

   判断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；判断300以内的质数，只需用20以内的八个质数去试除；判断500以内的质数，只需要2到23的质数去试除，其余可用类似的方法推出，同学们可以思考一下1000以内的质数如何判断？

   例3：

将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。

   分析：

如果采用观察，计算调整的方法是比较麻烦的，要使两组数的乘积相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，根据质因数的个数，进行适当的搭配，使能找出问题的答案。

   解：

将八个数分析质因数：

   40=23×544=22×11

   45=32×563=32×7

   65=5×1378=2×3×13

   99=32×11105=3×5×7

   这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13。

因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：

40，63，65，99和44，45，78，105。

   例4：

360有多少个约数？

   分析：

如果先求360的所有约数，再数出它们的个数显然比较麻烦。

为此，先将360分解质因数：

360=23×32×5，360的任意一个约数均由若干个2成3成5组成，我们将360的所有约数列成下面的数阵：

   这个数阵共6行，每行4个约数，所以360共有4×6=24个约数。

而24=（3+1）×（2+1）×（1+1），这里3，2，1恰好是360分解质因数式子中2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：

   一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。

用数字式子表示为：

   如果a分解质因数为：

   a=××…×

   则a的全体约数的个数为：

   （r1+1）×（r2+1）×…×（rn+1）

   （学过乘法原理的同学，不妨从乘法原理的角度去理解此公式的由来。

）

   例5：

有30个约数的最小自然数是多少？

   分析：

设所求的数为a，则a有30个约数，因为30=30×1=2×15=3×10=5×6=2×3×5，要使a最小，一般使a的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以a必为下列形式：

   a=a1×a22×a34

   其中a1，a2，a3为互不相同的质数。

   要使a最小，a1，a2，a3应尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样

   a=24×32×5==720

   解：

因为30=30×1=15×2=10×3=6×5=5×3×2，而且题中要求有30个约数的最小的数，所以这个数是能表示为a=a1×a22×a34，其中a1，a2，a3为互不相等的质数，为了使a最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以a=24×32×5=720。

   例6：

引例。

   分析：

三人三枪中靶环数之积均为60，即每人每枪中靶环数均为60的约数。

将60分解质因数为60=22×3×5，又因为每枪环数不超过10，所认将60写成三个不超过10的自然数的乘积有且只有以下四种情况：

   60=3×4×5

（1）

   60=2×6×5

（2）

   60=2×3×10（3）

   60=1×6×10（4）

   其中总环数分别为12，13，15，17，出现4环的情形

（1）总环数最少，所以4环是丙打的。

   解：

因为60=3×4×5=2×6×5=2×3×10=1×6×10，

   所以三个人各自打的环数有下面4种可能：

（1）3，4，5

（2）2，6，5（3）2，3，10（4）1，6，10

   其中出现4环的情形

（1）总环数最少，所以4环是丙打的。

   例7：

九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2，3，5，7四个质数。

请在200以内再找出五组这样的质数。

   分析：

9个连续自然数中至多有5个奇数，在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又有能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数。

