对数函数性质及练习有答案.docx

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对数函数性质及练习有答案

对数函数及其性质

1.对数函数的概念

（1）定义：

一般地，我们把函数且a≠∖）叫做对数函数，其中X是自变虽，函数的定义域是（0,+8）.

（2）对数函数的特征：

log,rx的系数：

1

特征log..x的底数：

常数，且是不等于1的正实数

.log”X的真数：

仅是自变量X

判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征.

比如函数y=log7x是对数函数，而函数y=-31og∣x和尸IogA2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点.

【例1一1】函数M=（^-a+1）IOg^+∣>x是对数函数，则实数占=.

解析：

由/—日+1=1,解得日=0.1.又日+1>0,且a+l≠lt∙∙.8=1.答案：

1【例1一2】下列函数中是对数国数的为.

（Dy=Iog^Vx（z?

>0,且a≠l）;

（2）y=log2x+2;

（3）y=81og2（Ar+l）；（4）y=log,6（x>0,且x≠l）J

（5）y=logt5x.

解析：

序号

•

是否

理由

（1）

X

真数是J?

不是自变量X

（2）

X

对数式后加2

（3）

X

真数为x+l,不是X,且系数为&不是1

（4）

X

底数是自变量儿不是常数

（5）

√

底数是6,真数是X

2.对数函数y=logiΛ（a>0,且a≠l）的图象与性质

（1）图象与性质

a>l

OVXl

I

图

〈一

I、

S

（1）定义域{λ¼>0}

（2）值域{y∣yeRl

性

质

（3）当X=I时，y=0,即过定点（1.0）

（4）当a>1时，y>0；当OVxV

（4）当x>l时，y<0；当0

1时，y<0

0

（5）在（0,+8）上是増函数

（5）在（0,+8）上是减函数

谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数.日>1时，函数单调递增；OVNVl时，函数单调递减・理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了.我们要注意数形结合思想的应用・

（2）指数函数与对数函数的性质比较

解析式

y=a{a>^.且a≠l）

y=log∙κ（<2>0,且a≠l）

性质

定义域

R

（0,÷∞）

值域

（0,+∞）

:

R

过定点

（0,1）

（1.0）

单调性

单调性一致，同为增函数或减函数

奇偶性

奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数

（3）底数0对对数函数的图象的影响

1底数日与1的大小关系决定了对数函数图象的"升降”：

当8>1时，对数函数的图象''上升”；当OV日<1时，对数函数的图象“下降”・

2底数的大小决定了图象相对位置的高低：

不论是日>1还是OV自VI,在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大・

L431

【例2】如图所示的曲线是对数函数y=log,tx的图象・巳知刁从,二，一中取值,3510

则相应曲线G,G,G,G的日值依次为（）

解析：

由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，G的底数VG的底数VG的底数VG的底数.故相应于曲线G,GC。

的底数依次"，扌,|,1.林:

A

点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法

（1）方法一：

利用底数对对数函数图象影响的规律：

在X轴上方“底大图右”，在X轴下方"底大图左”；

（2）方法二：

作直线尸1,它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小.

3.反函数

（1）对数函数的反函数

指数函数y=√（^>0,且日Hl）与对数函数y=log..x（z7>0,且a≠l）⅞.⅜X⅞⅜<

（2）互为反函数的两个函数之间的关系

1原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域;

2互为反函数的两个函数的图象关于直线尸无对称.

（3）求已知函数的反函数，一般步骤如下：

1由y=f（x）解出儿即用y表示出*；

2把X替换为y,y替换为x；

3根⅛y=rω的值域，写出其反函数的定义域.

