三校生数学常用公式及常用结论.docx
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三校生数学常用公式及常用结论
三校生数学常用公式及常用结论
1.元素与集合的关系
xAxCuA,xCuAxA.
2.德摩根公式
Cu（AIB）CuAUCuB；Cu（AUB）CuAICuB.
3.包含关系
AIBAAuBBABCuBCuA
AICuBCuAUBR.
4.
集合｛a1,a2,L©｝的子集个数共有2n个；真子集有2n-1个；非空子集有2n-1个;非空的真子集有2n-2个.
5.二次函数的解析式的三种形式
（1）一般式f（x）
2ax
bx
c（a
0）;
⑵顶点式f（x）
a（x
h）2
k（a
0）;
⑶零点式f（x）
a（x
xj（xX2）（a0）
f（m）0或f（n）0
af（n）0af（m）0
8.真值表
P
q
非P
p或q
p且q
直
/、
直
/、
假
直
/、
直
/、
直
/、
假
假
直
/、
假
假
直
/、
直
/、
直
/、
假
假
假
直
/、
假
假
10.四种命题的相互关系
11.充要条件
（1）充分条件：
若pq，则P是q充分条件.
（2）必要条件：
若qp，则p是q必要条件.
（3）充要条件：
若pq，且qp，则p是q充要条件.
注：
如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然
12.如果函数f（x）和g（x）都是减函数,则在公共定义域内,和函数f（x）g（x）也是减函数；如果函数yf（u）和ug（x）在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g（x）]是增函数.
13.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象
关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数
是偶函数.
14.若函数yf（x）是偶函数，贝Uf（xa）f（xa）;若函数yf（xa）是偶函数，则f（xa）f（xa）.
15.多项式函数P（x）anXn
多项式函数P（x）是奇函数
多项式函数P（x）是偶函数
a*用1La°的奇偶性
P（x）的偶次项（即奇数项）的系数全为零.
P（x）的奇次项（即偶数项）的系数全为零.
16.两个函数图象的对称性
（1）函数yf（x）和yf1（x）的图象关于直线y=x对称.
17.若将函数yf（x）的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf（xa）b的图象;
若将曲线f（x,y）0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f（xa,yb）0的图象.
18.互为反函数的两个函数的关系f（a）bf1（b）a.
19.几个常见的函数方程
（1）正比例函数f（x）cx,f（xy）
f（x）f（y）,f
（1）
c.
⑵指数函数f（x）ax,f（xy）
f（x）f（y）,f
（1）a
0.
（3）对数函数f（x）logax,f（xy）
f（x）f（y）,f（a）
1（a0,a1）
（4）幕函数f（x）x,f（xy）f（x）
f（y）,f'
（1）.
20.几个函数方程的周期（约定a>0）
（1）f（x）f（xa），则f（x）的周期T=a；
21.分数指数幕
m
（1）an
1口
nm（a0,m,nN，且n1）.va
m
⑵a7
1口
m（a0,m,nN，且n1）.a下
（1）（:
a）na.
（2）当n为奇数时，
当n为偶数时，n?
.若f（x）的定义域为R,则
0的情形,需要单独检验.
质，对于无理数指数幕都适用•
24.指数式与对数式的互化式
logaNbabN（a0,a1,N0）.
25.对数的换底公式
logaNlogmN（a0,且a1,m0,且m1,N0）.logma
推论logambnnlogab（a0,且a1,m,n0,且m1,nm
26.对数的四则运算法则
若a>0，a^1，M>0，N>0,贝U
（1）loga（MN）logaMlogaN;
（2）logaMlogaMlogaN;
N
⑶logaMnnlogaM（nR）.
