高中数学成才之路必修三第2章综合能力检测.docx
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高中数学成才之路必修三第2章综合能力检测
第二章综合能力检测
时间120分钟，满分150分。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．设有两组数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn，它们的平均数分别是和，则新的一组数据2x1－3y1＋1,2x2－3y2＋1，…，2xn－3yn＋1的平均数是（ ）
A．2－3 B．2－3＋1
C．4－9D．4－9＋1
[答案] B
[解析] 设zi＝2xi－3yi＋1（i＝1,2，…，n），
则＝（z1＋z2＋…＋zn）＝（x1＋x2＋…＋xn）－（y1＋y2＋…＋yn）＋（1＋1＋…＋1）
＝2－3＋1.
2．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为（ ）
A．64B．54
C．48D．27
[答案] B
[解析] 前两组中的频数为100×（0.05＋0.11）＝16.
∵后五组频数和为62，
∴前三组频数和为38.
∴第三组频数为22.
又最大频率为0.32，故频数为0.32×100＝32，
∴a＝22＋32＝54，故选B.
3．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的机会是（ ）
A．与第n次抽样有关，第一次抽中的机会要大些
B．与第n次抽样无关，每次抽中的机会都相等
C．与第n次抽样有关，最后一次抽中的机会大些
D．该个体被抽中的机会无法确定
[答案] B
[解析] 简单随机抽样中，每个个体被抽中的机会相等，且与先后顺序无关．
4．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是（ ）
A．85,85,85B．87,85,86
C．87,85,85D．87,85,90
[答案] C
[解析] ∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85；共10人中第五、六两人成绩为85分，∴中位数为85，平均数＝（100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75）＝87.
5．（09·宁夏海南理）对变量x，y观测数据（x1，y1）（i＝1,2，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1,2，…，10），得散点图2.由这两个散点图可以判断．（ ）
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
[答案] C
[解析] 用散点图可以判断变量x与y负相关，u与v正相关．
6．（09·上海理）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A．甲地：
总体均值为3，中位数为4
B．乙地：
总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：
中位数为2，众数为3
D．丁地：
总体均值为2，总体方差为3
[答案] D
[解析] 排除法：
A中，若连续10天甲地新增疑似病例数据分别为x1＝x2＝x3＝x4＝0，x5＝x6＝x7＝x8＝x9＝4，x10＝10，此时总体均值为3，中位数为4，但第10天新增疑似病例超过7，故A错；B中，若x1＝x2＝x3＝x4＝x5＝x6＝x7＝x8＝x9＝0，x10＝10，此时，总体均值为1，方差大于0，但第10天新增疑似病例超过7，故B错；C中，若x1＝x2＝x3＝x4＝0，x5＝1，x6＝3，x7＝3，x8＝3，x9＝8，x10＝9，此时，中位数为2，众数为3，但第9天、第10天新增疑似病例超过7，故C错，故选D.
7．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A．②、③都不能为系统抽样
B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样
D．①、③都可能为分层抽样
[答案] D
[解析] 因为③为系统抽样，所以选项A不对；因为②为分层抽样，所以选项B不对；因为④不为系统抽样，所以选项C不对．故选D.
8.是x1，x2，…，x100的平均值，a1为x1，x2，…，x40的平均值，a2为x41，x42，…，x100的平均值，则下列各式正确的是（ ）
A.＝B.＝
C.＝a1＋a2D.＝
[答案] A
[解析] 由题意i＝40a1，i＝60a2，
∴＝＝＝.
9．（09·四川文）设矩形的长为a，宽为b，其比满足ba＝≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：
0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：
0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（ ）
A．甲批次的总体平均数与标准值更接近
B．乙批次的总体平均数与标准值更接近
C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
[答案] A
[解析] 甲＝＝0.617，
乙＝＝0.613，
故选A.
