新题库第十三章第04节函数的极限与函数的连续性docx.docx
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求函数的极限
1.求下列各极限:
(1)lim
XT8
解:
(1)lim
(2)lim
XT+8
函数的极限与函数的连续性
3x3+4x-l
x3-2x
x3一2x
=lim
HT8
(x2+x)-X2
(2)lim(-\/x2+x-x)
XT+8
(Vx2+x-x)=lim二二lim
“THVx2+X+X“TZ
2
\x2+兀+X
X3
2•求吋2宀12“1
XT8
解:
lim(—^
XT®2jt-12兀+1
(2x+1)—兀?
(2x_—1)
)=lim
XToo
(2兀2—1)(2兀+1)
=lim
XT8
2x4
+兀‘一2%4+
x3+x2
=lim$9
4;r+2x-2x-1
=lim
1+-
7^~~2
4+——
x
3.求下列各极限:
(1)
lim
•YT8
5%3
+2/_1
(2)
解:
(1)
lim
XT8
2x3+1
=lim
XT8
(2)
lim
XT8
9=lim
对+5兀一10XToo
X2
lim
XT8
+5x—10
2+4
JT
7^~~i
5+-
x
(3)lirnVx~—1—V-^2+1。
XT8
lim2+lim—
XT8・YT8兀.
r<丄[・2~~15+0+05
lim5+lim—lim—
XT8KT8%XT8兀'
1
_+7
7^~~io
1+——7
r1r2lim—+lim—
XT8XXT8厂c
"s~~=0.lim1+lim——lim—
XT8XT8兀XT8兀
lim=(K—EZE+R)
XT8
7x2-1+a/x2+1
二lim/
f7%2-l+Vx2+l
题型2利用函数的连续性求极限
1.求极限:
lim
宀x2_5x+3
解:
lim
xt2
2八l_2x2—1
—5x+32?
—5x2+3
15
2.求下列各极限:
…cosx—sinx
azx-ax
-12
(1)
lim
(2)
lim—;
——a>0
4
cos2x
xtiic+4x—1
cosx-sinx
「cosx-
-sinx
1
72
解:
(1)
lim
=lim—;—
——=lim
n
XT_
cos2x
X^-COS兀一
-sinxJ
cos兀+sin兀
2
4
4
4
(2)
lim
—cix-12ci
〜—a—12(ci—4)(g+3)
=-4o
XT1
2xa
+4x-l
d+4-1
d+3
—x—6
3求极陆凹EE
解:
XCV1™
(x-2)(2x+3)_lim2兀+3_凹(2兀+3)二_7xt2(兀一2)(2x-3)g22兀一3lim(2x-3)
xt2
4.求卞列各极限:
(1)lim
xt3
⑵1曲、片-3
8Vx+2
解:
(1)lim
.yt3
V,l+X~2=lim
xt3
x-3
(Jl+x—2)(Jl+兀+2)_]曲
(兀一3)(J1+兀+2)*t3(兀—3)(J1+兀+2)
(1+兀)一4
x-3
=lim
XT3(x-3)(71+X+2)
=lim
xt3
(2)怛垢于二凹
(V1—x—3)(V1—x+3)(M兀-_2Vx+4)
(V-V+2)(V-+4)(Jl—兀+3)
(x+8)(V1—x+3)
=lim
大t-8
—(Vx2—2y[x+4)_-[4-2x(-2)+4]
一—2
5.求极限:
lim芈二!