27.设函数f（x）logm（ax2bxc）（a0）,记b24ac
a0，且0;若f（x）的值域为R,则a0，且0.对于a
28.对数换底不等式及其推广
若a0,
b0,x
0,x—,贝
a
M函数y
logax（bx）
当a
b时，在（
11
0,—）和（一，
）上y
logax（bx）为增函数
aa
⑵当a
b时，在（
0,1）和（丄，
）上y
logax（bx）为减函数
aa
推论:
设n
m1，
p0，a
0，且a
1，则
（1）logm
p（np）
logmn.
（2）loga
mlogan
2mn
loga
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有yN（1p）x.
30.数列的同项公式与前n项的和的关系
sn1
an'（数列｛aj的前n项的和为Snaia?
Lan）.
SnSn1,n2
31.等差数列的通项公式
ana1（n1）ddna1d（nN）；
其前n项和公式为
32.等比数列的通项公式
ana1qn1a1qn（nN*）；
q
其前n项的和公式为
q
印（1qn）
Sn1q
na1,q1
q
印a.q
或Sn1q
na,q
sin2cos2
sin丄丄/
1,tan=,tancot1
cos
35.和角与差角公式
sin（
）sin
coscossin;
cos（
）cos
cosmsinsin
J
tan（
）tantan
1mtantan
sin（
）sin（
2・2
）sinsin
（平方正弦公式）;
cos（
）cos（
）cossin
.
asin
bcos
=、.a2b2sin（
）（辅助角所在象限由点
?
（a,b）的象限决
定，tanb）.
a
36.二倍角公式
sin2
sincos
.
cos2
2cos
sin22cos21
12sin2
tan2
2tan
1tan2
37.三角函数的周期公式
函数ysin（x）,x€R及函数ycos（x）,x€R（A,3,为常数，且Am0,3>
2
0）的周期T;函数ytan（x）,xk,kZ（A,3,为常数，且Am0,3>0）2
的周期T—.
38.正弦定理
39.
2R.
abcsinAsinBsinC
42.实数与向量的积的运算律
设入、卩为实数，那么
（1）结合律：
入（卩a）=（入卩）a;
（2）第一分配律：
（入+口）a=入a+口a;⑶第二分配律：
入（a+b）=入a+入b.
43.向量的数量积的运算律：
⑴a•b=b•a（交换律）；
（2）（a）•b=（a•b）=a•b=a•（b）
（3）（a+b）•c=a•c+b•c.
44.向量平行的坐标表示
设a=（x「yj,b=（X2,y2），且b0,贝UaPb（b0）X!
y?
x?
yi0.
a与b的数量积（或内积）
a•b=|a||b|cos0.
45.向量的平行与垂直
设
a=（X1,yJ,b=（X2,y2），
且b
0，则
A||
bb=Xax1y2
X2W
0.
a
b（a0）a•b=0
x1x2
y』20.
46.
一元二次不等式ax2
bxc
0（或0）（a0,b24ac0），如果a与ax2bxc同
号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：
同号两根之外，异号两根之间.
x1xx?
（xx1）（xx2）0（x-|x2）；
47.含有绝对值的不等式
当a>0时，有
22
xaxaaxa.
xax2a2xa或x
48.无理不等式
（1）
'g（x）
g（x）
0.
f（x）
g（x）
f（x）
0
f（x）
（2）
0或
.f（X）
g（x）
g（x）
g（x）
f（x）
[g（x）]2
f（x）
0
（3）
.f（x）
g（x）
g（x）
0.
f（x）
[g（x）]2
f（x）0
0
0
（i）当a
1时,
J（x）g（
aa
x）f（x）
g（x）;
f（x）
0
logaf（x）
logag（x）
g（x）
0
f（x）
g（x）
⑵当0
a1时，
f（x）g
aa
（x）f（x）
g（x）;
f（x）
0
logaf（x）
logag（x）
g（x）
0
f（x）
g（x）
50.斜率公式
k业—yi（R（xi,yj、P2（X2,y2））
54.li到12的角公式
（1）tan
k2K
1k2k1
（h：
ykixbi,I2:
yk?
xb?
kk1）
⑵tan
AB2a2b1
Aa2b1b2
（h:
Ax
B1yC10,l2:
A2xB2yC20,AIA2B1B20）.