10．下列两个变量间的关系是相关关系的是（ ）
A．电压一定时，电流与电阻
B．长方体的体积一定时，长与宽
C．正n边形的边数与内角之和
D．汽车的维修费用与跑的里程
[答案] D
11．经显示，家庭用液化气量（单位：
升）与气温（单位：
度）有一定的关系，如图所示，图
（1）表示某年12个月中每个月的平均气温，图
（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用气量，根据这些信息，以下关于家庭用气量与气温关系的叙述中，正确的是（ ）
A．气温最高时，用气量最多
B．当气温最低时，用气量最少
C．当气温大于某一值时，用气量随气温升高而增加
D．当气温小于某一值时，用气量随气温降低而增加
[答案] C
[解析] 经比较可以发现，2月份用气量最多，而2月份温度不是最高，故排除A，同理可排除B.从5,6,7三个月的气温和用气量可知C正确．
[点评] 从图上看，尽管10至12月气温在降低，用气量在增加，但不能选D，因为不满足“气温小于某一数值时”的要求，因此考虑问题一定要全面．
12．（09·山东理）某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：
克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98），[98,100），[100,102），[102,104），[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是（ ）
A．90 B．75
C．60 D．45
[答案] A
[解析] 产品净重小于100克的频率
P＝（0.050＋0.100）×2＝0.3，
设样本容量为n，由已知＝0.3，∴n＝120.
而净重大于或等于98克而小于104克的产品的频率P′＝（0.100＋0.150＋0.125）×2＝0.75.
∴个数为0.75×120＝90.故选A.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）
13．（09·江苏理）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲组
6
7
7
8
7
乙组
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝______.
[答案]
[解析] 甲＝＝7，
乙＝＝7，
∴s＝
＝，
s＝
＝，
则两组数据的方差中较小的一个为s＝.
14．（09·广东理）随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1，a2，…，an，则如图所示的程序框图输出的s＝________，s表示的样本的数字特征是________．（注：
框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”“：
＝”）
[答案] （a1＋a2＋…＋an）；样本平均数
[解析] 由程序框图知，当i＝1时，x1＝a1，此时S＝a1.
i＝2时，x2＝＝，此时S＝，
i＝3时，x3＝＝，此时S＝…
i＝n－1时，xn－1＝＝，此时S＝，
i＝n时，可得S＝，i＝n＋1不满足i≤n跳出循环，输出S后结束，
故输出S＝，它表示的样本的数字特征是a1，a2，…，an这n个数的平均数．
15．（09·福建理）某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是____．
[答案] 1
[解析] 由茎叶图可得9个分数为88,89,89,92,93,90＋x,92,91,94，
∴89＋89＋92＋93＋90＋x＋92＋91＝636＋x＝91×7，∴x＝1.
16．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命跟踪调查结果如下（单位：
年）：
甲：
3,4,5,6,8,8,8,10
乙：
4,6,6,6,8,9,12,13
丙：
3,3,4,7,9,10,11,12
三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：
甲________，乙________，丙________．
[答案] 众数 平均数 中位数
[解析] 甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．甲：
此组数据8出现的次数最多，
8是该组数据的众数．
乙：
该组数据的平均数＝＝8，
丙：
该组数据的中位数是：
＝8.
三、解答题（本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）对一射击选手的跟踪观测，其环数及相应频率如下：
环数：
6 7 8 9 10
频率：
15% 25% 40% 10% 10%
求该选手的平均成绩．
[解析] 当样本数据对应频率已知时，可以直接运用求平均数．
＝6×0.15＋7×0.25＋8×0.4＋9×0.1＋10×0.1＝7.75.
[点评] 若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
18．（本题满分12分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲：
60 80 70 90 70
乙：
80 60 70 80 75
问：
甲、乙谁的平均成绩好？
谁的各门功课较平衡？
[解析] 甲＝×（60＋80＋70＋90＋70）＝74，
乙＝×（80＋60＋70＋80＋75）＝73，
s甲＝≈10.2，
s乙＝≈7.5.
因为甲>乙，s甲>s乙．
所以甲的平均成绩较好，乙的各门功课较平衡．
19．（本题满分12分）某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，画出频率分布直方图如图
（1）所示，已知130～140分数段的人数为90,90～100分数段的人数为a，求图
（2）表示的运算的表达式．
[解析] ∵＝，∴a＝810，
由程序框图知，n≤810时，执行循环体，因此S＝1×2×3×4×…×810.
