双曲线知识点归纳总结例题分析.docx
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双曲线知识点归纳总结例题分析
基本知识点
双曲线
对称中
心
原点0（0,0）
隹占坐
八\、八、、一1—-
标
Fi（c,0）F2（c,0）
Fi（0,c）F2（0,c）
焦点在实轴上，cJa2b2;焦距：
『店22c
顶点坐
标
（a,0）（a,0）
（0,a,）（0，a）
离心率
ea（e1）
准线方
程
2ax——
c
2ay—c
只2
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
竺
c
顶点到
准线的
距离
2顶点A（A2）到准线li（I2）的距离为a丄
c
2顶点A（A2）到准线12（li）的距离为0-a
c
隹占至U
八\、八、、亠J
准线的
距离
2
焦点Fi（F2）到准线li（I2）的距离为c皂
c
2焦点Fi（F2）到准线l2（li）的距离为皂c
c
渐近线
方程
b
y_x
a
b
x—y
a
共渐近线的双曲线系方程
22
22k（k0）
ab
22
22k（k0）
ab
直线和
双曲线
的位置
22
双曲线X2y21与直线ykxb的位置关系：
ab
22
xy1利用孑孑1转化为一元二次方程用判别式确定。
ykxb
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长|ABJik2J（x（X2）24X1X2
通径：
|AB|y2y1
补充知识点:
等轴双曲线的主要性质有：
（1）
半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）；
（2）其标准方程为xA2-yA2=C，其中Cm0;
（3）离心率e=V2;
（4）渐近线：
两条渐近线y=土x互相垂直；
（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点
的距离的比例中项；
（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分；
（7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数aA2；
（8）等轴双曲线xA2-yA2=C绕其中心以逆时针方向旋转45。
后，可以得到XY=aA2/2，其中
Cm0。
所以反比例函数y=k/x的图像一定是等轴双曲线。
例题分析：
22
.xy
A.1
916
B.
2x
16
2
y-1
9
22
xy、
c.1（y>3）
169
D.
2
y-1（y<3）
同步练习一：
如果双曲线的渐近线方程为y
则离心率为（
a.5
B.4
D.3
A.
C.
已知双曲线
12k1
同步练习二：
双曲线
2
—1的离心率为
k
e2，则k的范围为（
B.k0
D.12k0
2
爲1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为
b
22
例3、设P是双曲线笃I1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，F1,F2分别是双曲
a9
线的左、右焦点，若PFi3，则PF2的值为
同步练习三：
若双曲线的两个焦点分别为（0，2）,（02），且经过点（2,15），则双曲线的标准方程
例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是
x23
（A）-y2=1
3
2
—=1
3
x2x2
（B）-y2=1和y2-=1
33
x2
（C）y2---=1
和X2-
2
y-=1
3
x2
（计⑺
2
1=1
3
同步练习四：
已知双曲线的中心在原点，两个焦点
F1F2分别为（75,0）和（亦,0），点P在双曲线上
且PF1PF2，且△PF1F2的面积为
1，则双曲线的方程为（
2
.x
A.一
2
近线的距离是（
例6、下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是
（0，3），那么k的值是
同步练习六：
双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是
例7、经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为30。
的弦AB，
（1）求|AB|.
（2）F1是双曲线的左焦点，求△F1AB的周长.
同步练习七过点（0,3）的直线I与双曲线一-1只有一个公共点，求直线I的方程。
高考真题分析
1.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于代B两点，|AB4方；则C的实轴长为（）
（A）-2（B）22（C）（D）
【答案】C
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题
【解析】由题设知抛物线的准线为：
X4，设等轴双曲线方程为：
X2寸a2，将x4代入等轴双曲线方程解得y="6一a2,t|AB|=4、、3,：
.2AlTa=^.3，解得a=2,
•C的实轴长为4，故选C.
22
2.【2012高考山东文11】已知双曲线G:
笃爲1（a0,b0）的离心率为2.若抛物线
ab
G：
x22py（p0）的焦点到双曲线G的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为
（A）X2
83
y
3
（B）x2^y
3
（C）x28y
（D）x216y
【答案】D
考点：
圆锥曲线的性质
解析：
由双曲线离心率为
2且双曲线中a,b,c的关系可知b.3a，此题应注意C2的焦点在
y轴上，即（0,p/2）到直线y
3x的距离为2,可知p=8或数形结合，利用直角三角形
求解。
|PF1|2|PF2|,则cosF1PF2
（D）
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。
首先
运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
为（
B.3C.2D.1
答案:
点，若PF1丄PF2,则IPF11+IPF2丨的值为
【答案】2-、3
【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中
【解析】由双曲线的方程可知a1,cV2,||PF1PF2II2a2,
PFj2PF1PF2IPF224
（2c）28,2PF』PF2|4,
PF1PF22.3
【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差一积一和的转化。
6.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
1的离心率为.5,
则m的值为
【答案】
2。
【考点】
双曲线的性质。
【解析】
2
—律——1得a=m，b=m2__，c=m__m24
c
/.e==
a
4=J5，即m24m4=0，解得
m=2。
课后作业
2
1.双曲线T
1的实轴长和虑轴长分别是（）
B.4，
2、3C.3，4D.2，-3
2
2.双曲线令
a
2y
b2
1的焦点到它的渐近线的距离等于（
A.b“a2b2
B.bC.
aD.a.a2b2
3.如果双曲线的实半轴长为
2，焦距为6,那么双曲线的离心率为（
汽B-fC-1
D.2
4.双曲线的渐近方程是y
»，焦点在坐标轴一，焦距为
10，其方程为（
2
AX
A.
20
B.
2X
20
2
y_
5
2
y
20
2
X
1
5
2
C.x-
5
2
L1
20
2
D.L
20
2
X
1
5
2
5.双曲线T
2y
16
的右准线与渐近线在第一象限的交点和右焦点连线的斜率是
B.-
3
6.双曲线
2x
16
2y
25
1的两条渐近线所成的角是
（
）
4
A.2arctan
B.
5宀4
2arctanC.2arctan-
D.
2arctan?
5
4
5
4
7.双曲线
2x
2
y
~2
1与其共轭双曲线有（）
a
b2
A.相同的焦点B.相同的准线C.相同的渐近线D.相等的实轴长
8•已知双曲线的渐近线方程为y3x，贝吐匕双曲线的（）
4
A•焦距为10B•实轴长与虚轴长分别为8与6
C.离心率e只能是5或5D•离心率e不可能是5或-
4343
9•等轴双曲线的一个焦点是Fi（4,0），则它的标准方程是，渐近线方程是
10•若双曲线的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则其离心率为
22
11.若双曲线——1上的一点P到它的右焦点的距离是8，则到它的右准线之间的距离为
6436
12.若双曲线的一条渐近线方程为3x2y0，左焦点坐标为（.26,0），则它的两条准线之间的
距离为
13.写出满足下列条件的双曲线的标准方程:
焦占:
八、、八、、•
2
16.设圆过双曲线T
2
；61的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心
的距离是
22
17.已知双曲线—»1上一点M到左焦点Fi的距离是它到右焦点距离的5倍，则M点的
169
坐标为
18.已知直线I过定点（0,1），与双曲线xy21的左支交于不同的两点A、B,过线段AB
的中点M与定点P（2,0）的直线交y轴于Q（0,b），求b的取值范围•
20.P为双曲线笃
a
b2
1（a0,b0）上一点,
PM
x轴于M，射线MP交渐近线于Q。
求
证：
MQ2MP2是定值。
2
B.—
3
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