【例3—1］若函数y=∕（x）是函数y=a{a>Q.且a≠∖）的反函数，且f

（2）=l,则f（x）=

1

B.—2x

解析：

因为函数y=a（a>0.且a≠l）的反函数是f（x）=log/,

又f

（2）=l,即1OgA2=U所以日=2・故Λx）=Iog2X・答案：

A

【例3-2］函数Λx）=3A（O<λ≤2）的反函数的定义域为（）

解析：

T0

故函数fd）的反函数的定义域为（1.9］.答案：

B

【例3-3］若函数y=f{x）的反函数图象过点（1∙5）,则函数7=fCv）的图象必过点（）

解析：

由于原函数与反函数的图象关于直线y=x对称，而点（1∙5）关于直线y=x的对称点为（5.1）,所以函数y=∕tr）的图象必经过点（5J）.答案：

Λ

4.利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值

对数函数的解析式y=log∕3>0,且日Hl）中仅含有一个常数❺则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知或图象过点S,〃）等等.通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式rω=log,1x（^>0,且a≠∖）.利用已知条件列方程求出常数刀的值・

利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如Iog詡=几这时先把对数式IOg^=/7化为指数式的形式a=IB.把皿化为以〃为指数的指数幕形式m=k∖k>Q.且k≠∖）.

丄丄

则解得a=k>Q.还可以直接写出α=〃訶，再利用指数慕的运算性质化简〃訶.

（∖Y211

例如：

解方程IOgyl=—2,贝I冷2=4,由于4=-,所以α=±—・又a>0,所以α=—•当\2）22

1丄丄1

然，也可以直接写出a=42.再利用指数無的运算性质，得“=42=（22）2=2"=—・

2

【例4一1】巳知f（J）=x,则f⑸=（）

Λ.e5B.5uC・In5D・Iog迫

解析：

（方法一）令r=e',则Ar=Int,所以f（t）=Int9即f{x）=Inx.所以f（5）=In5.

（方法二）令e1=5,则X=In5,所以f（5）=ln5.答案：

C

【例4一2】巳知对数函数f（0的图象经过点（*2）,试求f（3）的值.

分析：

设出函数f（0的解析式，利用待定系数法即可求出.

解：

设Λx）=log.x（a>0,且a≠l）,

【例4一3】巳知对数函数fCr）的反函数的图象过点（2.9）,且/U）=丄，试求〃的值・

2

解：

设f（x）=logj（a>0,且a≠l）,则它的反函数为y=√（a>O,且a≠l）,由条件知a'=9=3',从而日=3.于是∕,（x）=log3xt则f（Z?

）=Iogsb=丄，解得b=32=√3・

2

5.对数型函数的定义域的求解

（1）对数函数的定义域为（0,+8）.

（2）在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0,底数大于0,且不等于1.若底数和真数中都含有变虽，或式子中含有分式.根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义•一般地，判断类似于y=log.f（x）的定义域时，应首先保证f（x）>O.

（3）求函数的定义域应满足以下原则：

1分式中分母不等于零；

2偶次根式中被开方数大于或等于零；

3指数为零的慕的底数不等于零；

4对数的底数大于零且不等于1;

5对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集.

【例5】求下列函数的定义域.

（Dy=Iog5（I-Ar）J

（2）y=IOggl）（5χ-4）;

⑶y=JIOga5（4a-3）.

分析：

利用对数函数y=logj（a>0,且a≠∖）的定义求解.

解：

（1）要使函数有意义，则1一*>0,解得x

所以函数y=log.（l-χ）的定义域是{*jVl}∙

5x-4>0.

（2）要使函数有意义，贝IH

4

2x-l>0,解得Q=且XH1,

2x-l≠l,

<4所以函数y=l（‰i（5χ-4）的定义域是一，1U（1，+o°）.

15）

4%—3>O3

（3）要使函数有意义•则<'解得-

bgo.5（4x-3）nO,4

3

所以函数V=Jlogu5（4x一3）的定义域是4-.

4

6.对数型函数的值域的求解

（1）充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法.

