高中数学成才之路必修4第三章综合检测题Word下载.docx

高中数学成才之路必修4第三章综合检测题Word下载.docx

《高中数学成才之路必修4第三章综合检测题Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学成才之路必修4第三章综合检测题Word下载.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

2．若sinθ＜0，cos2θ＜0，则在（0,2π）内θ的取值范围是（　　）

A．π＜θ＜

B.＜θ＜

C.＜θ＜2π

D.＜θ＜

[答案]　B

[解析]　∵cos2θ＜0，∴1－2sin2θ＜0，即sinθ＞或sinθ＜－，

又已知sinθ＜0，∴－1≤sinθ＜－，

由正弦曲线得满足条件的θ取值为＜θ＜.

3．函数y＝sin2x＋cos2x的图象，可由函数y＝sin2x－cos2x的图象（　　）

A．向左平移个单位得到

B．向右平移个单位得到

C．向左平移个单位得到

D．向右平移个单位得到

[解析]　y＝sin2x＋cos2x＝sin（2x＋）

＝sin2（x＋）

y＝sin2x－cos2x＝sin（2x－）＝sin2（x－）

其中x＋＝（x＋）－

∴将y＝sin2x－cos2x的图象向左平移个单位可得y＝sin2x＋cos2x的图象．

4．下列各式中，值为的是（　　）

A．2sin15°

cos15°

B．cos215°

－sin215°

C．2sin215°

－1

D．sin215°

＋cos215°

[解析]　2sin15°

＝sin30°

＝，排除A.

cos215°

＝cos30°

＝，故选B.

5．cos275°

＋cos75°

的值是（　　）

A.　　　

B.　　　

C.　　　

D.

[解析]　原式＝sin215°

＋sin15°

＝1＋sin30°

＝1＋×

＝.

6．若f（x）＝2tanx－，则f的值是（　　）

A．－

B．－4

C．4

D．8

[答案]　D

[解析]　f（x）＝2tanx＋＝2

＝2·

＝，∴f（）＝＝8.

7．若－≤x≤，则函数f（x）＝sinx＋cosx的最大值和最小值分别是（　　）

A．1，－1

B．1，－

C．2，－1

D．2，－2

[解析]　∵x∈，∴x＋∈，

∵f（x）＝sinx＋cosx＝2sin，

∴f（x）最小值为－1，最大值为2.

8．设函数f（x）＝2cos2x＋sin2x＋a（a为实常数）在区间上的最小值为－4，那么a的值等于（　　）

A．4　　　　

B．－6　　　

C．－3　　　

D．－4

[解析]　f（x）＝cos2x＋sin2x＋1＋a

＝2sin＋a＋1

∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，

∴－≤sin≤1，

∴f（x）min＝2×

＋a＋1＝－4，∴a＝－4.

9．（09·

重庆理）设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝（sinA，sinB），n＝（cosB，cosA），若m·

n＝1＋cos（A＋B），则C＝（　　）

A.

B.

[解析]　∵m·

n＝sinAcosB＋sinB·

cosA

＝sin（A＋B）＝sinC＝1－cosC，

∴sin＝，

又∵0<

C<

π，∴C＋＝，故C＝.

10．已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（　　）

[解析]　如图，令BD＝1，则AB＝4，AD＝，tanθ＝，

tanA＝tan2θ＝＝＝，故选D.

11．（09·

江西理）若函数f（x）＝（1＋tanx）cosx,0≤x<

，则f（x）的最大值为（　　）

A．1　　　　

B．2　　　　

C.＋1　　　

D.＋2

[解析]　f（x）＝（1＋tanx）cosx

＝cosx＋sinx＝2cos（x－）．

又∵0≤x<

，∴当x＝时，y取最大值为2.

12．已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x、y为锐角，则tan（x－y）的值是（　　）

B．－

C．±

[解析]　由已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，得，

相加得cos（x－y）＝，

∵x、y均为锐角且sinx－siny<

0，∴－<

x－y<

0，

∴sin（x－y）＝，

∴tan（x－y）＝－，故选B.

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）

13．tan20°

＋tan40°

＋tan20°

tan40°

＝________.

[答案]　

[解析]　∵tan60°

＝tan（20°

＋40°

）＝

∴原式＝tan60°

·

（1－tan20°

）＋tan20°

＝－tan20°

14.－的值为________．

[答案]　4

[解析]　原式＝

＝＝＝4.

15．已知α，β∈，sin（α＋β）＝－，sin＝，则cos＝________.

[答案]　－

[解析]　∵α，β∈，∴α＋β∈，

∵sin（α＋β）＝－，∴cos（α＋β）＝.

∵β－∈，sin＝，

∴cos＝－.

∴cos＝cos

＝cos（α＋β）cos＋sin（α＋β）sin

＝－.

