二次函数同步辅导2.docx

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二次函数同步辅导2

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二次函数错例分析

在解决与二次函数有关的问题时，往往由于审题不清、考虑不周而错解，为帮助大家纠正错误,正确灵活地应用二次函数的图像及性质，解决有关二次函数问题,现将常见原因所造成的错误剖析如下：

例1：

已知：

二次函数y=x2-4x-a，下列说法错误的是（　　）

A、当x＜1时，y随x的增大而减小

B、若图象与x轴有交点，则a≤4

C、当a=3时，不等式x2-4x+a＜0的解集是1＜x＜3

D、若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-3

错解：

选C

正解：

解：

二次函数为y=x2-4x-a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：

A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项正确；

B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0则a≥-4，故选项错误；

C、当a=3时，不等式x2-4x+a＜0的解集是1＜x＜3，故选项正确；

D、将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+3）2-4（x+3）-a+1．

函数过点（1，-2），代入解析式得到：

16-4×4-a+1=-2，解得a=-3．故选项正确．

故选B．

点拨：

判断C项正确关键点在理解二次

函数y=x2-4x+3，与一元二次方程x2-4x+3=0

的关系，x2-4x+3=0的根为x1=1,x2=3.满足函数y=x2-4x+3<0的x是图像在（1,0），（3,0）之间x轴下方的部分，所以x2-4x+3＜0的解集是1＜x＜3正确。

例2：

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2-mx+m-2（m为实数）的零点的个数是（　　）

A、1B、2C、0D、不能确定

错解：

D

正解：

由题意可知：

函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点

△=（-m）2-4×1×（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4

∵（m-2）2一定为非负数

∴（m-2）2+4＞0

∴二次函数y=x2-mx+m-2（m为实数）的零点的个数是2．

故选B．

点拨：

判断二次函数y=x2-mx+m-2的零点的个数，也就是判断二次函数y=x2-mx+m-2与x轴交点的个数；根据△与0的关系即可作出判断．

例3:

抛物线y=x2-4x-5与x轴交于点A、B，点P在抛物线上，若△PAB的面积为27，则满足条件的点P有（　　）

A、1个B、2个C、3个D、4个

解：

∵抛物线y=x2-4x-5与x轴交于点A、B两点．

∴0=x2-4x-5，

∴x1=-1，x2=5，

∴AB=5-（-1）=6，

∵△PAB的面积为27，

∴点P的纵坐标的绝对值为2×27÷6=9，

①当纵坐标为9时，

x2-4x-5=9，

x2-4x-14=0，

△＞0，

∴在抛物线上有2个点；

②当纵坐标为-9时，

x2-4x-5=-9，

△=0，

∴在抛物线上有1个点；

∴满足条件的点P有3个，故选C．

点拨：

用到的知识点为，x轴上的点的纵坐标为0；△＞0，与抛物线有2个交点；△=0，与抛物线有1个交点，△＜0，与抛物线没有交点．要注意：

若△PAB的面积为27。

则点P的纵坐标的绝对值为9，有同学粗心写成点P的纵坐标为9出现错误。

例4：

某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元.市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：

w＝－2x+240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：

（1）求y与x的关系式；

（2）当x取何值时，y的值最大？

（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？

错解

（1）因为y＝x∙w＝x∙（－2x+240）＝－2x2+240x，

所以y与x的关系式为：

y＝－2x2+240x.

（2）因为y＝－2x2+240x＝－2（x－60）2+7200，

所以当x＝60时，y的值最大.

（3）当y＝2250时，可得方程－2（x－60）2+7200＝2250.

解这个方程，得x1＝60+15

，x2＝60－15

.

所以当销售单价为60+15

元，或60－15

元时，可获得销售利润2250元.

剖析　题目中明确说明销售利润为y元，而销售单价x元/千克中含有成本为50元/千克，所以本题在求销售利润时，错误地认为销售单价就是纯利润的单价，另外，求得的销售单价有一个最高限价，走出这个最高限价的应舍去.

正解

（1）因为y＝（x－50）∙w＝（x－50）∙（－2x+240）＝－2x2+340x－12000，

所以y与x的关系式为：

y＝－2x2+340x－12000.

（2）因为y＝－2x2+340x－12000＝－2（x－85）2+2450，

所以当x＝85时，y的值最大.

（3）当y＝2250时，可得方程－2（x－85）2+2450＝2250.

解这个方程，得x1＝75，x2＝95.

根据题意，x2＝95不合题意应舍去.

所以当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元.

　　点拨　利用二次函数求解实际问题时，除了要能正确求解外，还要注意使求得的结果符合实际意义.