直线h
I2时，直线l1到l2的角是-.
55.点与圆的位置关系
点P（xo,y。
）与圆（xa）2（yb）2r2的位置关系有三种
若d.（aX0）2（byo）2，贝U
dr点P在圆外；dr点P在圆上；dr点P在圆内.
56.
直线与圆的位置关系
57.圆的切线方程
（1）已知圆x2y2DxEyF0.
1若已知切点（x°,y°）在圆上，则切线只有一条，其方程是
x°xy°yF0.
22
当（x°,y。
）圆外时,x°xy°y叱°刃F0表示过两个切点的切点弦
22
方程.
2过圆外一点的切线方程可设为yy0k（xx0）,再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.
3斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b,必有两条切线.
⑵已知圆x2y2r2.
1过圆上的P0（X0,y°）点的切线方程为x）xy°yr2;
2斜率为k的圆的切线方程为ykxr\1k2.
58•椭圆的的内外部
（1）点P（xo,y。
）在椭圆
（2）点P（xo,y。
）在椭圆
59.椭圆的切线方程
2
y
b
2
x
a
x2
（1）椭圆-y
a
（2）过椭圆
1（ab
x°x
a
yoy1
2
（3）椭圆笃
a
1（ab
60.双曲线的内外部
（1）点P（xo,yo）在双曲线
（2）点P（xo,yo）在双曲线
x°x
a
2
x
a
2
x
a
22
占1（ab0）的内部笃
ba
22
爲1（ab0）的外部笃
ba
2
匹1
J
2
匹1
J
0）上一点P（xo,yo）处的切线方程是辔1.
ab
b0）外一点P（xo,yo）所引两条切线的切点弦方程是
0）与直线AxByC0相切的条件是
A2a2
B2b2c2.
2
x
a
2
x
a
2
21（a0,b
b
2
y
21（a0,b
b
0）的内部
0）的外部
2
x
a
2
x
a
2yob2y
61.双曲线的方程与渐近线方程的关系
2y_b2
bx
a
（1）若双曲线方程为
若渐近线方程为
2
若双曲线与
a
焦点在y轴上）.
2x~~2a
2
y_
b2
62.双曲线的切线方程
y2
b
2
x
a
2
（1）双曲线x?
a
（2）过双曲线
yoy1眉1.
（3）双曲线
2x~~2a
2
y_
b2
1（a
2
y_
b2
1（a
渐近线方程:
63.抛物线
y2
抛物线y2
b0双曲线可设为
1有公共渐近线，可设为
2x-2a
2
x
~2
a
2yb2
0,焦点在x轴上,
o,b0）上一点P（xo,yo）处的切线方程是竽进
ab
1.
1（a0,b0）外一点P（xo,yo）所引两条切线的切点弦方程是
0,b0）与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2.
2px的焦半径公式
2px（p0）焦半径CF
Xo
过焦点弦长CDxi—X2—XiX2p.
22
2
64.抛物线y22px上的动点可设为P（―,y）或P（2pt2,2pt）或P（x。
y。
），其中2p
y：
2pxo.
65.二次函数yax2bxca（x—）24aCb（a0）的图象是抛物线：
（1）顶点坐标2a4a
b4acb2b4acb214acb21
为（，）；
（2）焦点的坐标为（，）；（3）准线万程是y.
2a4a2a4a4a
66.抛物线的内外部
（1）点P（x°,y°）在抛物线y22px（p0）的内部y22px（p0）.
点P（x°,y°）在抛物线y22px（p0）的外部y22px（p0）.
⑵点P（x°,y°）在抛物线y22px（p0）的内部y22px（p0）.
点P（xo,y°）在抛物线y2px（p0）的外部y2px（p0）.