当找到一组这样的两位以上质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数。

按照上述办法找出后，再根据质数的判断方法去筛选就可得到结果。

   首先容易得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：

   11，13，15，17，19；

   41，43，45，47，49；

   71，73，75，77，79；

   101，103，105，107，109；

   131，133，135，137，139；

   161，163，165，167，169；

   191，193，195，197，199；

   根据质数的判断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199这三组符合条件。

   解：

200以内另外五组这样的质数为：

   例8：

有一个2n+1位整数（n是整数，n≥1）

   解法1：

我们观察这个数的数字特征，可以看出，它的各个数位数字和是3的倍数。

   由于n+1是整数，得3|3（n+1），所以3是原数的约数，显然3是1和原数以外的约数，

   从上面的解法中，可以看到“整除”知识在判断质数与合数时有很大用处，要想迅速找到一个整数的约数，就要对数的整除特征非常熟悉，这对提高筛选的速度大有好处。

   解法2：

还可以把这个数分解一下，把这个数中间的“3”拆开。

   把这个数字拆开的主要目的是能提出公因数做因数分解。

这种方法不但能说明一个数是合数，还提供了分解因数的一种方法。

   对于质数来讲，由于它至今没有统一的数学式子来表示，人们对它的了解仍是很不全面。

已经知道：

质数有无限多个（这在初中可以证明），并且一般来说，随着数值越大就越来越稀少。

有人统计过五千以内的质数分布情况：

   1--1000中有168个质数，

   1001--2000中有135个质数，

   2001--3000中有127个质数，

   3001--4000中有120个质数，

   4001--5000中有119个质数。

   四、练习

   1、由1,2,3,4,5,6,7,8,9。

这九个数字组成的九位数是质数吗？

   2、把下列八个数，分为两组，每组四个数，使两组数的积相等，问如何分？

   14，33，35，75，39，30，143，169

   3、2340有多少个约数？

   4、有一个质数，它加上10是质数，加上14也是质数，把它求出来。

   5、两个质数的和是33，求这两个质数的积。

   6、求用1,2,4,5,8中的三个数字组成最大的三位质数。

   7、有四个人，他们的年龄一个比一个大一岁，他们的年龄乘积等于43680，求这四个人的年龄？

   8、求有18个约数的最小自然数？

   9、三个质数的乘积恰好等于它们的和的11倍，求这三个质数。

   10、有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数。

求这两个整数。

   五、习题参考答案及思路分析

   1、不是。

因为它一定能被3整除。

   2、第一组：

35，30，39，143第二组：

14，75，33，169

   （答案不唯一）

   3、∵2340=22×32×5×13

   ∴它的约数个数为（2+1）×（2+1）×（1+1）×（1+1）=36个

   4、设所求的质数为a，则a+10，a+14仍为质数。

   ∵10≡1（mod3），若a≡2（mod3），则3|a+10不可。

又∵14≡2（mod3），若a≡1（mod3），则3|a+14也不可。

∴只能a≡0（mod3）。

能被3整除且为质数的数只有3符合。

   所以所求的数为3。

   5、因为这两个质数和是33，为奇数，所以这两个质数必定是一个为奇数，另一个为偶数。

由于偶质数只有2，所以另一个奇质数为33-2=31。

31×2=62。

这两个质数的积为62。

   6、个位是2，4，8，5的三位数一定能被2或5整除，不是质数，所以个位只能是1。

将个位数字是1的三位数从大到小逐个试验：

   851=23×27，851不是质数。

   841=29×29，841不是质数。

   821不能被2至29的任何一个质数整除，所以821是所求的最大的三位质数。

   7、因为这四个人的年龄的乘积等于43680，所以这四个人的年龄是43680的约数。

先将43680分解质因数：

   43680=25×3×5×7×13

   =13×（2×7）×（3×5）×24

   =13×14×15×16

   所以这四个人的年龄分别是13，14，15，16。

   8、因为18=18×1=9×2=6×3＝3×3×2，要使所求数最小，这个数为a=a12×a22×a3，其中a1，a2，a3为互不相同的质数，所以a1=2，a2=3，a3=5，a=22×32×5=180，即有18个约数的最小自然数为180。

   9、设这三个质数分别为a、b、c，则

   abc=11（a+b+c）

   所以a、b、c中必有一个是11，不妨设是c=11，则上式变为

   ab=a+b+11

   变形，得ab-a-b=11

   a（b-1）-（b-1）=11+1

   （a-1）（b-1）=12=12×1=6×2=4×3

   当b-1=12，a-1=1时，b=13，a=2；

   当b-1=6，a-1=2时，b=7，a=3；

   当b-1=4，a-1=3时，b=5，a=4（舍）。

   所以这三个质数为2，11，13或3，7，11。

   10、因为这两个整数的乘积恰好是三个数字相同的三位数，这个三位数必有因数111，因为111=3×37，所以这两个整数中必有一个是37的倍数，由于这两个整数的和是两位数，所以这两个整数最大为两位数。

因此37的倍数只能是37或74。

而另一个则是3的倍数，经试验，只有（3，74），（18，37）两组符合。

（大龙2005-8-1013:

05:

57）

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2005-8-1013:

05:

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