上海市中考数学试题.docx

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上海市中考数学试题

上海市2021年中考数学试题

学校:

姓名：

班级：

考号：

一、单选题

1.下列各式中与是同类二次根式的是

A.^6B.厲C.712D.

r+1V2r+1

2.用换元法解方程—^+—=2时，若设则原方程可化为关于y的方程是

■VX+1匕

（）

A.-2y+l=0B.卉2＞，+1=0C.y2+y+2=0D.y2+y-2=0

3.我们经常将调査、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示.下列统汁图中，

能凸显由数据所表现岀来的部分与整体的关系的是（）

A.条形图B.扇形图

C.折线图D.频数分布直方图

4.已知反比例函数的图象经过点（2,-4）,那么这个反比例函数的解析式是（）

▲2c2小8r8

A.尸一B.y=C.v=—D.y=

xxxx

5.下列命题中，真命题是（）

A.对角线互相垂直的梯形是等腰梯形

B.对角线互相垂直的平行四边形是正方形

C.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

D.对角线平分一组对角的梯形是直角梯形

6.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能

与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形.下列图形中，平移重合图形是（）

A.平行四边形B.等腰梯形C.正六边形D.圆

二、填空题

7.计算：

2a・3ab=.

2

8.已知/U）二——，那么/（3）的值是・

x-1

9.如果函数好0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而.（填

“增大或'减小"）

10・如果关于x的方程x2-4x+m=0有两个相等的实数根，那么加的值是

11.如果从1,2,3,4,5,6,7,&9,10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是—.

12.如果将抛物线）7向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是—.

13.为了解某区六年级8400爼学生中会游泳的学生人数，随机调査了苴中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为—•

14.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口B处立一根垂直于

井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB=\.6米，BD=1米，B民0.2米，那么井深AC为米.

15•如图，AC、加是平行四边形ABCD的对角线，设=CA=b那么向^BD

用向表示为.

16.小明从家步行到学校需走的路程为1800米•图中的折线OAB反映了小明从家步行

到学校所疋的路程$（米）与时间/（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家岀发去学校步行15分钟时，到学校还需步行—米.

"=60°，点D在边BC上，CD=39联结AD.如

果将ZkACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点匚那么点E到直线BD的距离为.

A

18.在矩形ABCD中，AB=6.BC=8,点O在对角线AC上，圆O的半径为2,如果圆

O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范用是三、解答题

19.计算：

27*+~・（；尸+13■巧I.

->/5+22

10x>7x+6

20.解不等式组：

x+7

x-l<

3

21.如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,ZDAB=90°,CD=5,BC=3下.

（1）求梯形ABCD的而积；

（2）联结BD,求ZDBC的正切值.

22.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.

（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店去年8、9月份营业额的月增长率.

23.已知：

如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF,CE的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.

（1）求证：

MECs/\BCH；

（2）如果BE—AB-AE,求证：

AG=DF・

C

24.在平而直角坐标系xO＞，中，直线尸-*x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）.抛物线尸加（“H0）经过点A.

（1）求线段AB的长；

（2）如果抛物线y^+hx经过线段AB上的另一点C,且BC=^,求这条抛物线的表达式；

（3）如果抛物线尸"F+加的顶点D位于zMOB内，求"的取值范用.

25.如图，△ABC中，AB=AC.00是ZVIBC的外接圆，B0的延长交边AC于点D

（1）求证：

ZBAC=2ZABD：

（2）当△BCD是等腰三角形时，求ZBCD的大小：

（3）当AD=2,CE3时，求边BC的长.

参考答案

1.C

【分析】

根据同类二次根式的概念逐一判断即可.

【详解】

解：

A、点和是最简二次根式，点与血的被开方数不同，故A选项错误：

B、厲=3,3不是二次根式，故B选项错误：

C、辰=2苗，2巧与的被开方数相同，故C选项正确；

D、届=3忑,3运与馅的被开方数不同，故D选项错误；

故选：

C.

【点睹】

本题主要考查同类二次根式的定义，解题的关键是熟练的掌握同类二次根式的定义：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.

2.A

【分析】

x+\1

方程的两个分式具备倒数关系，设「二y,则原方程化为y+-=2,再转化为整式方程

y2-2y+l=0即可求解.

【详解】

X+\1

把代入原方程得：

y+—=2,转化为整式方程为）—2y+l=0・

f•y

故选:

A.

【点睛】

考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧.

3.B

【分析】

根据统汁图的特点判左即可.

