全国中考数学真题《整式与因式分解》分类汇编解析.docx
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全国中考数学真题《整式与因式分解》分类汇编解析
整式与因式分解
考点一、整式的有关概念（3分）
1、代数式
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、单项式
只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意：
单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如
，这种表示就是错误的，应写成
。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如
是6次单项式。
考点二、多项式（11分）
1、多项式
几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
单项式和多项式统称整式。
用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。
注意：
（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。
（2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。
2、同类项
所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
3、去括号法则
（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。
（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。
4、整式的运算法则
整式的加减法：
（1）去括号；
（2）合并同类项。
整式的乘法：
整式的除法：
注意：
（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。
（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。
（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。
（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。
（6）
（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。
考点三、因式分解（11分）
1、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法
（1）提公因式法：
（2）运用公式法：
（3）分组分解法：
（4）十字相乘法：
3、因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：
2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
一.选择题
1．（2017·山东省滨州市·3分）把多项式x2＋ax＋b分解因式，得（x＋1）（x﹣3）则a，b的值分别是（ ）
A．a＝2，b＝3B．a＝﹣2，b＝﹣3C．a＝﹣2，b＝3D．a＝2，b＝﹣3
2．（2017·山东省德州市·3分）下列运算错误的是（ ）
A．a＋2a＝3aB．（a2）3＝a6C．a2•a3＝a5D．a6÷a3＝a2
3．（2017·山东省东营市·3分）下列计算正确的是（）
A.3a＋4b＝7abB.（ab3）3＝ab6C.（a＋2）2＝a2＋4D.x12÷x6＝x6
4．（2017·山东省菏泽市·3分）当1＜a＜2时，代数式|a﹣2|＋|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
5．（2017·山东省济宁市·3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x5B．x6＋x6＝x12C．（x2）3＝x5D．x﹣1＝x
6．（2017·山东省济宁市·3分）已知x﹣2y＝3，那么代数式3﹣2x＋4y的值是（ ）
A．﹣3B．0C．6D．9
7.（2017·重庆市A卷·4分）计算a3a2正确的是（ ）
A．aB．a5C．a6D．a9
8.（2017·重庆市A卷·4分）若a＝2，b＝﹣1，则a＋2b＋3的值为（ ）
A．﹣1B．3C．6D．5
9.（2017·重庆市B卷·4分）计算（x2y）3的结果是（ ）
A．x6y3B．x5y3C．x5yD．x2y3
10.（2017·重庆市B卷·4分）若m＝﹣2，则代数式m2﹣2m﹣1的值是（ ）
A．9B．7C．﹣1D．﹣9
11．（2017广西南宁3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2﹣a＝aB．ax＋ay＝axyC．m2•m4＝m6D．（y3）2＝y5
12．（2017贵州毕节3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣2（a＋b）＝﹣2a＋2b；B．（a2）3＝a5；C．a3＋4a＝
a3D．3a2•2a3＝6a5
13．（2017海南3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12B．a3•a5＝a15C．a2＋a2＝a4D．a6÷a2＝a3
14.（2017河北3分）计算正确的是（）