（2）对于形如y=log.Z（x）（a>0,且a≠l）的复合函数，其值域的求解步骤如下：

）

1分解成y=log”"，U=f（x）这两个函数；

2求f（x）的定义域；

3求"的取值范围；

4利用y=loguz∕的单调性求解.

（3）对于函数y=f（log∕）（日>0,且a≠l）»可利用换元法，设1og.x=t.则函数f{t）（reR）的值域就是函数fdog.x）（a>0,且a≠l）的值域・

注意:

（1）若对数函数的底数是含字母的代数式（或单独一个字母），要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论.

（2）求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响.当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围.

【例6-1］求下列函数的值域：

（l）y=log2（x+4）；⑵y=IOg∣（3÷2χ-X2）.

解：

（I）Vy+4⅛4tΛlog2（z+4）>log24=2.Λ函数y=log2（y+4）的值域为[2,+∞）.⑵设u=3+2x-∕9则z∕=-（x-1）2+4≤4.Vz∕>O,Λ0

又y=IOgIIi在（0,+8）上为减函数,Λlog1∏≥-2./.函数y=Iog1（3÷2λ-X2）的

■■■

值域为[—2,+∞）.

【例6—2】巳知/U）=2+log必疋[1∙3],求y=[rω]2+Λ√）的最大值及相应的/的值.

分析：

先确定y=[rω]2+Λχ2）的定义域，然后转化成关于Iog凉的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值.

解：

Vrω=2+log3x,/W[1.3],

Ay=[f（0]'+f（"）=（IOgSAr）2+61og3Λr+6且定义域为[1,3]•

令t=log3Λr（xe[1,3]）.Vt=Iog3Ar在区间[1.3]上是増函数tΛO≤t≤l.

从而要求y=［rω］2+f（√）在区间［1.3］上的最大值，只需求y=f+6r+6在区间［0.1］上的最大值即可・Vy=r+6r+6在［一3,+8）上是增函数，

•••当f=l,即X=3时，‰x=l+6+6=13.

综上可知，当X=3时，y=［Λx）］2+Λ√）的最大值为13.

7.对数函数的图象变换及定点问题

（1）与对数函数有关的函数图象过定点问题

对数函数y=log.x（a＞0,且a≠l）过定点（1.0）•即对任意的日＞0,且a≠∖都有Iogd=O.这是解决与对数函数有关的函数图象问題的关键.

对于函数y=Λ+Xrlog.f（x）{k.力均为常数，且k≠Q）,令f（x）=11解方程得x=叭则该函数恒过定点S,A方程Λx）=0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数.

（2）对数函数的图象变换的问题

口亠八向左（小0）或向右（駅0）PgI/I八/、C口亠八

且EHD-TRT苻旅厂函数y=io弘α+4（日＞0,且*H1）

【例7-1］若函数y=IogXx+Z＞）+^（a＞O,且a≠l）的图象恒过定点（3.2）,则实数力，C的值分别为.

解析：

•••函数的图象恒过定点（3,2）.

二将（3,2）代入y=log√jr+A）+c（a＞Q9且a≠l）,得2=logu（3+2＞）+c.

又•••当占＞0,且日Hl时，IOgJ=0恒成立，Λc=2.AIOgA3+Δ）=0.：

.b=~2.

答案：

-2,2

【例7—2】作出函数y=Ilog,*+1）1+2的图象.

解：

（第一步）作函数y=log2χ的图象，如图①；

（第二步）将函数y=log,x的图象沿X轴向左平移1个单位长度，得函数y=loβz（A÷l）的图象，如图②；

（第三步）将函数y=log,（Λ÷l）在X轴下方的图象作关于X轴的对称变换，得函数y=∣logλx+Dl的图象，如图③；

（第四步）将函数y=iloβλx+l）i的图象，沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④・

图③图⑷

8.利用对数函数的单调性比较大小

两个对数式的大小比较有以下几种情况：

（1）底数相同，真数不同.

比较同底数（是具体的数值）的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小.

要注意：

明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小.

