八年级数学一次函数的实践与探索华东师大版知识精讲.docx
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八年级数学一次函数的实践与探索华东师大版知识精讲
初二数学一次函数的实践与探索华东师大版
【同步教育信息】
一.本周教学内容：
一次函数的实践与探索
［主要内容］
1.行程问题的图像题型；
2.销售问题的图像题型
3.手机话费，行李费等图像
4.生产方案，经营决策问题
二.重点、难点：
通过图像获取信息，借助图像分析解决实际问题
【典型例题】
例1.如图反映了两位同学跑步的时间与路程关系，直线l1表示刘东跑步的时间与路程关系，直线l2表示王玉跑步的时间与路程关系，从图中可看出：
（图1）两人起跑时间____________（填相同或不同）．______________分钟时两人相遇，两人速度分别为______________、_____________．
图1
分析：
两位同学跑步的时间与路程关系图像是两条射线，因两条射线的起点都在x轴上，说明两人起跑的时间不同，地点相同。
直线l1表示1分钟内路程增加了300米，即v1＝300米/分；直线l2表示在1~2分钟之间，路程增加了400米，即v2＝400米/分，直线l1与直线l2的交点表示两人相遇的时间与地点。
两人在4分钟时相遇，位置在距起点1200米处．
答案：
相同，4，300米/分，400米/分
例2.图2反映了某商品的售价及单位利润的情况，其中直线l1代表售价，直线l2代表与l1相应售价下的单位利润，则由图可知：
图2
（1）A点代表本商品的原计划售价为____________元，此时它预期利润为____________元，点________________反映出此情况。
（2）当某公司一次性购买50吨时，每吨售价为_______________元，此时卖方共获利________________元。
（3）线段AD与BC的位置关系是________________。
简要结合本题意旨解释原因_______________。
分析：
（1）A点代表本商品的原计划售价为1500元，此时它预期利润为700元，点B反映出此情况；
（2）当某公司一次性购买50吨时，每吨售价为1000元，此时单位利润为200元，因此卖方共获利10000元；
（3）线段AD与BC的位置关系是平行；
简要结合本题意旨解释原因这种商品的进价不变．
例3.如图3，直线l1表示小明跑步时间与路程的关系，折线l2表示小刚跑步时间与路程的关系，请根据图意填空：
图3
（1）_________在________前100米处起跑。
（2）小明的速度为_______________；小刚的速度为____________。
（3）小明用了________分钟追上小刚，此时在________米处。
（4）_______分钟时小刚又加快速度，速度为_________米/分。
（5）结果____到达终点。
小明共走了_____米，小刚共走了____米。
分析：
根据图像，直线l1与折线l2的起点都在y轴上，说明两人的起跑时间相同，起跑地点不同，小刚在小明前100米，小明1分钟内跑了250米，即v1＝250米/分；小刚在2分钟内从100米处跑到了300米处，即v2＝200米/分；l1与l2的交点为A（2，500），说明小明用了2分钟追上了小刚，此时在500米处．而l2在点B（3，700）处改变了增长率，说明小刚又加快了速度，在点C（4，1000）处又追上了小明，因此v2′＝300米/分．结果两人同时到达终点1000米处，而小明共走了900米，小刚共走了1000米．
答案：
（1）小刚小明；
（2）250米/分200米/分；（3）2500；（4）3300
（5）同时9001000
例4.某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月费用是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系图像（两条射线）如图，观察图像回答下列问题：
（如图4）
图4
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国营公司的车合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算？
解：
（1）行驶路程大于2500千米时，租国营车合算．
（2）2500千米．
（3）租个体车合算．
例5.某校组织学生到距离学校6千米的光明科技馆去参观，小王因事没能乘上学校的包车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准如下：
（1）写出出租车行驶的里程数x≥3（千米）与费用y（元）之间的函数关系式．
（2）小王身上有11元钱，乘出租车到科技馆的车费够不够？
请说明理由．
解：
（1）
即
（2）
够用
例6.甲、乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲库可以调出100吨水泥，乙库可以调出80吨水泥，A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A、B两地的路程和运费如下表：
（1）设甲库运到A地的水泥x吨，求总费用y元关于x吨的函数关系式。
（2）当甲、乙两库各运往A、B两地多少水泥时，总运费最省？
最省的总运费是多少元？
分析：
甲库运往A地x吨，运费为12×20x吨，乙库运往A地的运费是12×15（70－x）吨。
甲库运往B地水泥的运费是10×25（100－x），乙库运往B地的运费是8×20（10＋x）。
整理这几个式子，可得总运费。
解：
（1）由题意知：
化简得
当x＝70时，总运费最省，最省的总运费是37100元。
例7.小明骑摩托车从甲到乙，途中车有故障，因而停下来修车，到乙地共用时2小时，已知车行路程S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，
请回答：
（1）AB段车速是多少？
CD段车速是多少？
（2）修车用时多少？
（3）若此车平均每行驶100公里耗油2升，从甲到乙共耗油多少升？
解：
（1）AB段共行驶30千米，用时1小时，故车速为30千米/小时，
CD段共行驶45－30＝15千米，用时2－1.5＝0.5小时，故车速为15÷0.5＝30千米/小时。
（2）修车在BC时间段，耗时为0.5小时。
例8.某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。
已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。
（1）要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?
