∅
∅
|x|>a
{x|x>a，或x<－a}
{x|x∈R，且x≠0}
R
（2）|ax＋b|≤c（c>0）和|ax＋b|≥c（c>0）型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
（3）|x－a|＋|x－b|≥c（c>0）和|x－a|＋|x－b|≤c（c>0）型不等式的解法
法一：
利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：
利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：
通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
诊断自测
1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________．
解析 数轴上的点到－1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集．
答案 （－4，－2）∪（0,2）
2．设ab＞0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________．
①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|.
解析 ∵ab＞0，∴a，b同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①和④正确．
答案 ①④
3．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________．
解析 令：
f（x）＝|x－8|－|x－4|＝
当x≤4时，f（x）＝4＞2；
当4＜x≤8时，f（x）＝－2x＋12＞2，得x＜5，
∴4＜x＜5；
当x＞8时，f（x）＝－4＞2不成立．
故原不等式的解集为：
{x|x＜5}．
答案 {x|x＜5}
4．（2012·山东卷）若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
解析 ∵|kx－2|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
答案 2
5．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________．
解析 ∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1.
答案 （－∞，1）
考点一 含绝对值不等式的解法
【例1】解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.
解 法一 如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．
法二 原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔
或
或
解得x≥2或x≤－3，
∴原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．
法三 将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
令f（x）＝|x－1|＋|x＋2|－5，则
f（x）＝
作出函数的图象，如图所示．
由图象可知，当x∈（－∞，－3]∪[2，＋∞）时，y≥0，
∴原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．
规律方法形如|x－a|＋|x－b|≥c（或≤c）型的不等式主要有三种解法：
（1）分段讨论法：
利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为（－∞，a]，（a，b]，（b，＋∞）（此处设a＜b）三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
（2）几何法：
利用|x－a|＋|x－b|＞c（c＞0）的几何意义：
数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－（x－b）|＝|a－b|.
（3）图象法：
作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．
【训练1】解不等式|x＋3|－|2x－1|＜
＋1.
解 ①当x＜－3时，原不等式化为－（x＋3）－（1－2x）＜
＋1，解得x＜10，∴x＜－3.
②当－3≤x＜
时，原不等式化为（x＋3）－（1－2x）＜
＋1，解得x＜－
，∴－3≤x＜－
.
③当x≥
时，原不等式化为（x＋3）－（2x－1）＜
＋1，解得x＞2，∴x＞2.
综上可知，原不等式的解集为
.
考点二 含参数的绝对值不等式问题
【例2】已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中a的取值范围．
（1）不等式有解；
（2）不等式的解集为R；
（3）不等式的解集为∅.
解 法一 因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P（x）与两定点A（－1），B（3）距离的差，
即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB.
由绝对值的几何意义知，
PA－PB的最大值为AB＝4，
最小值为－AB＝－4，
即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.
（1）若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故a＜4.
（2）若不等式的解集为R，即不等式恒成立，
只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值还小，即a＜－4.
（3）若不等式的解集为∅，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即a≥4.
法二 由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－（x－3）|＝4.
|x－3|－|x＋1|≤|（x－3）－（x＋1）|＝4.
可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.
（1）若不等式有解，则a＜4；
（2）若不等式的解集为R，则a＜－4；
（3）若不等式解集为∅，则a≥4.
规律方法本题中
（1）是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面（如f（x）＞m的解集是空集，则f（x）≤m恒成立）也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f（x）＜a恒成立⇔a＞f（x）max，f（x）＞a恒成立⇔a＜f（x）min.
【训练2】设函数f（x）＝|x－a|＋3x，其中a>0.
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x＋2的解集；
（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解
（1）当a＝1时，f（x）≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f（x）≥3x＋2的解集为{x|x≥3，或x≤－1}．
（2）由f（x）≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式化为不等式组
或
即
或
因为a>0，所以不等式组的解集为
.
由题设可得－
＝－1，故a＝2.
考点三 含绝对值的不等式的应用
【例3】（2013·新课标全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.
（1）当a＝－2时，求不等式f（x）（2）设a>－1，且当x∈
时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
解
（1）当a＝－2时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈（0,2）时，y＜0.
所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
（2）当x∈
时，f（x）＝1＋a，
不等式f（x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3，
所以x≥a－2对x∈
都成立，
应有－
≥a－2，则a≤
，
从而实数a的取值范围是
.
规律方法含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根．把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间．按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集．
【训练3】（2012·新课标全国卷）已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|.
（1）当a＝－3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
解
（1）当a＝－3时，f（x）＝
当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2当x≥3时，由f（x）≥3得
2x－5≥3，解得x≥4.
所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}．
（2）f（x）≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－（2－x）≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，
即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围是[－3,0].
绝对值三角不等式的应用
【典例】（2013·福建卷）设不等式|x－2|＜a（a∈N*）的解集为A，且
∈A，
∉A.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．
[审题视点]
（1）利用条件
∈A，
∉A，建立不等式，求a的值；
（2）利用绝对值三角不等式进行放缩求解．
解
（1）∵
∈A，
∉A.
∴
＜a，且
≥a，因此
＜a≤
，
又a∈N*，从而a＝1.
