质数合数分解质因数Word文件下载.docx

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4.部分特殊数的分解：

5.质数的判定方法

判断一个数是否是质数，可以采用“连续小质数试除法”。

例如：

判断251是否是质数，可以从最小的质数2开始依次除251，直到所得的商比除数小为止，可以断定251是质数。

251÷

2=125…1,251÷

3=83…2,251÷

5=50…1,251÷

7=35…6，…,251÷

17=14…13，

此时除数17＞商14，由此说明251是质数。

6.互质的概念

N个自然数互质指的是N个自然数的公约数仅有一个1。

注意：

1.质数与合数的基本性质，100以内质数的分布规律

2.质数与奇偶性及整除性知识点的结合

3.分解质因数法解决数论应用题

4.以质数合数为基础考察其他知识点的运用

5.分解质因数法解部分应用题

例题精讲

【试题来源】

【题目】从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12

【答案】5、17、29、41、53

【解析】我们知道12是2、3的倍数，如果开始的质数是2或3，那么后一个数即14或15将是合数，所以考虑从5开始尝试．

有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数．

【知识点】质数、合数、分解质因数

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【题目】9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？

【答案】4

【解析】我们知道任意连续9个自然数中最多有4个质数，本题考察对100以外的质数的熟练情况，有101，103，107，109是4个质数。

【题目】将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？

A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）

【答案】29

【解析】首先列出前几个合数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想A尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找出8个来必然很大。

所以应该是一奇一偶，经试验得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即A的最小值为29。

大部分的题考的都是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。

【难度系数】2

【题目】把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组？

【答案】3

【解析】要保证每组中的任意2个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的质因数才能实现。

可以对以上每个数字进行分解质因数，容易得出最少分3组。

【试题来源】6

【题目】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？

【答案】

【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数67．所以这9个数字最多可以组成6个质数．

【题目】三个质数的倒数之和为

，则这三个质数之和为多少？

【答案】336

【解析】设这3个质数从小到大为a、b、c，它们的倒数分别为

、

，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a×

b×

c，求和得到的分数为

如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积。

现在和为

，分母1986=2×

3×

331，所以一定是a=2，b=3，c=331，检验满足．所以这3个质数的和为2+3+331=336．

【题目】已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少?

【答案】25

【解析】本题考查分解质因数法。

将2924分解质因数，有2924=2×

2×

17×

43=A×

B。

题目中要求A+B被5除余l，则A+B和的个位只能为1或6。

经验证有4×

17+43=68+43=11l，也就是说68、43为满足题意的两个数．它们的差为68-43=25．

【题目】如果某整数同时具备如下三条性质：

①这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是质数，③这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。

求出所有的两位幸运数。

【答案】14

【解析】法一：

由条件②可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数

的两倍，即此幸运数为2

，则

的所有可能取值为5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。

于是2

-1的所有可能取值为9，13，21，25，33，37，45，57，61，73，81，85，93。

根据题目条件①，2

-1应为质数，因此2

-1只可能为13，37，61或73。

再由条件③知2

-1除以9所得的余数应为4，于是2

-1只可能是13，从而这个幸运数只能是2

=14。

法二：

从条件③入手，符合条件的偶数有：

14，32，50，68，86，再由条件②排除掉32，50，68，最后由条件①排除掉86，所以这个幸运数是14。

【题目】从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等。

将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？

【答案】22

【解析】小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，其中5+19=7+17=11+13。

每个木块掷在地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是5+5+5=15，最大是19+19+19=57，经试验，三个数的和可以是从15到57的所有奇数，所有可能的不同值共有22个。

【题目】在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?

【答案】1755或1800．

【解析】1872=2×

13=口口×

口口，其中某个口为8，

一一验证只有：

1872=48×

39，1872=78×

24满足．

当为1872=48×

39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×

39=1755．

当为1872=78×

24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×

24=1800．

所以原来的积为1755或1800．

【题目】将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？

【答案】7

【解析】最大的质数必大于5，否则10个质数之和将不大于50，又

60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即8个7与2个2的和为60，故其中最大的质数是7.

【题目】将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？

将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？

【答案】435

【解析】枚举法：

有些学生会问，老师：

什么时候用枚举法？

1.数不大，种类不较少

1.没有规律，不能用排列组合等方法

2.能有方法做的时候建议不采用枚举的方法

37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19

7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17

共有10种不同的拆法，其中3×

5×

29=435最小

【题目】在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少?