请你设计出来；
（2）生产A、B两种产品获总利润是y（元），其中一种的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明
（1）中的哪种生产方案获总利润最大?
最大利润是多少?
解：
（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是（50－x）件。
由题意得
解不等式组得30≤x≤32。
因为x是整数，所以x只取30、31、32，相应的（50－x）的值是20、19、18。
所以，生产的方案有三种，即第一种生产方案：
生产A种产品30件，B种产品20件；第二种生产方案：
生产A种产品31件，B种产品19件；第三种生产方案：
生产A种产品32件，B种产品18件。
（2）设生产A种产品的件数是x，则生产B种产品的件数是50－x。
由题意得
y＝700x＋1200（50－x）＝－500x＋60000。
（其中x只能取30，31，32。
）
因为－500<0，所以此一次函数y随x的增大而减小，
所以当x＝30时，y的值最大。
因此，按第一种生产方案安排生产，获总利润最大，最大利润是：
－500·30＋60000＝45000（元）。
本题是利用不等式组的知识，得到几种生产方案的设计，再利用一次函数性质得出最佳设计方案问题。
例9.东风商场文具部的某种毛笔每支25元，书法本每本5元，该商场为了促销制定了两种方案：
甲：
买一支笔送一本练习本；
乙：
按购买金额九折付款；
某校准备购买毛笔10支，书法本x本（x≥10）。
（1）写出每种优惠办法实际付款总额，y甲（元）、y乙（元）与x（本）之间的函数关系式。
（2）比较购买同样多的书法练习本时，按哪种办法付款更为省钱？
（3）如果商场允许，可采用一种办法购买，也可采用两种办法购买，请设计购买毛笔10支和练习本60本的最省钱的方案。
解：
（3）设用甲方案买笔x支，则据题意可得：
即用甲种方案买10支笔和10本书法本，另外50本书法本用乙种方案购买。
例10.北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台。
如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台，从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台。
求：
（1）若总运费为8400元，上海运往汉口应是多少台?
（2）若要求总运费不超过8200元，共有几种调运方案?
（3）求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少元?