A.（－5）0＝0B.x2＋x3＝x5C.（ab2）3＝a2b5D.2a2·a－1＝2a
15.（2017河北3分）在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是（）
A．
B．
C．
D．
16.（2017·广西百色·3分）分解因式：
16﹣x2＝（ ）
A．（4﹣x）（4＋x）B．（x﹣4）（x＋4）C．（8＋x）（8﹣x）D．（4﹣x）2
17.（2017·广西桂林·3分）下列计算正确的是（ ）
A．（xy）3＝xy3B．x5÷x5＝x
C．3x2•5x3＝15x5D．5x2y3＋2x2y3＝10x4y9
18.（2017·贵州安顺·3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．2a＋3b＝5abC．a8÷a2＝a6D．（a2b）2＝a4b
19.（2017·湖北随州·3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a5÷a2＝a3C．（﹣3a）3＝﹣9a3D．2x2＋3x2＝5x4
20.（2017·湖北武汉·3分）下列计算中正确的是（）
A．a·a2＝a2B．2a·a＝2a2C．（2a2）2＝2a4D．6a8÷3a2＝2a4
21.（2017·湖北武汉·3分）运用乘法公式计算（x＋3）2的结果是（）
A．x2＋9B．x2－6x＋9C．x2＋6x＋9D．x2＋3x＋9
22.（2017·吉林·2分）计算（﹣a3）2结果正确的是（ ）
A．a5B．﹣a5C．﹣a6D．a6
23.（2017·吉林·2分）小红要购买珠子串成一条手链，黑色珠子每个a元，白色珠子每个b元，要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费（ ）
A．（3a＋4b）元B．（4a＋3b）元C．4（a＋b）元D．3（a＋b）元
24.（2017·江西·3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2＋a2＝a4B．（﹣b2）3＝﹣b6C．2x•2x2＝2x3D．（m﹣n）2＝m2﹣n2
25.（2017·辽宁丹东·3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2B．a2•a3＝a6C．（a3）2＝a6D．（﹣2a2）3＝8a6
26．（2017·四川攀枝花）计算（ab2）3的结果，正确的是（ ）
A．a3b6B．a3b5C．ab6D．ab5
27．（2017·四川泸州）计算3a2﹣a2的结果是（ ）
A．4a2B．3a2C．2a2D．3
28.（2017·黑龙江龙东·3分）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2a•3a＝6aB．（3a2）3＝27a6
C．a4÷a2＝2aD．（a＋b）2＝a2＋ab＋b2
29．（2017·湖北黄石·3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．a12÷a3＝a4C．a3＋b3＝（a＋b）3D．（a3）2＝a6
30．（2017·湖北荆门·3分）下列运算正确的是（ ）
A．a＋2a＝2a2B．（﹣2ab2）2＝4a2b4C．a6÷a3＝a2D．（a﹣3）2＝a2﹣9
31．（2017·湖北荆州·3分）下列运算正确的是（ ）
A．m6÷m2＝m3B．3m2﹣2m2＝m2C．（3m2）3＝9m6D．
m•2m2＝m2
32.（2017·内蒙古包头·3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．2＋
＝2
B．
＝2C．（﹣2a2）3＝﹣6a6D．（a＋1）2＝a2＋1
33.（2017·青海西宁·3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a•3a＝6aB．（﹣a3）2＝a6C．6a÷2a＝3aD．（﹣2a）3＝﹣6a3
34.（2017·山东潍坊·3分）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是（ ）
A．a2﹣1B．a2＋aC．a2＋a﹣2D．（a＋2）2﹣2（a＋2）＋1
35.（2017·陕西·3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2＋3x2＝4x4B．x2y•2x3＝2x4yC．（6x2y2）÷（3x）＝2x2D．（﹣3x）2＝9x2
二、填空题
1.（2017·江西·3分）分解因式：
ax2﹣ay2＝ ．
2.（2017·山东省东营市·3分）分解因式：
a3－16a＝_____________.
3.（2017·浙江省绍兴市·5分）分解因式：
a3﹣9a＝ ．
4.（2017·福建龙岩·3分）因式分解：
a2﹣6a＋9＝ ．
5.（2017·广西百色·3分）观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a＋b）＝a2﹣b2
（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3
（a﹣b）（a3＋a2b＋ab2＋b3）＝a4﹣b4
…
可得到（a﹣b）（a2017＋a2015b＋…＋ab2015＋b2017）＝ ．
6.（2017·广西桂林·3分）分解因式：
x2﹣36＝ ．
7.（2017·贵州安顺·4分）把多项式9a3﹣ab2分解因式的结果是 ．