（2）底数不同，真数相同.若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数増大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较.

（3）底数不同，真数也不同.对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间虽0,1进行比较.

（4）对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可.

注意：

对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论・【例8-1］比较下列各组中两个值的大小.

（1）♦logi2;

（2）log23t；（3）log",・

分析：

（1）构造函数y=log：

^利用其单调性比较；

（2）分别比较与0的大小J（3）分类讨论底数的取值范围.

解：

（1）因为函数Z=IognX在（0,+8）上是増函数，所以f

（2）・所以Vlog2

（2）因为log23>IogJ=OfV=O,所以lo©3>・

（3）当a>l时，函数y=log”X在定义域上是增函数，则有log∙1π>；

当OV日Vl时，函数y=log∕在定义域上是减函数，则有log,lπ<・

综上所得，当自>1时，log,1π>；当OV曰<1时，log.π<.

【例8—2】若a2>b>a>l.试比较logfl-,Iogfc-,IOg^tIOg^的大小•

ba

分析：

利用对数函数的单调性或图象进行判断.

解：

VΛ>a>hΛO<-<1.

b

.β.IOgλ—<0tIOg0>logg=l,IOgJ

即O

ITbIb

由于IV—VZ>,..0

CIaab

Ya2>b>ItΛ—>1.Λlog,,—>0,即IOg沏>IOgb-・

bba

•Ilθg∕>lθg,Q>lθgft->IOgaf・

ab

}

9.利用对数函数的单调性解对数不等式

（1）根据对数函数的单调性，当a>0,且aHl时，有

1log*f（x）=log*g（x）Of（x）=^（Ar）（f（x）>0,g（x）>0）；

2当a>∖时，loguf（-v）>]og4lg（0<=>f（x）>g（x）（f（x）>0,g（x）>0）;

3当OVrVI时，IOif（X）>log*g（0<=>f（x）0,g（x）>0）・

（2）常见的对数不等式有三种类型：

1形如log,Z（x）>log^ω的不等式，借助函数y=log,.x的单调性求解，如果日的取值不确定，需分日>1与OV日Vl两种情况讨论・

2形如log.rω>∆的不等式，应将力化为以日为对数的对数式的形式，再借助函数y=log∕的单调性求解・

3形如Iog^（X）>log^（x）的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集.

4形如f（log∕）>O的不等式，可用换元法（令r=lo1⅞j）,先解f（f）>O,得到七的取值范围.然后再解X的范围・

【例9-1]解下列不等式：

（I）IOg,X>Iog1（4-X）；

77

（2）logλ2x+l）>log1（3-χ）.

x>0,

解：

（1）由巳知，得h-Λ∙>O,解得0VχV2.所以原不等式的解集是{x∖0

λ<4一X,

2λ+1>3-λ;

（2）当x>l时，有<2x+l>0,解得1V/V3；

3一x>O,

2λ+1v3-λ;

2当OVXVl时，有<2λ∙+1>0∙解得OVxV—・

3

3一x>O,

2所以原不等式的解集是λO

3

12

⑵•・•当XXl时，尸叫为减函数，.・.：

＞§＞“

10.对数型函数单调性的讨论

（1）解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：

一是看底数是否大于1,当底数未明确给出时，则应对底数日是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域.

（2）关于形如y=log∙∕（x）—类函数的单调性，有以下结论：

函数y=log,f（x）的单调性与函数u=f（x）（f（x）＞Q）的单调性，当日＞1时相同，当O＜日＜1时相反・

例如：

求函数y=log2（3-2x）的单调区间.

分析：

首先确定函数的定义域，函数y=log2（3-2x）是由对数函数y=log2w和一次函数"=3-2X复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数〃=3—2X的单调性.值域入手，并结合函数y=log山的单调性考虑.

解：

由3—2x＞0,解得函数/=Iog2（3—2Ar）的定义域是（-8,劭.