16．关于函数f（x）＝cos＋cos，有下列命题：

①y＝f（x）的最大值为；

②y＝f（x）是以π为最小正周期的周期函数；

③y＝f（x）在区间上单调递减；

④将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．

其中正确命题的序号是________．（注：

把你认为正确的命题的序号都填上）

[答案]　①②③

[解析]　化简f（x）＝cos＋cos

＝cos－sin＝cos

∴f（x）max＝，即①正确．T＝＝π，即②正确．

由2kπ≤2x－≤2kπ＋π得，

kπ＋≤x≤kπ＋，即③正确．

将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位得

y＝cos≠f（x），∴④不正确．

三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）（09·

广东理）已知向量a＝（sinθ，－2）与b＝（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈.

（1）求sinθ和cosθ的值；

（2）若sin（θ－φ）＝，0<

φ<

，求cosφ的值．

[解析]　

（1）∵a与b互相垂直，则a·

b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1得，sinθ＝±

，cosθ＝±

又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.

（2）∵0<

，0<

θ<

，∴－<

θ－φ<

，则

cos（θ－φ）＝＝，

cosφ＝cos[θ－（θ－φ）]

＝cosθcos（θ－φ）＋sinθsin（θ－φ）＝.

18．（本题满分12分）（2010·

厦门三中阶段训练）若函数f（x）＝sin2ax－sinaxcosax（a>

0）的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.

（1）求m和a的值；

（2）若点A（x0，y0）是y＝f（x）图象的对称中心，且x0∈，求点A的坐标．

[解析]　

（1）f（x）＝sin2ax－sinaxcosax

＝－sin2ax＝－sin＋，

由题意知，m为f（x）的最大值或最小值，

所以m＝－或m＝，

由题设知，函数f（x）的周期为，∴a＝2，

所以m＝－或m＝，a＝2.

（2）∵f（x）＝－sin＋，

∴令sin＝0，得4x＋＝kπ（k∈Z），

∴x＝－（k∈Z），

由0≤－≤　（k∈Z），得k＝1或k＝2，

因此点A的坐标为或.

19．（本题满分12分）函数f（x）＝2asin2x－2asinxcosx＋a＋b，x∈，值域为[－5,1]，求a，b的值．

[解析]　∵f（x）＝a（1－cos2x）－asin2x＋a＋b

＝－2a·

＋2a＋b

＝－2asin＋2a＋b，

∵0≤x≤，∴0≤2x≤π，∴≤2x＋≤，

当a＞0时，有，∴a＝2，b＝－5，

当a＜0时，有，∴a＝－2，b＝1.

20．（本题满分12分）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小．

[解析]　方法一：

由sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0得sinAsinB＋sinAcosB－sin（A＋B）＝0.

所以sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0，

即sinB（sinA－cosA）＝0.

因为B∈（0，π），所以sinB≠0，从而cosA＝sinA.

由A∈（0，π）知，A＝，从而B＋C＝，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2（－B）＝0，

即sinB－sin2B＝0.即sinB－2sinBcosB＝0.

由此得cosB＝，B＝.所以A＝，B＝，C＝.

方法二：

由sinB＋cos2C＝0得

sinB＝－cos2C＝sin.

因为0<

B、C<

π，所以B＝－2C或B＝2C－.

即B＋2C＝或2C－B＝.

所以sinAsinB＋sinAcosB－sinAcosB－cosAsinB＝0.

因为sinB≠0，所以cosA＝sinA.

由A∈（0，π），知A＝.

从而B＋C＝π，知B＋2C＝不合要求．

再由2C－B＝π，得B＝，C＝.

所以A＝，B＝，C＝.

21．（本题满分12分）设函数f（x）＝a·

b，其中向量a＝（2cosx,1），b＝（cosx，sin2x＋m）．

（1）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．

（2）当x∈时，－4<

f（x）<

4恒成立，求实数m的取值范围．

[解析]　

（1）f（x）＝2cos2x＋sin2x＋m

＝2sin＋m＋1.

∴函数f（x）最小正周期T＝π，

在[0，π]上的单调递增区间为、.

（2）∵当x∈时，f（x）递增，

∴当x＝时，f（x）的最大值等于m＋3.

当x＝0时，f（x）的最小值等于m＋2.

由题设知解之得，－6<

m<

1.

22．（本题满分14分）已知锐角三角形中，sin（A＋B）＝，sin（A－B）＝.

（1）求；

（2）设AB＝3，求AB边上的高．

[解析]　

（1）sin（A＋B）＝，sin（A－B）＝，

∴⇔，

⇔＝2.

（2）∵<

A＋B<

π，sin（A＋B）＝，∴tan（A＋B）＝－，即＝－，将tanA＝2tanB代入上式并整理得2tan2B－4tanB－1＝9，解得tanB＝，舍去负值得，tanB＝，∴tanA＝2tanB＝2＋.设AB边上的高为CD，则AB＝AD＋DB＝＋＝，由AB＝3得CD＝2＋，

所以AB边上的高为2＋.

[点评]　第

（1）小题除了考查两角和与差的三角函数公式外，还考查了方程的思想．第

（2）小题除了上述解法还可以通过设AB边上的高CD为x，利用tanA＝2tanB，求出AD＝1，BD＝2后，列出x的方程求解．