【详解】

解：

统汁图中，能凸显由数据所表现岀来的部分与整体的关系的是扇形图.

故选：

B.

【点睛】

本题考査了统计图的特点，条件统讣图能反映各部分的具体数值，扇形统计图能反映各个部分占总体的百分比，折线统讣图能反映样本或总体的趋势，频数分布直方图能反映样本或总体的分布情况，熟练掌握各统汁图的特点是解题的关键.

4.D

【分析】

设解析式代入点（2「4）求出k即可.

x

【详解】

解：

设反比例函数解析式为y=匕,

x

将⑵-4）代入，得：

-4=-,

2

解得：

《=-8,

8

所以这个反比例函数解析式为¥=-一•

故选:

D.

【点睛】

本题主要考查待立系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可.

5.C

【分析】

利用特殊四边形的判左左理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项.

【详解】

A.对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误：

B.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误；

C.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，正确；

D.对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误.

故选：

C.

【点睛】

本题考査了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判泄定理，难度不大.

6.A

【分析】

证明平行四边形是平移重合图形即可.

【详解】

如图，平行四边形ABCD中，取BC,AD的中点E,F,连接EF.

.・.四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，

•••平行四边形ABCD是平移重合图形.

故选:

A.

【点睛】

本题考査平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

7.6/b.

【分析】

利用单项式乘单项式的法则进行计算即可.

【详解】

解：

2a・3ab=

故填：

6a2b•

【点睛】

单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

8.1.

【分析】

2

根据/（a）=—,将x=3代入即可求解.

x-l

【详解】

解：

由题意得：

.心）=亠

x-1

・••将x=3代替表达式中的■

=1.

故答案为：

1.

【点睛】

本题考査函数值的求法，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答.

9.减小

【分析】

根据正比例函数的性质进行解答即可.

【详解】

解：

函数y=kx（M））的图象经过第二、四象限，那么y的值随X的值增大而减小，故答案为：

减小.

【点睛】

此题考査的是判断正比例函数的增减性，掌握正比例函数的性质是解决此题的关键.

10.4.

【分析】

一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2_4ac=0，即可求m值.

【详解】

依题意.

・.•方程a-2-4a+/W=0有两个相等的实数根，

-4t/c=（-4）2-4/»=0,

解得：

m=4.

故答案为:

4.

【点睛】

此题主要考查的是一元二次方程的根判別式，当△=b2_4ac=0时，方程有两个相等的实根,

当A=bMac>0时，方程有两个不相等的实根，当A=b2-4ac<0时，方程无实数根.

1

11・—・

5

【分析】从1到10这10个整数中任意选取一个数，找岀是5的倍数的个数，再根据概率公式求解即可.

【详解】

解：

•・•从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：

21

5,10,•••取到的数恰好是5的倍数的概率是一二-.

105

故答案为：

【点睹】

此题主要考查了概率公式，熟记事件A的概率公式：

P（A）=事件A可能出现的结果数十所有可能出现的结果数.

12._y=F+3.

【分析】

直接根拯抛物线向上平移的规律求解.

【详解】

抛物线）=2向上平移3个单位得到）=卫+3.

故答案为：

尸*+3.

【点睛】

本题考査了二次函数图象与几何变换：

由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：

一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待左系数法求出解析式：

二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

13.3150名.

【分析】

用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案.

【详解】

解：

由题意可知，150名学生占总人数的百分比为：

-^=|,

•••估计该区会游泳的六年级学生人数约为8400><〉3150（名）・

O

故答案为:

3150名.

【点睛】

本题主要考查样本估汁总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键.

14.7米.

【分析】

根据相似三角形的判左和性质定理即可得到结论.

【详解】

TBD丄AB.AC丄AB,

:

.BD//AC,

:

.'ACEsHDBE.

.AC_AE

"~bd~~be'

.AC1.4

••=——t

10.2

:

.AC=1（米），

故答案为：

7（米）.

【点睛】

本题考査了相似三角形的应用，正确的识别图形，掌握相似三角形的判定及性质是解决此类

题的关键.

15.2a+b•

【分析】

利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可.

【详解】

解：

•••四边形ABCD是平行四边形，

•••AD=BC,AD//BC.AB=CD.AB//CD,

•:

AD=BC=a»

ICD=CA+AD=b+a>

：

•BA=CD=b十a‘

BD=BA+AD^

：

•BD=b+a+a=2a+h・故答案为：

2a+b•

【点睛】

本题考査平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中

考常考题型.

16.350.