•
Xiy/X-1
Vx-1
解:
lim—p=~=limr-r-zVx-iz(Vx+i)(Vx-i)
=lim——=—.
zVx+12
6.求极限:
lim硏^一丽
XT()
(a>0)
解:
•.•(//+兀-需)(Ja+x+奶)二x,:
.、]a+x一航二,
Qa十x+Qa
•v4a^x-4ci..xK114a
..lim=lim—/t=—=lim〔亍=—亍=——.
xtox“TO(Jq+x+Jg)兀“to+兀+2』a2d
7.求极限:
lim1+兀~~-
XT()X
解:
vvm~i==_l,h.二在区间卜仁+切上连续,
Alim戸-1
xtO
%X(5/l+X+1)Jl+X+1Jl+%+1
二lim—二一=-
兀ioji+x+i71+0+12
8•求下列各极限:
⑴呵牛中
⑵]曲心-1
XT°X
解:
(1)
(x1)^2—x
=lim
XTl
V2-1
u+i)(x2+i)(i+i)(r+i)4
(2)lim
・ttO
7171-1lim
兀XT°
(1J-1=lim
X(J1+X+1)IO
1
Jl+无+1
9.求极限:
lim
xt4
Jl+2x—3
x-4
解:
原式=lim
xt4
l+2x-9
=lim
(x-4)(Vl+2x+3)s4
Jl+2x+371+2x4+3-卞
丫3_Qr4-?
讥求卜列各极限:
⑴咽壬厂
(2)lim1
XTl1一兀3
1-丿
解:
(1)原式=lim(£zM£±£z2)
XT1(I-x)(l+x)
=limx2+V~2=0;
XT1_(]+兀)
(2)原式二lim—=lim
―】(l-x)(l+x+x-)—1
(1—x)(2+Q,二]讪
(1一X)(2+兀+兀2)XT1
11.求极限:
lim(血+延1一_牛)a\-x1—仮
解:
原式二lim("+”_'2(1+仮))二UmJI+x-、云二恤「一•
.—I1-r1-r2】1-rZ^1+X+<2x4
12.求极限:
2sin2x
lim
E1+COS'兀
解:
lim
2sin~x2(1-cos~x)
=liml+cosrzl+cosr
2(1-cosx)(l+cosx)
=lim
(1+cosx)(l一cosx+cosx)
(2)
lim坂Hi
XT2x-2
解:
(1)
x—3
lim=lim
jvt3兀-—9xt3
x-3
(2)lim
xt2
14.求极限:
解:
lim—~=lim
ZJx一1Z
£
(x+3)(%一3)23x+36
=lim—
x-1-l
v111
(x-2)(V7H+i)xt2VT^T+iQH+i2
Vx-l
=]jm—-—=—
(坂+1)(依-1)z頁+12*
15.求极限:
lim后^一侖
A->()
(a>0)
2(1-cosx)2(1+1)4
=lim==-
f1一cos+cos~x1+1+13
r—3
13.求下列各极限:
(1)lim斗二
—3对一9
解:
V(4ci4-x-4ci)(yJa-^-x+4ci)=x,y/a+x-4a=.X——,
Qa十x+Qci
..Qa+x—x11y[ci
..lim=lim—/t=—=lim『f==—=
xt°丫xto(Jq+x+Jq)兀xtoJq+x+Jq2^Ja2a
16.求极限:
lim~-
XTOX
解:
7Vl+X-1=+=1且.在区间[・1,+oo)上连续,
X(a/1+x+1)a/1+X+1a/1+%+1
・•・lim=lim-—=-=^=—=-
5XDJ1+X+]714-0+12
忆求下列各极限:
⑴卿弓乎
⑵lim曲_1
xtOx
解:
(1)]jm(x-lW2-x=]im
XTl工4_]—I
£
(x4-1)(x24-1)_(1+1)(124-1)_4;
(2)lim
・ttO
E-llim(1J-]=lim
兀XTOx(J1+x+1)xtO
1
Jl+无+1
18.求极限:
十Jl+2x—3
