中考复习压轴题突破之二次函数十大常考问题及详细解析.docx

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中考复习压轴题突破之二次函数十大常考问题及详细解析

2019中考复习压轴题突破之二次函数部分

二次函数压轴题中常考的十大问题：

一、二次函数中的线段垂直与极值问题

二、二次函数中的平行四边形问题

三、二次函数中的动点和面积问题

四、二次函数中的直线平移和三角形面积问题

五、二次函数的性质和三角形相似问题

六、二次函数中三角形面积和勾股定理的运用

七、二次函数中四边形周长最小值问题

八、二次函数中的平行四边形和全等三角形

九、二次函数中的面积和相似问题

十、二次函数中的三角函数及点的存在性

一、二次函数中的线段垂直与极值问题

解析：

（1）对称轴是y轴，首先可以确定b，

再将两点坐标代入求出完整解析式即可；

（2）根据抛物线解析式，假设点P的横坐标为x，

表示出纵坐标，分别以含x的代数式来表示PO和PQ，

证明二者相等即可；（实质为高中数学抛物线的定义）

（3）①假设过原点的直线为y=kx，

根据第一问求出的解析式，结合y=kx，

得到两个交点的横坐标之和与横坐标之积，假设B和A的横坐标分别为m和n，

那么ON²=m²+4，OM²=n²+4，

而MN²=（m-n）²=m²+n²-2mn，

根据两根之积代入，

使ON²+OM²=MN²成立，

即可证明OM⊥ON；

②根据PO=PQ，

可得FO等于F到直线L的距离，

所以只需要F到点D和直线L的距离之和最小即可，

根据图像可知DF⊥直线L时，线段和最小，

得到此时点F的坐标即可；

这道题不难，涉及到的都是二次函数的性质，不过，高中即将学到的“到定点和到定直线距离相等的点的集合”这个概念在本题中是很明显的，也算是让同学们重新认识一下二次函数。