8.（2017·黑龙江哈尔滨·3分）把多项式ax2＋2a2x＋a3分解因式的结果是 ．
9.（2017广西南宁3分）分解因式：
a2﹣9＝ ．
10．（2017贵州毕节5分）分解因式3m4﹣48＝ ．
11．（2017海南4分）因式分解：
ax﹣ay＝ ．
12．（2017海南4分）某工厂去年的产值是a万元，今年比去年增加10%，今年的产值是 万元．
13.（2017河北3分）若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5nm＋10＝______
14.（2017·吉林·3分）分解因式：
3x2﹣x＝ ．
15.（2017·吉林·3分）若x2﹣4x＋5＝（x﹣2）2＋m，则m＝ ．
16.（2017·辽宁丹东·3分）分解因式：
xy2﹣x＝ ．
17．（2017·四川宜宾）分解因式：
ab4﹣4ab3＋4ab2＝ ．
18．（2017·四川内江）分解因式：
ax2－ay2＝______．
19．（2017·四川南充）如果x2＋mx＋1＝（x＋n）2，且m＞0，则n的值是 ．
20．（2017·四川泸州）分解因式：
2a2＋4a＋2＝ ．
21.（2017·湖北黄石·3分）因式分解：
x2﹣36＝ ．
22．（2017·湖北荆门·3分）分解因式：
（m＋1）（m﹣9）＋8m＝ ．
23．（2017·湖北荆州·3分）将二次三项式x2＋4x＋5化成（x＋p）2＋q的形式应为 ．
24.（2017·内蒙古包头·3分）若2x﹣3y﹣1＝0，则5﹣4x＋6y的值为 ．
25.（2017·青海西宁·2分）因式分解：
4a2＋2a＝ ．
26.（2017·青海西宁·2分）已知x2＋x﹣5＝0，则代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）＋（x＋2）（x﹣2）的值为 ．
26.（2017·山东潍坊·3分）若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，则m＋n＝ ．
27.（2017·四川眉山·3分）分解因式：
m2﹣9＝ ．
三.解答题
1．（2017·山东省菏泽市·3分）已知4x＝3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x＋y）﹣2y2的值．
2．（2017·山东省济宁市·3分）先化简，再求值：
a（a﹣2b）＋（a＋b）2，其中a＝﹣1，b＝
．
3.（2017·吉林·5分）先化简，再求值：
（x＋2）（x﹣2）＋x（4﹣x），其中x＝
．
4.（2017·湖北黄石·4分）计算：
（﹣1）2017＋2sin60°﹣|﹣
|＋π0．
5.（2017·浙江省湖州市）当a＝3，b＝﹣1时，求下列代数式的值．
6.（2017·重庆市A卷·5分）（a＋b）2﹣b（2a＋b）
7.计算：
（1）（2017·重庆市B卷·5分）（x﹣y）2﹣（x﹣2y）（x＋y）
参考答案
整式与因式分解
一.选择题
1．（2017·山东省滨州市·3分）把多项式x2＋ax＋b分解因式，得（x＋1）（x﹣3）则a，b的值分别是（ ）
A．a＝2，b＝3B．a＝﹣2，b＝﹣3C．a＝﹣2，b＝3D．a＝2，b＝﹣3
【考点】因式分解的应用．
【分析】运用多项式乘以多项式的法则求出（x＋1）（x﹣3）的值，对比系数可以得到a，b的值．
【解答】解：
∵（x＋1）（x﹣3）＝x•x﹣x•3＋1•x﹣1×3＝x2﹣3x＋x﹣3＝x2﹣2x﹣3
∴x2＋ax＋b＝x2﹣2x﹣3
∴a＝﹣2，b＝﹣3．
故选：
B．
【点评】本题考查了多项式的乘法，解题的关键是熟练运用运算法则．
2．（2017·山东省德州市·3分）下列运算错误的是（ ）
A．a＋2a＝3aB．（a2）3＝a6C．a2•a3＝a5D．a6÷a3＝a2
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的乘法底数不变指数相加，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：
A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A正确；
B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B正确；
C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C正确；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D错误；
故选：
D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3．（2017·山东省东营市·3分）下列计算正确的是（）
A.3a＋4b＝7abB.（ab3）3＝ab6C.（a＋2）2＝a2＋4D.x12÷x6＝x6
【知识点】整式的加减——合并同类项，整式的乘除——积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法
【答案】D.
【解析】3a与4b不是同类项，不能合并，故A选项错误；（ab3）3＝ab9，故B选项错误；（a＋2）2＝a2＋4a＋4,故C选项错误；x12÷x6＝x12－6＝x6,故选D.
【点拨】掌握幂的运算性质和乘法公式是解题关键，它们分别是：
1.同底数幂相乘：
am·an＝am＋n（m,n都是整数）；2.幂的乘方（am）n＝amn（m,n都是整数）；
3.积的乘方：
（ab）n＝anbn（n是整数）；4.同底数幂相除：
am÷an＝am－n（m,n都是整数，a≠0）.