（2）由
（1）知，f（x）＝|x＋1|＋|x－2|，
又|x＋1|＋|x－2|≥|（x＋1）－（x－2）|＝3，
当且仅当（x＋1）（x－2）≤0，即－1≤x≤2时等号成立．
故f（x）的最小值为3.
[反思感悟] 本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．
【自主体验】
1．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋
对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 当a＜0时，显然成立；
当a＞0时，∵|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，
∴a＋
≤4.∴a＝2.
综上可知a的取值范围是（－∞，0）∪{2}．
答案 （－∞，0）∪{2}
2．（2012·陕西卷）若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|（x－a）－（x－1）|＝|a－1|，
要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，
可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，
∴－2≤a≤4.
答案 [－2,4]
一、填空题
1．不等式|2x－1|＜3的解集为________．
解析 |2x－1|＜3⇔－3＜2x－1＜3⇔－1＜x＜2.
答案 （－1,2）
2．不等式|2x－1|－|x－2|＜0的解集为________．
解析 法一 原不等式即为|2x－1|＜|x－2|，
∴4x2－4x＋1＜x2－4x＋4，∴3x2＜3，∴－1＜x＜1.
∴原不等式解集为{x|－1法二 原不等式等价于不等式组
①
或②
或
③
不等式组①无解，由②得
＜x＜1，由③得－1＜x≤
.
综上得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．
答案 {x|－1＜x＜1}
3．（2012·广东卷）不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为________．
解析 ①当x≤－2时，原不等式可化为－x－2＋x≤1，该不等式恒成立．
②当－2＜x＜0时，原不等式可化为x＋2＋x≤1，
∴2x≤－1，∴x≤－
，∴－2＜x≤－
.
③当x≥0时，原不等式可化为x＋2－x≤1，不成立．
综上，原不等式的解集为
.
答案
4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
解析 由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，
即
＜x＜
，
∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则
⇒
∴5＜b＜7.
答案 （5,7）
5．（2013·江西卷）在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1（x∈R）的解集是________．
解析 由||x－2|－1|≤1，得－1≤|x－2|－1≤1，即0≤|x－2|≤2，
∴－2≤x－2≤2，∴0≤x≤4.
答案 {x|0≤x≤4}
6．不等式|x＋1|－|x－2|＞k的解集为R，则实数k的取值范围是________．
解析 法一 根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于PA－PB＞k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.
故当k＜－3时，原不等式恒成立．
法二 令y＝|x＋1|－|x－2|，
则y＝
要使|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，从图象中可以看出，只要k＜－3即可．
故k＜－3满足题意．
答案 （－∞，－3）
7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f（x）＝|x＋1|＋|x－2|＝
∴f（x）≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.
答案 （－∞，－3]∪[3，＋∞）
8．若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，则实数a的取值范围为________．
解析 法一 当x≥1时，不等式化为x＋x－1≤a，即x≤
.
此时不等式有解当且仅当1≤
，即a≥1.
当x＜1时，不等式化为x＋1－x≤a，即1≤a.
此时不等式有解当且仅当a≥1.
综上所述，若关于x的不等式x＋|x－1|≤a有解，
则实数a的取值范围是[1，＋∞）．
法二 设f（x）＝x＋|x－1|，则f（x）＝
f（x）的最小值为1.
因为x＋|x－1|≤a有解，即f（x）≤a有解，所以a≥1.
答案 [1，＋∞）
9．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：
|a－b|＜2h；命题乙：
|a－1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．
解析 |a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．
答案 必要不充分
二、解答题
10．设函数f（x）＝|2x＋1|－|x－4|.
（1）解不等式f（x）＞2；
（2）求函数y＝f（x）的最小值．
解
（1）法一 令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－
，x＝4.原不等式可化为：
或
或
∴原不等式的解集为
.
法二 f（x）＝|2x＋1|－|x－4|＝
画出f（x）的图象
求y＝2与f（x）图象的交点为（－7,2），
.
由图象知f（x）＞2的解集为
.
（2）由
（1）的法二知：
f（x）min＝－
.
11．（2012·辽宁卷）已知f（x）＝|ax＋1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．
（1）求a的值；
（2）若
≤k恒成立，求k的取值范围．
解
（1）由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.
又f（x）≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，
所以当a≤0时，不合题意．
当a>0时，－
≤x≤
，得a＝2.
（2）记h（x）＝f（x）－2f
＝|2x＋1|－|2x＋2|，
则h（x）＝
所以|h（x）|≤1，因此k≥1.
故k的取值范围是[1，＋∞）．
12．设函数f（x）＝|x－1|＋|x－a|.
（1）若a＝－1，解不等式f（x）≥3；
（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．
解
（1）当a＝－1时，f（x）＝|x－1|＋|x＋1|，
f（x）＝
作出函数f（x）＝|x－1|＋|x＋1|的图象．
由图象可知，不等式f（x）≥3的解集为
.
（2）若a＝1，f（x）＝2|x－1|，
不满足题设条件；若a＜1，
f（x）＝
f（x）的最小值为1－a；若a＞1，
f（x）＝
f（x）的最小值为a－1.
∴对于∀x∈R，f（x）≥2的充要条件是|a－1|≥2，
∴a的取值范围是（－∞，－1]∪[3，＋∞）．
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