二、二次函数中的平行四边形问题

解析：

（1）两个抛物线关于y轴对称，那么对称轴关于y轴对称，和y轴交于同一点，

开口大小一样，

所以可以确定a=1，m=2，n=-3，

所以两个抛物线的解析式可得；

（2）抛物线和x轴的交点坐标比较容易，不再多说；

（3）先求出AB的长度为4，

画出图像之后，相信同学们就可以观察到，

PQ必定与y轴相交，

在y轴两侧时，两个函数相同高度的横坐标差值达不到4，

所以P和Q只能在y轴的两侧，

假设点P（x，y），那么Q可能在P的左侧，也可能在P的右侧，

即两点是在x轴上方还是下方，位置不同的，

所以点Q（x-4，y）或者（x+4，y）

分别将P和Q的坐标代入它们的抛物线解析式中，

结合两个方程，求出x、y即得到P和Q的坐标，

所以最后有2种情况。

三、二次函数中的动点和面积问题

解析：

（1）第一问肯定是90°了；

（2）首先O和A两点坐标已知，

连接OC，可以得到OC=OA=10.那么可以求出OD，

那么就有点D的坐标，

接下来点B的坐标也不是难事，

最后三点确定抛物线的解析式即可；

（3）这一问其实想明白了就简单了，无非需要一些计算，

首先我们连接AE，点P在第一象限的抛物线上，

那么点P要么在OE上方的一段抛物线上，要么在AE上方的一段抛物线上，

所以△AOE的面积是固定的，

而变动的面积只是△OPE或者△APE的面积，

根据直线平移法，可知直线和抛物线有两个交点的时候，这两个交点的任意一个和已知的OE组成的三角形面积是相等的，同样AE上方的那段也是这样，

但是如要想要有三个符合条件的点P，

则只能OE或AE平移后，其中一个和抛物线有两个交点，另一个和抛物线只有一个交点，

根据图像也可以看出来在对OE和AE进行平移的过程中，AE的平移距离是最小的，而且AE没有OE长，

所以当点P在AE这边的抛物线上，并且距离AE最远的时候，AE这边的点P只有一个，但是OE那边符合条件的点P有两个（OE＞AE，所以平移距离肯定小），

所以只需要对AE进行平移，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，

求出交点的坐标，

并计算此时四边形的面积S即可；

四边形的面积，可以过E和P向x轴做垂线，

将四边形分成两个三角形和一个梯形，

分别求出面积最后加在一块即可；

四、二次函数中的直线平移和三角形面积问题

（1）由抛物线的解析式可得对称轴为x=4，

所以点B坐标可知（4,0），同时A（0,3），

所以AB=5，

所以BD=5，那么点D（4,5），

将点D代入解析式求得a即可；

（2）先求出直线AB的解析式，

将直线AB进行平移，设出平移后的解析式，

已知平移后的直线DP过点D,

所以将点D代入求出完整的DP解析式，

再与抛物线相交求出点P的坐标；

（3）∠ABD为△ABG的外角，

根据条件可知，△ABG是等腰三角形，且AB=BG，

所以BG=5，同时三角形的高=OB=4，

所以面积soeasy！

五、二次函数的性质和三角形相似问题

解析：

（1）有些同学可能看到解析式有两个未知数，但是题中只给了一个坐标点，不知道如何求取点B的坐标，

点B是对称轴和x轴的交点，那么我们将点A代入解析式，

其实是可以得到a和b的关系，

再代入到对称轴的公式中，即可得到点B坐标；

（2）上一问知道了对称轴，那么点C的坐标可知，

这一问给出了一组角相等，那么很可能就是利用三角形相似，

但是只有一组角相等，明显条件不够，

那么，∠BDC+∠CBD=∠BCE=45°，

而∠ACB+∠BAC=AB和对称轴的夹角=45°，

而∠ACB=∠BDC，

所以∠CBD=∠BAC，

那么△ABC∽△BCD，

所以AB：

BC=BC：

CD，

AB和BC都可以求出，那么CD也可以，

同时点E的坐标也可以求出，那么CE也没问题，

线段DE可得，

根据∠BED=45°求出点D坐标，

将点D代入解析式求出a和b，

得到完整的解析式；

六、二次函数中三角形面积和勾股定理的运用

解析：

（1）A和C的坐标代入即可求得解析式；

（2）有点P的坐标，可以求出∠OAP的三角形函数值tan∠OAP，

那么∠APO=∠BPD，

所以∠PBD=∠OAP，

利用tan∠PBD和OB求出OE，即点E的坐标，

那么CE可知，

△EBC的高也没问题，

所以面积可求；

（3）点D在对称轴上，可以设其纵坐标为y，

那么△ABD是直角三角形，

分别表示出AD、BD、AB的长度，利用勾股定理求出y，

随后求出直线AD的解析式，

找到与y轴交点P的坐标即可；

七、二次函数中四边形周长最小值问题

解析：

（1）直接利用顶点式得到y=a（x-1）²+4，

将点B代入求出解析式y=-（x-1）²+4，

再变为一般式y=-x²+2x+3，

（2）这一问求四边形的周长最小值，

同学们平时可能见得比较多的是三角形的周长最小值，突然见到四边形周长，估计会一下子不知道如何去解决，

我们先来看题中给出的点E有什么用，横坐标为2，那么纵坐标可以求出是4，