5.平方差公式：
（a＋b）（a－b）＝a2－b2；6.完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab＋b2,
4．（2017·山东省菏泽市·3分）当1＜a＜2时，代数式|a﹣2|＋|1﹣a|的值是（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
【考点】代数式求值；绝对值．
【专题】计算题．
【分析】根据a的取值范围，先去绝对值符号，再计算求值．
【解答】解：
当1＜a＜2时，
|a﹣2|＋|1﹣a|＝2﹣a＋a﹣1＝1．
故选：
B．
【点评】此题考查的知识点是代数式求值及绝对值，关键是根据a的取值，先去绝对值符号．
5．（2017·山东省济宁市·3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x5B．x6＋x6＝x12C．（x2）3＝x5D．x﹣1＝x
【考点】负整数指数幂；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】原式利用同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方及负整数指数幂法则计算，即可作出判断．
【解答】解：
A、原式＝x5，正确；
B、原式＝2x6，错误；
C、原式＝x6，错误；
D、原式＝
，错误，
故选A
6．（2017·山东省济宁市·3分）已知x﹣2y＝3，那么代数式3﹣2x＋4y的值是（ ）
A．﹣3B．0C．6D．9
【考点】代数式求值．
【分析】将3﹣2x＋4y变形为3﹣2（x﹣2y），然后代入数值进行计算即可．
【解答】解：
∵x﹣2y＝3，
∴3﹣2x＋4y＝3﹣2（x﹣2y）＝3﹣2×3＝﹣3；
故选：
A．
7.（2017·重庆市A卷·4分）计算a3a2正确的是（ ）
A．aB．a5C．a6D．a9
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后直接选取答案．
【解答】解：
a3a2＝a3＋2＝a5．
故选B．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
8.（2017·重庆市A卷·4分）若a＝2，b＝﹣1，则a＋2b＋3的值为（ ）
A．﹣1B．3C．6D．5
【分析】把a与b代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：
当a＝2，b＝﹣1时，原式＝2﹣2＋3＝3，
故选B
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9.（2017·重庆市B卷·4分）计算（x2y）3的结果是（ ）
A．x6y3B．x5y3C．x5yD．x2y3
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则求解．
【解答】解：
（x2y）3＝（x2）3y3＝x6y3，
故选A．
【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
10.（2017·重庆市B卷·4分）若m＝﹣2，则代数式m2﹣2m﹣1的值是（ ）
A．9B．7C．﹣1D．﹣9
【考点】代数式求值．
【分析】把m＝﹣2代入代数式m2﹣2m﹣1，即可得到结论．
【解答】解：
当m＝﹣2时，
原式＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣1＝4＋4﹣1＝7，
故选B．
【点评】本题考查了代数式求值，也考查了有理数的计算，正确的进行有理数的计算是解题的关键．
11．（2017广西南宁3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2﹣a＝aB．ax＋ay＝axyC．m2•m4＝m6D．（y3）2＝y5
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】结合选项分别进行幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法等运算，然后选择正确答案．
【解答】解：
A、a2和a不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、ax和ay不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、m2•m4＝m6，计算正确，故本选项正确；
D、（y3）2＝y6≠y5，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法的知识，解答本题的关键在于掌握各知识点的运算法则．
12．（2017贵州毕节3分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣2（a＋b）＝﹣2a＋2bB．（a2）3＝a5C．a3＋4a＝
a3D．3a2•2a3＝6a5
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方．
【分析】A、原式去括号得到结果，即可作出判断；
B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式不能合并，错误；
D、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：
A、原式＝﹣2a﹣2b，错误；
B、原式＝a6，错误；
C、原式不能合并，错误；
D、原式＝6a5，正确，
故选D
13．（2017海南3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12B．a3•a5＝a15C．a2＋a2＝a4D．a6÷a2＝a3
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：
A、（a3）4＝a3×4＝a12，故A正确；
B、a3•a5＝a3＋5＝a8，故B错误；
C、a2＋a2＝2a2，故C错误；
D、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故D错误；
故选：
A．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
14.（2017河北3分）计算正确的是（）
A.（－5）0＝0B.x2＋x3＝x5C.（ab2）3＝a2b5D.2a2·a－1＝2a
答案：
D
解析：
除0以外的任何数的0次幂都等于1，故A项错误；x2＋x3的结果不是指数相加，故B项错误；（ab2）3的结果是括号里的指数和外面的指数都相乘,结果是a3b6，故C项错误；2a2·a－1的结果是2不变，指数相加，正好是2a。
知识点：
x0＝0（x≠0）；（ambn）p＝ampbnp;aman＝am＋n
15.（2017河北3分）在求3x的倒数的值时，嘉淇同学将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是（）
A．
B．
C．
D．
答案:
B
解析：
根据题意，3X的倒数比8X的倒数大5，故选B项。
知识点：
倒数
16.（2017·广西百色·3分）分解因式：
16﹣x2＝（ ）
A．（4﹣x）（4＋x）B．（x﹣4）（x＋4）C．（8＋x）（8﹣x）D．（4﹣x）2
【考点】因式分解－运用公式法．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：
16﹣x2＝（4﹣x）（4＋x）．
故选：
A．
17.（2017·广西桂林·3分）下列计算正确的是（ ）
A．（xy）3＝xy3B．x5÷x5＝x
C．3x2•5x3＝15x5D．5x2y3＋2x2y3＝10x4y9
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【分析】A、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式合并同类项得到结果，即可作出判断．
【解答】解：
A、原式＝x3y3，错误；
B、原式＝1，错误；
C、原式＝15x5，正确；
D、原式＝7x2y3，错误，
故选C
18.（2017·贵州安顺·3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．2a＋3b＝5abC．a8÷a2＝a6D．（a2b）2＝a4b
【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式不能合并，错误；
C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】
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