【答案】28

对1764分解质因数，有1764=2×

7×

7，而根据题意1764应对应为5个小于10的自然数乘积．通常我们会考虑将1764的6个质因数组合为5个因数，从而这5个因数一定都是大于1的，于是得到了如下几种分解情况：

1764=4×

7=2×

6×

7=2×

9×

7

但是发现其中任何两组的和的差均不是4.原因是我们忽略了在题目叙述实际环境中还会有1环存在，从而要考虑含有因数1的另外2种情况：

1784=1×

7=1×

4×

所以总的情况对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28．对应的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的5箭环数为1、4、9、7、7．所以甲的总环数为24，乙的总环数为28．

【难度系数】3

【题目】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？

【答案】6934

【解析】39270=2×

11×

17，为三个连续自然数的乘积，经组合质因数后有33×

34×

35=39270．

所以33、34、35为满足题意的长、宽、高．

则长方体的表面积为：

（长×

宽+宽×

高+高×

长）=2×

（33×

34+34×

35+35×

33）=6934（平方厘米）．

【题目】有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少?

【解析】有140=2×

7，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数2必须同时位于分子或者同时位于分母的位置上。

这样由小到大的最简分数依次是：

，…

倒数第三小的是

。

【题目】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种。

那么所有这样的自然数中最小的一个是多少？

【答案】47

【解析】根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有13种表示成一个质数与一个合数和的形式，说明这个自然数一定比从2开始的第13个质数要大。

从2开始数的13个质数分别是：

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41。

那么这个数一定要比41大，为了满足这个自然数能够分别写成上面质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从3开始的质数的差只要都是一个大于2的偶数即可满足条件。

大于41的奇数最小是43，但是43=41+2是2个质数和的形式。

下一个是45，但是45=2+43

所以最小符合条件的数是47.可以写成前13个质数与另一个合数和的形式。

【题目】已知P,Q都是质数，并且

=?

【答案】398

【解析】本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。

通过观察发现题目中有2个未知数，但是都是质数，从结果上看2003是一个奇数，那么前面2个乘积必须为1个奇数1个偶数，那么P和Q中必须有一个是2才可以。

由大小关系可以发现只能Q是2，解出P=199,P×

Q=398。

【题目】将1到9这9个数字在算式

的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数。

【解析】本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有

，即有

，那么很容易发现只有3×

5-2×

7=1。

符合原式的填法为

【题目】1.有人说：

“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．

2.可不可能存在连续的100个合数呢？

【答案】见解析

【解析】1.例如连续的7个整数：

842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，电就是说它们都不是质数．

2.存在。

评注：

有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意到（n+1）!

+2，（n+1）!

+3，（n+1）!

+4，…，（n+1）!

+（n+1）这n个数分别能被2、3、4、…、（n+1）整除，它们是连续的n个合数．其中n!

表示从1一直乘到n的积，即1×

…×

n．

【题目】如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少?

【解析】4875=3×

13，有a×

b为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×

13、25=5×

5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39-25=14．

由上题可推知，当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大，所以两个和为64的数的乘积最大为32×

32=1024，而积最小为1×

63=63．而4875在64～1024之间的约数有65，195，325，375，975等．

我们再对65，195，325，375，975等一一验证．严格的逐步计算，才不会漏掉满足题意的其他的解．而在本题中满足题意的只有39、25这组数．

习题演练

【题目】

【解析】

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】

【题目】已知3个不同质数的和是最小合数的平方，则这3个质数的乘积是多少？

【答案】66

【解析】66

【题目】两个不同质数的倒数相加，所得分子是42，则分母分别可以是多少？

【答案】5，37；

11，31；

13，29；

19，23；

【解析】5，37；

【题目】将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？

【答案】31

【解析】31

3.【题目】甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13，甲比乙大13岁，那么乙今年多大？

【答案】27

【解析】27

【题目】已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？

【答案】125

【解析】125

【解析】14

【题目】如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，

（1）a+b的最小可能值是多少?

（2）a+b的最大可能值是多少?

【答案】30；

168

【解析】30；

【题目】有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?

【答案】374

【解析】374

【题目】如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是几？

【答案】17

【解析】17

【题目】如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？

【答案】89

【解析】89

【题目】一个两位质数，数字和是质数，而且将这个两位数分别乘以3，5，7之后得到的数的数字之和仍为质数，求满足条件的两位数。

【答案】67

【解析】67

【难度系数】4