解：
设上海厂运往汉口x台，那么上海运往重庆有（4－x）台，北京厂运往汉口（6－x）台，北京厂运往重庆（4＋x）台，则总运费W关于x的一次函数关系式：
W＝3x＋4（6－x）＋5（4－x）＋8（4＋x）＝76＋2x。
（1）当W＝84（百元）时，则有76＋2x＝84,解得x＝4。
若总运费为8400元，上海厂应运往汉口4台。
（2）当W≤82（百元），则
解得0≤x≤3，因为x只能取整数，所以x只有四种可能的值：
0、1、2、3。
答：
若要求总运费不超过8200元，共有4种调运方案。
（3）因为一次函数W＝76＋2x随着x的增大而增大，又因为0≤x≤3，所以当x＝0时，函数W＝76＋2x有最小值，最小值是W＝76（百元），即最低总运费是7600元。
此时的调运方案是：
上海厂的4台全部运往重庆；北京厂运往汉口6台，运往重庆4台。
本题运用了函数思想得出了总运费W与变量x的一般关系，再根据要求运用方程思想、不等式等知识解决了调运方案的设计问题。
并求出了最低运费价。
综上所述，利用一次函数的图像、性质及不等式的整数解与方程的有关知识解决了实际生活中许多的方案设计问题，如果学生能切实理解和掌握这方面的知识与应用，对解决方案问题的数学题是很有效的。
例11.已知等腰三角形的周长为12cm，若底边长为ycm，一腰长为xcm。
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围；
（3）作这个函数的图像。
解：
（3）作图：
①列表：
②描点连线：
例12.在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典的抗生素．据临床观察，如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似的满足如图所示的折线．
（1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）据临床观察：
每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制病情最有效，如果病人按规定的剂量注射药液后，那么这一次注射的药液经多长时间后控制病情开始有效？
这个有效时间多长？
（3）假如某病人第一次注射药液时间是早晨6:
00，问如何安排从6:
00—20:
00注射时间，才能使治疗效果最好？
解：
（1）
（2）当0≤t≤1时，令y＝4，则6t＝4
（3）第一次注射药液的时间是6:
00
设在第一次注射药液t1小时后注射第二次药液
∴第二次注射药液的时间是10:
00
设在第二次注射药液t2小时后注射第三次，此时体内的含药量是第一次注射药液的含量与第二次注射药液的含药量之和
解得：
（小时）
∴第三次注射药液的时间是15:
00
设第四次的注射药液时间是在第三次注射药液后t3小时，此时体内不再含第一次注射药液的药量，体内的含药量是第二次注射药液的含药量与第三次注射药液的含药量之和．
解得：
（小时）
∴第四次注射药液的时间是19:
30
∴科学的注射时间应安排为6:
00，10:
00，15:
00，19:
30，才能使治疗效果最好．
［总结］
例6、例7、例8都是一次函数的应用，用函数解决实际问题的关键是善于将千变万化的实际问题抽象出函数的基本模型，善于把实际问题中的已知条件转化为函数中的变量之间的关系，从而用函数的图像和性质解决问题．
【模拟试题】
一.填空题
1.若一次函数
的图像经过点
，则
_______________．
2.某汽车油箱中原有汽油100升．汽车每行驶50千米耗油9升，加满油后，油箱中剩余油量y（升）与摩托车行驶路程x（千米）之间的函数关系式是______________．
3.已知矩形的周长为12，设它一条边长为x，那么它的面积y与x之间函数关系式是______________________．
5.下表中y是x的正比例函数：
则m＝_____________，n＝_______________．
6.一次函数
的图像与x轴的交点坐标是____________________，与y轴的交点坐标是_________________．
7.如图，直线对应的函数表达式是________________．
8.下图中所示为甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y（元）与通话时间t（小时）之间的函数关系图像．从图像中可知通话4分钟需付费_________________．通话20分钟需付电话费________________．
9.A、B两辆汽车同时从相距300千米的甲、乙两地相向而行，S（千米）表示汽车与甲地的距离，t（时）表示汽车行驶时间，如图：
l1、l2分别表示两辆汽车S与t的关系．
则A车的速度是______________，B车的速度是______________．
二.选择题
1.下列各函数关系式中，y随x增大而减小的有（）．
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.下面给出的m的值中，（）能使一次函数（不是正比例函数）
中的y随x增大而增大。
A.
（1）和
（2）
B.
（1）和（3）
C.
（2）和（4）
D.