20．（本题满分12分）某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：
甲：
102,101,99,98,103,98,99；
乙：
110,115,90,85,75,115,110.
（1）这种抽样方法是哪一种？
（2）将这两组数据用茎叶图表示；
（3）将两组数据比较，说明哪个车间的产品较稳定．
[解析]
（1）因为间隔时间相同，故是系统抽样．
（2）茎叶图如下：
（3）甲车间：
平均值：
＝（102＋101＋99＋98＋103＋98＋99）＝100，
方差：
s＝[（102－100）2＋（101－100）2＋…＋（99－100）2]≈3.43.
乙车间：
平均值：
＝（110＋115＋90＋85＋75＋115＋110）＝100，
方差：
s＝[（110－100）2＋（115－100）2＋…＋（110－100）2]≈228.57.
∵＝，s[点评] 从茎叶图可看出，甲车间的产品重量主要集中在98～103之间，而乙车间产品重量分布则较分散，故不计算方差也可直观作出判断：
甲车间产品较稳定．
21．（本题满分12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
y
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据
（2）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
[解析]
（1）散点图如图．
（2）＝4.5，＝3.5，
＝＝＝0.7，
＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
∴回归直线方程为＝0.7x＋0.35.
（3）90－（0.7×100＋0.35）＝19.65（t）
∴降低了19.65吨．
22．（本题满分14分）（09·宁夏海南理）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）．
从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.
表1
生产能
力分组
[100,110）
[110,120）
[120,130）
[130,140）
[140,150）
人数
4
8
x
5
3
表2
生产能
力分组
[110,120）
[120,130）
[130,140）
[140,150）
人数
6
y
36
18
（1）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？
（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
（2）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
[解析]
（1）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名．
故4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5，
6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.
频率分布直方图如下
从直方图可以判断：
B类工人中个体间的差异程度更小．
（2）A＝×105＋×115＋×125＋×135＋×145＝123，
B＝×115＋×125＋×135＋×145＝133.8，
＝×123＋×133.8＝131.1.
A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123、133.8和131.1.
附表
随 机 数 表
0347437386 3696473661 4698637162 3326168045 6011141095
9774246762 4281145720 4253323732 2707360751 2451798973
1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410
1256859926 9696682731 0503729315 5712101421 8826498176
5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030
1622779439 4954435482 1737932378 8735209643 8426349164
8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676
6301637859 1695556719 9810507175 1286735807 4439523879
3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 9966027954
5760863244 0947279654 4917460962 9052847727 0802734328
1818079245 4417165809 7983861962 0676500310 5523640505
2662389775 8416074499 8311463224 2014858845 1093728871
2342406474 8297777781 0745321408 3298940772 9385791075
5236281995 5092261197 0056763138 8022025353 8660420453
3785943512 8339500830 4234079688 5442068798 3585294839
7029171213 4033203826 1389510374 1776371304 0774211930
5662183735 9683508775 9712559347 7033240354 9777464480
9949572277 8842954572 1664361600 0443186679 9477242190
1608150472 3327143409 4559346849 1272073445 9927729514
3116933243 5027898719 2015370049 5285666044 3868881180
6834301370 5574307740 4422788426 0433460952 6807970657
7457256576 5929976860 7191386754 1358182476 1554559552
2742378653 4855906572 9657693610 9646924245 9760490491
0039682961 6637322030 7784570329 1045650426 1104966724
2994989424 6849691082 5375919330 3425205727 4048735192
1690826659 8362641112 6719007174 6047212968 0202370331
1127947506 0609197466 0294373402 7670903086 3845943038
3524101620 3332512638 7978450491 1692535616 0275509598
3823168638 4238970150 8775668141 4001749162 4851840832
3196259147 9644334913 3486825391 0052434885 2755268962
6667406714 6405719586 1105650968 7683203790 5716001166
1490844511 7573880590 5227411486 2298122208 0752749580
6805511800 3396027519 0760629355 5933824390 4937384459
2046787390 9751401402 0402333108 3954164936 4795931330
6419589779 1506159320 0190107596 4078788962 0267741733
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