lim
x—>4
x-4
解:
原式=lim
xt4
l+2x-9
t=lim
(x-4)(Jl+2x+3)s4
Jl+2x+371+2x4+3-亍,
/_Qr4.O
何求卜列各极限:
⑴咽壬厂
(2)lim1
XTl1一兀3
1-丿
解:
(1)原式=lim(£zM£±£z2)
XT1(I-x)(l+x)
=limx2+V~2=0;
XT1_(]+兀)
(2)原式二lim—=lim
21(1-X)(1+X+X^)兀T1
(1—x)(2+Q,二恤
(1-x)(2+x+x2)3
20.求极限:
lim(血+延1一_岂=)
z1-X1-Vx
解:
原式二lim("+”_"'(I+仮))二Um胡+_、云二恤十•
"TiVl+x+V2x4
XT】X
21.求极限:
■•2sin2xlim—
f1+cos'x
解:
lim
2sin2x“2(1—cos~x)
=lim:
——
1+cosrxt/t1+cosr
=lim
Xf兀
2(1-cos兀)(1+cosx)
(1+cosx)(l-cosX+cos2x)
=Hm2(l-cosx)^2(1^)^xf1-cos+cos^x1+1+13
(2)
心2x-2
22.求下列各极限:
(1)lim4-^-
xt3兀2_9
解:
(1)
i•x—31•
lim—=lim
a—>3〒_9x—>3
x-3
=lim—
(x+3)(x-3)宀x+36
(2)
lim
xt2
如O二lim
x-2XT2
x-1-1
—]jjyj二*二[
(兀-2)(V7^T+i)377^T+iV^T+i2
题型3函数的连续性及应用
1.给定函数f(x)=x-[x],(其中[X]表示不大于X的最大整数).
(1)求f(0),(1,5),f(-2.5)的值;
(2)作出函数f(x)=x-[x]的图象的草图;
(3)求limf(x),limf(x),并说明函数f(x)在点处没有极限.
XT广大一>厂
解:
(1)f(0)=0-[0]=0-0=0,f(1.5)=1.5-[1.5]=1.5-1=0.5,f(-2.5)=-2.5-[-2.5]=-2.5-(-3)=0.5.
(2)该函数的图象如图2-3-9所示.
(3)由函数f(x)=x-[x]的图象可以看出,limf(x)=1,limf(x)=0.
XTl-XT广
—4—3—2^1O\2345hlimf(x)Hlimf(x).从而,函数f(x)在点x=1处没有极限.
XT1xt!
图2-3-9
—(02x
2.已知函数f(x)=F(1vXV2),函数f(x)在点xh;x=2处是否连续?
2x(2解:
limf(x)=lim一=—,limf(x)=limx2=1,
2x2XT广XT广
Tlimf(x)Hlimf(x),/•limf(x)不存在,f(x)在点x=1
XT厂XT广XTl
处不连续.
类似地讨论冇:
limf(x)=limf(x)=4,即limf(x)=4,又f
(2)=4,Af(x)在点x=2处连续.
xt2-xt2
评注:
(1)考虑分段函数在分界点处的极限,一般要分左极限、右极限进行讨论来确定,判断函数在一点处是否连续,应准确抓住三个条件,并注意把握思考的顺序:
-•看有无定义,二看极限,三看函数值.
1-Jl-兀(
3.设f(x)=—^("°)a+bx(x>0)
当a取何什时,函数f(x)是连续的?
解:
limf(x)=lim
xt(t兀一>0一
1_(]_兀)1I
S肿肓=rSf(x)=f(0)=a'•■-当a=i时‘吧f(x)=f(0)>
即函数f(x)在点x=0连续・・••当a=l时,f(x)是处处连续的.
4.已知函数f(x)二<
aF+bIX(兀V1)
x~\
m(x=1)
bx+clz(、——+1(兀〉1)
x—\
(1)若函数f(x)在x=1处有极限,求a、b、c的值;
(2)若函数f(x)在处连续,求m.