（2）和（3）
5.某工厂去年积压产品a件（a>0），今年预计每月销售产品2b（b>0），同时可每月生产出产品b件，如果产品积压量y（件）是今年开工时间t（月）的函数，则其图像只能是（）
三.解答题
1.下表中，y是x的一次函数，补全下表，写出函数表达式并画出图像．
2.气温随高度的升高而下降，下降的一般规律是从地面到高空11千米处，每升高1千米，气温下降6℃，高于11千米时，几乎不再变化。
设地面气温为20℃时，高空中x千米处气温为y℃。
（1）当0≤x≤11时，求y与x的关系式。
（2）求出离地面4.5千米及13千米的高空处，气温分别是多少？
3.中国联通青岛分公司推出了3种手机卡供用户选择：
经济卡：
每月月租费30元，通话费0.25元/分钟；
亲情卡：
每月月租费12元，通话费0.40元/分钟；
如意通：
无月租费，通话费0.54元/分钟．
（1）请写出三种手机卡，每月手机费y（元）与通话时间t（分钟）之间的函数关系式，这三个关系是否是一次函数？
是否是正比例函数？
（2）分别求出通话时间96分钟时，3种手机卡的费用．
（3）如何根据通话时间选取手机卡，使通话费用最低？
谈谈你的想法，并说明理由．
4.汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”。
现甲、乙两车在一个弯道上相向而行，在相距16米的地方发现情况不对，同时刹车，根据有关资料，甲、乙两种车刹车距离S（米）与车速x（千米/时）之间有如下关系：
甲种车
乙种车
若甲、乙两车车速都是60千米/时，两车是否相撞，请说明理由．
5.某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利润30元。
设生产L型号的童装套数为x，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为y（元）。
（1）写出y（元）关于x（套）的函数解析式；并求出自变量x的取值范围；
（2）该厂在生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大?
最大利润为多少?
6.A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往C、D两农村，如果从A城运往C、D两地运费分别是20元/吨与25元/吨，从B城运往C、D两地运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知C地需要220吨，D地需要280吨，如果个体户承包了这项运输任务，请帮他算一算，怎样调运花钱最少?
7.下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润。
某汽车运输公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只装一种蔬菜）
甲
乙
丙
每辆汽车能装的吨数
2
1
1．5
每吨蔬菜可获利润（百元）
5
7
4
（1）若用8辆汽车装运乙、丙两种蔬菜11吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆?
（2）公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售（每种蔬菜不少于一车），如何安排装运，可使公司获得最大利润?
最大利润是多少?
8.有批货物，若年初出售可获利2000元，然后将本利一起存入银行。
银行利息为10%，若年末出售，可获利2620元，但要支付120元仓库保管费，问这批货物是年初还是年末出售为好?
【试题答案】
一.填空题
1.3
4.减少
5.－3；4
6.（4，0）；（0，4）
8.3.6元；22.8元
9.40千米/时；60千米/时
二.选择题：
1.B2.D3.D4.B5.C
三.解答题
1.
3.
（1）经济卡：
y＝0.25t＋30一次函数；
亲情卡：
y＝0.4t＋12一次函数；
如意通：
y＝0.54t正比例函数；
（2）经济卡：
54元；
亲情卡：
50.4元；
如意通：
51.84元；
（3）通话时间小于86分钟，选如意通卡；通话时间在86分钟和120分钟之间，选亲情卡；通话时间大于120分钟，选经济卡。
∴相撞
5.
（1）y＝15x＋1500；自变量x的取值范围是（18≤x≤20）。
（2）当x＝20时，y的最大值是1800元。
6.设A城化肥运往C地x吨，总运费为y元，则y＝2x＋10060
（0≤x≤200），
当x＝0时，y的最小值为10060元。
7.
（1）应安排2辆汽车装运乙种蔬菜，6辆汽车装运丙种蔬菜。
（2）设安排y辆汽车装运甲种蔬菜，z辆汽车装运乙种蔬菜，则用［20－（y＋z）］辆汽车装运丙种蔬菜。
得2y＋z＋1.5［20－（y＋z）］＝36，
化简，得z＝y－12，所以y－12＝32－2y。
因为y≥1，z≥1，20－（y＋z）≥1，
所以y≥1，y－12≥1，32－2y≥1，
所以13≤y≤15.5
设获利润S百元，则S＝5y＋108，
当y＝15时，S的最大值是183，z＝y－12＝3，20－（y＋z）＝2。
8.
（1）当成本大于3000元时，年初出售好；
（2）当成本等于3000元时，年初、年末出售都一样；
（3）当成本小于3000元时，年末出售好。
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