【分析】

当8WtW20时，设s=kt+b,将（8,960）、（20,1800）代入求得s=70t+400,求出t=15时s

的值，从而得出答案.

【详解】

解：

当8WW20时，设8=灯+1）,

将（8,960）、（20,1800）代入,得：

8k+b=960

20k+b=1800，

°

fk=70解得：

・“Jb=400

.\5=70/+400：

当匸15时，$=1450,

1800-1450=350,

・••当小明从家岀发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米.

故答案为:

350.

【点睛】

本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象岀一次函数的模

型，并熟练掌握待立系数法求一次函数的解析式.

17.婕.

2

【分析】

过E点作EH丄BC于H,证明AABD是等边三角形，进而求得ZADC=120。

，再由折叠得到

ZADE=ZADC=120°,进而求出ZHDE=60°,最后在RtAHED中使用三角函数即可求出

HE的长.

【详解】

解：

如图，过点E作EH丄BC于H,

A

VBC=7,CD=3,

••・BD=BC・CD=4,

•••AB=4=BD,ZB=60°,

••.△ABD是等边三角形，

•••ZADB=60°,

•••ZADC=ZADE=120%

•••ZEDH=60°,

VEH丄BC,AZEHD=90°.

9：

DE=DC=39

22

・・・E到直线血的距离为萼•

【点睹】

本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出

ZADE=ZADC=120°,另外需要重点掌握折叠问题的特点：

折叠前后对应的边相等，对应的角相等.

33

【分析】

根据勾股泄理得到AC=10,如图1,设00与AD边相切于E,连接OE,证明

即可求出与AD相切时的A0值；如图2,设00与BC边相切于F,连接0F,证明

HCOFs^CAB即可求出BC相切时的AO值，最后即可得到结论.

【详解】

解：

在矩形ABCD中，VZD=90°tAB=6,BC=8,AAC=10t

:

•\AOEsZCD、

.OEAO

*CD"AC

.AO2

••=—、

106

10

—:

3

如图2,设G>0与BC边相切于F,连接OF,

贝IJOF丄BC,C.OFHAB.

：

・5COFs厶CAB.

•°C_OF

*AC"7F

OC2

:

.一=一,

106

20

•••如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范I羽是

故答案为：

—

33

【点睛】

本题考査了直线与圆的位垃关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键.

【分析】利用分数的指数幫的意义，分母有理化，负指数幕的意义，绝对值的性质计算后合并即可.

【详解】

=3十y/s-2■4+3-

=0.

【点睛】

本题考査了分数指数幕的运算，负指数幕的运算，绝对值的意义以及分母有理化运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键.

20.2

【分析】

先求岀不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解.

【详解】

解：

由题意知：

10兀＞7x+6…①

解不等式①，移项得：

3.r>6,

系数化为1得：

x>2,

解不等式②，去分母得：

3x-3Vx+7.

移项得：

2x<10,

系数化为1得：

a<5,

.••原不等式组的解集是2

故答案为：

2

【点睛】本题考査解一元一次不等式组，解集的规律：

同大取大；同小取小：

大小小大中间找：

大大小小找不到.

21.

（1）39；

（2）丄.

2

【分析】

（1）过C作CE丄AB于E,推出四边形ADCE是矩形，得到AD=CE,AE=CD=5,根据勾股

泄理得到CEdBC’-BE’=6,即可求岀梯形的面积：

（2）过C作CH丄BD于H,根拯相似三角形的性质得到—,根据勾股左理得到

BD=y]AB2+AD2=10>BH=>/bC2-C//2=6即可求解・

【详解】

解：

（1）过C作CE丄AB于&如下图所示：

•:

ABIIDC,ZDAB=90°,AZD=90°t

•••ZA=ZZ）=ZAEC=90ot

・••四边形ADCE是矩形，

:

・AD=CE,AE=CD=5,

•••BE=AB■AE=3.

•••bc=3书,・・・ce=Jbc2_be2=0・•.梯形ABCD的而积誌x（5+8）x6=39,故答案为：

39.

⑵过C作CH丄BD于如下图所示:

本题考査了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

23.

（1）证明见解析：

（2）证明见解析.

【分析】

⑴先证明厶CDF空△CBE,进而得到ZDCF=ZBCE,再由菱形对边CD//得到ZH=ZDCF,进而ZBCE=ZH即可求解.

BFAFBF

⑵由BE—AB・AE,得到—,再利用AG//BC.平行线分线段成比例泄理得到—=

ABEBAB

——，再结合已知条件即可求解.