二次函数应用题典例剖析

小强在一次投篮训练中，从距地面高1.55米处的O点投出一球向篮圈中心A点投去，球的飞行路线为抛物线，当球达到离地面最大高度3.55米时，球移动的水平距离为2米．现以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OC的夹角为30o，A、C两点相距1.5米．

（1）求点A的坐标；

（2）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；

（3）判断小强这一投能否把球从O点直接投入

篮圈A点（排除篮板球），如果能的，请说明理由；

如果不能，那么前后移动多少米，就能使刚才那一

投直接命中篮圈A点了．（结果可保留根号）

分析：

（1）利用直角三角形的边角关系得到OC的长，可以确定点A的坐标．

（2）根据球到达的最大高度和移动的水平距离确定抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，然后把O（0，0）代入顶点式，求出抛物线的解析式．（3）把点A的坐标代入抛物线的解析式，发现抛物线的两边不等，说明点A不在抛物线上，那么小强不能从O点把球投入．把y=1.5代入抛物线求出x的值，得到小强后退的距离．

点拨：

题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。

解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

一点就通二次函数与面积

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB．

（1）求证：

mn=-6；

（2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；

（3）在

（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S△POF：

S△QOF=1：

3？

若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

分析：

（1）作BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点，证明△CBO∽△DOA，

利用线段比求出mn．

（2）由

（1）得OA=mBO推出

OB•OA=10，根据勾股定理求出

mn的值．然后可得A，B的坐标以及抛物线解析式．

（3）假设存在直线l交抛物线于P、Q两点，使

，作

PM⊥y轴于M点，QN⊥y轴于N点，设P坐标为（t，-t2+10），

证明△PMF∽△QNF推出t值，继而可解出点P、Q的坐标．

数学广角

工人王师傅有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，王师傅想截下的矩形铁皮的周长等于8dm，你能否帮他实现？

析解：

由“抛物线”联想到二次函数。

如图4，以MN所在的直线为x轴，点M为原点建立直角坐标系。

设抛物线的顶点为P，则M（0，0），N（4，0），P（2，4）。

用待定系数法求得抛物线的解析式为

。

设A点坐标为（x，y），则AD=BC=2x-4，AB=CD=y。

于是

。

且x的取值范围是0

若l=8，则

，即

。

解得

。

而0

故l的值不可能取8，即截下的矩形周长不可能等于8dm。

所以我不能帮他实现。

二次函数同步辅导2试题

选择题

1．二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值是－4，则a的值是（   ）

A.－4                 B.1              C.－1   D.－4或1

2.如图，抛物线

的对称轴是直线

，且经过点

（3，0），则

的值为

A.0B.－1C.1D.2

3.已知二次函数

的图象如图所示，

当

时，

的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

或

4足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线

如图所示，则下列结论①

，②

，③

，④

。

其中正确的是（   ）

      A.①③               B.①④               C.②③               D.②④

填空题

1.若抛物线y=x2+5x+a2与直线y=x-1相交，那么它们的交点必在第象限

2.抛物线y=ax2+bx+c过（2，6），（4，6）两点，一元二次方程ax2+bx+c=k，当k＞7时无实数根，当k≤7时有实数根，则抛物线的顶点坐标是（3，7）

3.二次函数y=x2+（2+k）x+2k与x轴交于A，B两点，其中点A是个定点，A，B分别在原点的两侧，且OA+OB=6，则直线y=kx+1与x轴的交点坐标为,

4.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值

是cm2．

解答题

1.抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线

，且在x轴上截取长度为

的线段，求解析式。

2.如图所示，在直角三角形的内部做一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。

（1）设长方形的一边AB=x，那么AD边的长度如何表示？

（2）设长方形的面积为y，当x取何值时，y的值最大，最大值是多少?

3.某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。

根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

x（十万元）

0

1

2

…

y

1

1.5

1.8

…

（1）求y与x的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

4.图1是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图2）．

（1）求抛物线表达式．

（2）求两盏景观灯之间的水平距离．

5.（2011贵州安顺）如图，抛物线y=

x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M（m，0）是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

二次函数同步辅导2试题答案

选择题答案

2.A3.A

填空题答案

1.三

2.解：

∵（2，6），（4，6）两点关于直线x=3对称，

∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，即抛物线的顶点横坐标为3，

∵一元二次方程ax2+bx+c=k，当k＞7时无实数根，当k≤7时有实数根，

∴7为函数y=ax2+bx+c的最值，即抛物线的顶点纵坐标为7，

则抛物线的顶点坐标是（3，7）．

3.（

，0）

4.12.5

解答题

1.解：

∵对称轴为

，即

   ∴可设二次函数解析式为

   ∵在x轴上截取长度为

   ∴抛物线过

与

两点

   又∵（-1，-1）在抛物线上

   由<1>、<2>解得：

   ∴解析式为

   即

2.解：

（1）∵长方形的一边长AB=x.DA⊥AB，CB⊥AB

∴DC∥AB，∴

，∴AD=30－

（2）∵长方形的面积为y

∴

∵

∴x=20时，

3.解：

（1）因为题中给出了y是x的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y与x的函数关系式为

（2）由题意得S=10y（3-2）-x

（3）由

（2）

及二次函数性质知，当1≤x≤2.5，即广告费在10—25万元之间时，S随广告费的增大而增大。

4.解：

（1）由题意可得抛物线的顶点坐标为

，与

轴的交点坐标是

．

设抛物线所对应的二次函数表达式是

．

把

代入

，得

．

所以

．

（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是

．

所以

．

所以

．

解得

，

．

所以两景观灯间的距离为

．