⑶点P（xo,y°）在抛物线x22py（p0）的内部x22py（p0）.
点P（xo,y°）在抛物线x22py（p0）的外部x22py（p0）.
（4）点P（x0,y°）在抛物线x22py（p0）的内部x22py（p0）.
点P（x°,y°）在抛物线x22py（p0）的外部x22py（p0）.
67.抛物线的切线方程
（1）抛物线y22Px上一点P（xo,y。
）处的切线方程是y°yp（xx°）.
（2）过抛物线y22px外一点P（xo,y。
）所引两条切线的切点弦方程是y°yp（xx°）.
（3）抛物线y22px（p0）与直线AxByC0相切的条件是pB22AC.
68.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB7（x1x2）2（y1y2）2或
ABJ（1k2）（X2~xj2|为X21J1tan2|力y?
|~cot2（弦端点
vkxb
A（x1,y1）,B（x2,y2）,由方程消去y得到ax2bxc0,0,为直线AB的倾
F（x,y）0
斜角，k为直线的斜率）.
69•证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行;
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.
70.证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
71.证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
72.证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
73.证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
74.证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
75.斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是I，侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是ci和Si,则
1s斜棱柱侧ci|.
2V斜棱柱Sil.
76.作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行
77.棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.
78.柱体、锥体的体积
1
V柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.
3
V锥体丄Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.
3
79.分类计数原理（加法原理）
Nm1m2Lmn.
80.分步计数原理（乘法原理）
Nm1m2Lmn.
81.排列数公式
mn!
*
A=n（n1）（nm1）=.（n,m€N，且mn）.
（nm）!
注:
规定0!
1.
82.排列恒等式
mm
（1）An（nm1）An
（2）
n
Am・
n1>
nm
（3）
Am
nAV
j
（4）
nA：
A：
；
An;
（5）
Am1
a1
m1
mAn
（6）1!
22!
33!
Lnn!
（n1）!
1.
83.组合数公式
mA^1n（n1）（nm1）n!
*
mn）.
Cn=4==（n€N,mN,且
AH12mm!
（nm）!
84.组合数的两个性质
（1）cm=c；m；
⑵c1+c11=c11.注:
规定c°1.
85.排列数与组合数的关系
mm
Anm!
Cn.
86.复数的相等
abicdiac,bd.（a,b,c,dR）
87.复数zabi的模（或绝对值）
|z|=|abi|=.a2b2.
88.复数的四则运算法则
（1）（abi）（cdi）（ac）（bd）i;
⑵（abi）（cdi）（ac）（bd）i;
⑶（abi）（cdi）（acbd）（bcad）i;
89.复数的乘法的运算律对于任何N,Z2,Z3C,有交换律：
Z1Z2Z2Z1.
结合律：
（ZiZ2）Z3Zi（Z2Z3）.分配律:
Z-!
（Z2Z3）Z1Z2Z-!
Z3.
90.复平面上的两点间的距离公式
d|ZiZ21；（屜xi）2（y2yi）2（乙xiyii,Z2X2y?
i）
9i.向量的垂直
urnr
iuuu
非零复数Zi
abi,z2cdi对应的向量分别是
OZi
OZ2，则
ujur
uuuu
Z
0乙
OZ2
ZiZ2的实部为零一为纯虚数
Zi
|Zi
Z2I2|Zi|2
|Z2|2
|Zi
Z2I2
22
1Zi11Z21IZiZ21|ZiZ21ac
bd
0zi
iz2（入为非零实数）
92.实系数一元二次方程的解
实系数
元一
一次方程axbxc
0,
①若
b2
4ac
0,则xi,2
.b24ac；
2a'
②若
b2
4ac
0,则为X2
b；
J
2a
③若
b2
4ac
0,它在实数集
R内没有实数根；在复数集
数根x—
J
（b2-
4ac）i（b24ac0）.
2a
C内有且仅有两个共轭复
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