BC

【详解】

解：

（DY四边形ABCD是菱形，

•••CD=CB,ZD=ZB,CD//AB・

•:

DF=BE,

•••△CDF9“BE（SAS）,

:

.ZDCF=ZBCE・

•:

CDHBH.

•••ZH=ZDCF,

:

.ZBCE=ZH.且

:

.HBECsHBCH・

⑵•••BE—ABSE,

BEAE

•■=9

ABEB

•••AG//BC,

.AEAG

•BEAG

•:

DF=BE,BC=AB,

•••BE=AG=DF,

即AG=DF.

【点睛】

本题考査相似三角形的判立和性质，全等三角形的判龙和性质，平行线分线段成比例左理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

24.

（1）5^/5；

（2）y=-—x2+—x：

（3）-丄Va<0.

4210

【分析】

（1）先求岀A,B坐标，即可得出结论：

（2）设点C（m,丄m+5）,则BC=2^lm,进而求岀点C（2,4）,最后将点A,C代入

22

抛物线解析式中，即可得出结论；

（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a,代入抛物线解析式中得岀顶点D坐标为

（5,-25a）,即可得出结论.

【详解】

（1）针对于直线尸・yX+5,

令x=0»y=5,

5）,

令y=0,则--yx+5=0,

Ax=10»

.\A（10,0）,

•••^=>/57710r=5V5：

（2）设点C（w,-yw+5）.

VB（O,5）,

・•.BC=+（_g加+5—5）2=£I加I.

•：

BC=书,

.・.£|加|=腐，

Aw?

=±2・

•••点C在线段AB上，

fl00«+10/?

=0将点A（10,0）,C（2,4）代入抛物线v=W+bx（“H0）中，得仁“，

4a+2b=4

1

a=——

•4••人5，

b=—

2

•••抛物线尸--.v2+-x：

42

（3）:

•点A（10,0）在抛物线尸a®加中，得100

/./?

=-10“,

•'•抛物线的解析式为y=ax2-10

•••抛物线的顶点D坐标为（5,-25“），

将x=5代入尸-!

X+5中，得-yX5+5=—,

—22

•••顶点D位于△AOB内，

5.\0<-25"<—，

2

-丄<"<0.

10

【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考査了待圮系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的

求法，求岀点D的坐标是解本题的关键.

25.

（1）证明见解析：

（2）ZBCD的值为67.5。

或72°；（3）卫I.

2

【分析】

（1）连接OA.利用垂径立理以及等腰三角形的性质解决问题即可.

（2）分三种情形：

①若BD=CB,贝ijZC=ZBDC=ZABD+ZBAC=3ZABD.②若CD=CB,贝lj

ZCBD=ZCDB=3ZABD.③若DB=DC,则D与A重合，这种情形不存在.分别利用三角

形内角和定理构建方程求解即可.

ApAF）2AOAF3

⑶如图3中•作AE//BC交BD的延长线于E.则乔=而得到p

BCDC3OHBH4

设OB=OA=4a,OH=3at根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,构建方程求出a即可解决问题.

【详解】

解：

⑴连接0儿如下图1所示:

图1

9：

AB=AC,-AB=AC

•••0A丄BC,

:

・ZBAO=ZCAO・

•••OA=OB,

:

.ZABD^ZBAO,

:

.ZBAC=2ZABD.

（2）如图2中，延长AO交BC于H.

1若BD=CB,则ZC=ZBDC=ZABD十ZBAC=3ZABD・

9：

AB=AC,

:

.ZABC=ZC,

:

.ZDBC=2ZABD・

IZDBC+ZC+ZBDC=180。

，

A8ZABD=180°,

.\ZC=3ZABD=67.5O.

2若CD=CB,则ZCBEZCDB=3ZABD,:

.ZC=4ZABD.

•••ZDBC+ZC+ZCDB=180。

A10ZABD=180°,

•••ZBCD=4ZABD=72。

.

3若DB=DC,则D与A重合，这种情形不存在.

综上所述：

ZC的值为67.5。

或72。

・

BCDC3

.AO^AE4

OHBH3

设OB=OA=4a90H=3a.

则在RtHABH和RtAOBH中,•；BH—AB—AHLOB?

・0H\•••25・49沪：

=16“2-9“2,

.f2_25

，，＜/_56，

：

.BH=匪,

4

:

・BC=2BH=^H

故答案为：

也.

2

【点睛】

本题属于圆的综合题，考查了垂径左理，等腰三角形的性质，勾股左理解直角三角形，平行线分线段成比例立理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.