设u=3-2x9x∈（^-∞∙器

Vu=3-2x在（一8,劭上是减函数，且y=log2w在（0,+8）上单调递增,函数尸Iog2（3—2x）在（一8,∣∙）上是减函数.

函数y=log2（3—2x）的单调减区间是（一8,|）.

【例10-1］求函数尸log.©—日A）的单调区间.

解：

（1）若a>l,则函数y=IOg^递增，且函数t=a~a'递;咸.

又Va-ai>Q.即al

（2）若OVaV1,则函数y=log√递减，且函数t=-a~a'递增.

又Va-al>Q,即a'l./.函数y=∖ogΛa-at）在（1,+8）上递减.

综上所述，函数y=log√a-√）在其定义域上递减.

析规律判断函数y=log.f（x）的单调性的方法函数y=log.Λx）可看成是y=log.z/与U=fd）两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异滅”的规律即可判断・需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即定义域优先”•

令U（X）=ax—a9Vr（X）=IOglU（X）在-Oo,——上是增函数,

1\2丿

.∙."（x）在-OO，一㊁J上是减函数，且U（X）>0在［—8厂㊁上恒成立.

•••满足条件斛的取值范围是ZSj

11.对数型函数的奇偶性问題

判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是:

（1）求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f（-χ）与f（x）或一f（x）是否相等；

（2）当f（~x）≈f（x）时，此函数是偶函数；当Λ-χ）=-Ax）时，此函数是奇函数：

（3）当f（-x）=rω且/∙（-χ）=-f（x）时，此函数既是奇函数又是偶函数；

（4）当f（-χ）≠rω且/∙（-χ）H-f（x）时，此函数既不是奇函数也不是偶函数.

例如，判断函数M=IOgλ（7√+7÷x）（,y∈R,a>0,且αHl）的奇偶性.

解：

Tf（~x）+f（x）=IOgfl（JX2+1-X）+IOgn（yfx2+l÷

=logΛ√+1—/）=IOgJ=0,.∙.f（-x）=—f（x）..∙.f（x）为奇函数.

1+X

【例11】巳知函数f（x）=IOgn——（自>0,且a≠∖）・

I-X

（D求函数f（χ）的定义域；

（2）判断函数f（x）的奇偶性；

（3）求使f（x）>O的X的取值范围.

分析：

对于第

（2）问，依摇函数奇偶性的定义证明即可・对于第（3）问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式・

1+X

解：

（1）由一>0,得一IVXV1,故函数f（x）的定义域为（一1,1）・

I-X

/ZI1—XI∖+X、

（2）.f（-χ）=IOgn=-Iogr7=-f{x）.

1+xI-X

又由

（1）知函数f（0的定义域关于原点对称，.∙.函数f（x）是奇函数.

1+X]+γ

（3）当$>1时，由IOgd—>0=log.J,得一>1,解得OVxVl;

I-XI-X

1+X1+

当0V&V1时，由IOgλ—>O=IogJf得OV—VI,解得一1VjvVO.

I-XI-X

故当a>∖时的取值范围是{x∣0

12.对数型函数模型的实际应用

地震震级的变化规律、溶液PH的变化规律、航天问題等，可以用对数函数模型来研究.此类題目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数.

其解决步骤是：

（1）审题：

弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数虽关系；

（2）建模：

将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；

（3）求模：

求解函数模型，得到数学结论；

（4）还原：

将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论.

由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入巳知的数据得到相关的方程而求得待定系数.一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题.代入法、方

程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓・

【例12】我国用长征二号F型运载火箭成功发射了"神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家（其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱）•在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y（单位：

km∕s）关于燃料重虽*单位：

吨）的函数关系式为y=Λln（zz∕+x）-⅛ln（√2w）+41π2（A-≠0）,其中刃是箭体、搭载的飞行器、航天员的重虽和.当燃料重董为（庞—l）z?

/吨时，火箭的最大速度是4km∕s.

（