+h
解:
(1)Vlim存在,ax2+b含冇因式即x=1是方程ax2+b=0的根,Aa=-b
YTl-X-l
©:
2
/.lim=lima(x+1)=2a.同理由lim(加+"+1)存在,得b二・c②;
大一>厂X~\、T1-XT1+X~\
hx+C
lim(-+1)=lim(b+1)=b+1.Vlimf(x)存在,2a=b+1,③
XT广X~\XT广XTl
由①②③解得a二一,b二—,c=—:
333
22
(2)若函数f(x)在x=1处连续,则有lim=f⑴,由
(1)limf(x)=2a=—,Am=—.
XTlXT133
x-1,%<0,,
5.已知f(x)斗,问limf(x)存在吗?
兀+l,X>0“TO
解:
Vlimf(x)=lim(x-1)=-1,而limf(x)=lim(x+1)=1,Alimf(x)不存在•
A->0"XT(PXT(fXT(T
7T
(2)f(x)=tanx在点x=q处;
6.判断下面函数在所给出的点是否连续:
(1)f(x)=x2-2x+3在点xh处;
l,
(3)
f(x)二
x=0
x2在点x=0处.
——H0
I兀I
解:
(1)函数f(x)=x2-2x+3在点x=4及其附近有定义,且lim(x2-2x+3)=limx2-2limx+3
XTlXTlXT1
=(limx)2-21imx+3=12-2x1+3=2=f
(1)o.*.f(x)=x2-2x+1在点x=1处连续.
XT1XT1
y=tanx的一个间断点.
(3)函数f(x)=<1,
/.limf(x)=Ot但f(0)=1,xtO
(2)函数gx在点旨的附近有定义,但有X石没有定义,也不存在极限,.••点X石是函数
x>0
x=0“J知f(x)在点x=0及其附近有定义.又limf(x)=limf(x)=O,XT(rXT()+
兀v0limf(x)#f(0)oAf(x)在点x=O处不连续,点x=0是函数f(x)的间断点.
xtO
X"+l(x<_1),
7•讨论f(x)=U(x=-1),的连续区间.
兀3+3(x>—1),
解:
显然f(X)在(・8,・1)和(・1,+切内是连续的,故只需讨论在分界点X=-1处的连续性.
・.•limf(x)=lim(x2+1)=2,limf(x)=lim(x3+3)=2,Alimf(x)=2.当k=2II寸,f(x)在(・《>,+g)内连
XT-厂XT-厂XT-广XT-广XT-1
续;当kH2吋,f(x)在(・8,・1)u(・1,+8)内连续.
[a^x,x>0
&设f(x)二,怎样选择实数a吋,使函数f(x)是连续的?
\e\x<0
解:
limf(x)=lim(a+x)=a,limf(x)=limex=1.又f(O)二a,故当a二*1时,limf(x)=f(O),上式就说xtO+xt(TxtO
明了f(x)x=O连续.在xHO的其他任何x值,f(x)显然连续.因此,当ah时,f(x)在(・8,+8)是连续的•
ex(X<0)
9.怎样选取实数a,使函数f(x)二彳A在点x=0处连续?
其屮e是无理数.
[a+x(X>0)
解:
f(0)=a+0=a.limf(x)=limex=e°=1,limf(x)=lim(a+x)=a.
XT()-XT()-・YT()*"TO*
[ex(x<0)
令f(0)=limf(x)=limf(x),得a=1.A选取可使函数f(x)=<'在点x=0处连续.
xt(txto+[a+兀(%>0)
兀2_4
10.讨论f(x)二的连续性;适当定义菜点的函数值,使f(x)在区间(・3,3)上连续.
x-2
兀2-4
解:
・・•分母不能为0,・・・f(x)二的定义域为:
(・8,2)U(2,+8)。
当x*2时,f(x)二x+2,・・・f(x)在(・巴2)
x-2
兀2_4/c\
二7'°工2)此吋f(x)在区间(・3,3)
4,(x=2)
内连续,在(2,+切内连续•・・・x=2不属于f(x)的定义域.・・・f(x)在x=2处不连续.