和点D一样，那么点D和E关于对称轴对称，

那么GD=GE，

还差GH和HF，而DF是定值，所以只要其他三段的和最小即可；

我们看GH+HF什么时候最小呢？

找到点F关于x轴的对称点F'，

那么肯定是G、H、F'三点共线的时候，和最小，

GH+FH=GF'，

再来看GD=GE，

那么GD+GH+HF=GE+GH+HF'，

什么时候这三段相加最小呢？

四点共线的时候，所以点G和H的位置可以确定了，

首先求出直线F'E的解析式，然后分别于x轴和对称轴相交求出H和G的坐标，

而四边形的周长=DF+EF'求出即可；

（3）首先作出图形，

△DNM∽△BMD，对应角∠DMN=∠BDM，∠MND=∠BMD，∠MDN=∠DBM，MN：

DM=DM：

BD，

即DM²=MN·BD，

设点T的横坐标为t，那么M（t，0），B（3，0），D（0,3），

∠OBD=45°，∠AMN=45°，

MN=DM²/BD=（9+t²）/BD，（BD带根号2，就不再给出了）

∴然后根据MN的长度和∠AMN=45°可以表示出N的横纵坐标，

然后点N在直线AD上，

代入直线AD的解析式，

解二元一次方程，得到两个t都是正数，

但有一个会不适合，扔掉即可；

最后的结果老师计算了一下t=1.5；

再计算出点T的坐标即可；

八、二次函数中的平行四边形和全等三角形

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴的一个交点为A（-2,0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B，

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）经过B、C的直线L平移后与抛物线交于点M，与x轴一个交点为N，当以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；

（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？

若存在，直接写出点P的坐标；若不存请说明理由。

解析;

（1）根据对称轴x=3和点A坐标代入，

求出完整的解析式；

（2）CM为平行四边形的边时，

CM//BN，所以可以很轻松求出点M的坐标；

当CM为对角线的时候，我们知道点M到x轴的距离=C到x轴的距离，

但是M在x轴下方，所以纵坐标为负，将纵坐标代入抛物线解析式，

那么就可以求出点M的坐标了，

解出来是带根号的，而且是两个值，都符合；（一个在y轴左侧、一个在右侧）

（3）△PBD≌△PBC，根据对应点得到对应线段相等（各点对应，不然情况就太多了），

全等可得BC=BD=5，所以能够得到点D的坐标，有两种可能，D（8,0）或D（-2,0），

假设CD的中点为E，那么可以得到E的坐标，

所以直线BE的解析式可得，

BE与抛物线的交点不就是点P吗？

所以结合抛物线解析式，解方程，

得到两个P的坐标；

这是一种点D在坐标情况下所得，

那么另一种，同样的方法找到CD中点E，结合直线BE解析式求P坐标；

（其实当点D为（-2,0）的时候就和A重合了，只要找AC的中点即可）

最后求出的点P个数是4个，而且都是带根号的。

九、二次函数中的面积和相似问题

解析：

（1）将B、C两点坐标代入求得a和b的值，

得到完整的解析式，

再计算顶点D的坐标即可；

（2）连接CD和AD，

顺便作对称轴交AC于E，计算出E的坐标，得到DE长度，

然后分别求出△ADE和△DEC的面积，

最后加在一块就行了；

（3）既然要相似，∠OCD肯定要和△ABC内一个角相等，那么

其肯定与∠BAC不等，所以只有∠OCD=∠BAC了，

那么就是剩下的两个角会产生两种可能性了，

情况一：

∠POC=∠ACB

该情况下，OP所在直线与AC所在直线符合kOP=-kAC（对称）

所以可以得到OP所在直线的解析式，然后与CD相交得到点P坐标；

情况二：

∠POC=∠ABC

该情况下，OP//AB,

运用直线平移法得到OP的解析式，

然后与CD相交得到点P坐标；

十、二次函数中的三角函数及点的存在性

解析;

（1）根据直线解析式求出A和C的坐标，

然后代入抛物线解析式求得b和c的值，

得到完整的解析式；

（2）CP//AO时，可以求出点P的坐标，

如果有同学看了前几次的倒计时题目，那么就会发现有一道同类型的题目，

所以从点P向AC作垂线，求出垂线的长度，以及点C到垂足的距离，

然后利用点A到垂足的距离和垂线长度求出tan∠PAC；

具体大家自己计算吧，这一次老师就不用上次的方法一步一步叙述了，

tan∠PAC=（kAP-kAC）/（1+kAP·kAC）,

同学们算出来可以利用这个公式验证一下结果，但是该公式不推荐同学们在写过程中使用；

（3）假设另一顶点为M，那么PM//OA，且PM=OA，

AO=4，那么PM=4，且P和M关于对称轴对称，而对称轴x=-1，

所以点P和M的横坐标可以得到，

进而求出纵坐标即可；