兀2_4
又Tlim=lim(x+2)=4,不妨设f
(2)=40
XT2x-2xt2
上连续.
r2_4
11.已知函数/(x)二~,
(2)求/(X)的不连续点Xo;
x+2
(1)求/(x)的定义域,并作出函数的图彖;
(3)对心)补充定义,使其是R上的连续函数.
解
(1)当"2M0时,有卅一2,因此,函数的定义域是
兀2一4(-8-2)5—2,+切,当42时,心)二一-=x-2,其图象如右图
x+2
(2)由定义域知,函数/(x)的不连续点是x0=-2.
(3八・当x#-2时,/(x)=x-2,.\lim/U)=lim(x-2)=-4.因此,将心)的表达式改写为
XT-2XT-2
\2-4
2),则函数心)在r上是连续函数.
-4(x=-2)
12.求证:
方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根,且它不大于a+b・
解:
设f(x)=asinx+b—x,则f(O)=b>O,f(a+b)二a・sin(a+b)+b—(a+b)二aEsin(a+b)—1]<0,又f(x)在(O,a+b]内是连续函数,所以存在一个x()w(O,a+b],使f(xo)=O,即x。
是方程f(x)=O的根,也就是方程x=asinx+b的根.因此,方程x=asinx+b至少存在一个正根,几它不大于a+b・
(xv_l)
(-l(l3
13.已知函数f(x)=x(x+l)
log2(x-l)
⑴讨论/(x)在点x=-1,0,1处的连续性;⑵求/(x)的连续区间.
解⑴limKx)=3,lim/(x)=-1,.\lim心)不存在,在x=T处不连续,
但lim/(x)=/(-1)=-1,lim/(x)#/(-1),Af(x)在x=T处右连续,左不连续
X—>~1XT-厂
lim/(x)=3=/
(1),limZ(x)不存在,所以limgx)不存在,・・.心)在不连续,但左连续,右不连续.又
X-»rXT1+XT1
lim/(x)=/(O)=O,0T以心)在x=0处连续.
xtO
⑵心)中,区间(―-1),[一行],(1,5]上的三个函数都是初等函数,因此心)除不连续点%=±1外,再也无不连续点,所以/(x)的连续区间是(―-1),[-1,1]和(竄5]・
14.求lin/严7
.34arctan
解:
利川函数的连续性,
即lim/(x)=/(x0),・・・lim'"~Sin(2-'V)
心必xti4arctanI
sin(2-l)
4arctanl
1-J1-兀
15.若心)二—x—
a+bx
Y°处处连续,求3的值。
x>0
解:
lim.f(x)=lim""
xtOxtO
X
—=lim/
XA—>01+yj\—x
],・••lim/(-v)=lim(d+bx)=O,・・・c=]
2xtO*xtO*2
2X-1
16.已知函数f(x)=~—
2"+l
(xhO)
1(x=0)
(1)/(x)在x=0处是否连续?
说明理由;
(2)讨论心)在闭区间[-1,0]和[0,1]上的连续性.
1-一(*0)
解⑴T/W二.1;limW=-1,lim/(x)=1,m以lim©)不存在,故心)在x=0处不
乙十1片tO“xtO*xtO
1(x=0)
连续。
(2)Rx)在(一8,+8)上除心0外,再无间断点,由⑴知心)在x=0处右连续,・・・心)在[T,0]上是不连续函数,在[0,1]上是连续函数.
(x<0)
a+bx(x>0)
⑴求/(-X);
(2)求常数3的值,使心)在区间(一8,+8)内处处连续.
J1十X—1(小
解
(1)K—x)二—x—(兀)
a-hx(x»0)
(2)要使心)在(一°%+8)内处处连续,只要心)在%=0连续,
Tlim彳x)二lim=lim=lim=丄;limRx)二lim(a+bx)=m。
.••要Rx)在
xt(fxt(txxto-x(l+J1—兀)xt(f1+U1-x2x->o+xto+
x=O处连续,只要limf(x)=limf(x)=