22等差数列的概念通项公式性质练习含答案.docx
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22等差数列的概念通项公式性质练习含答案
2.2等差数列概念、通项公式、性质
第1课时等差数列的概念及通项公式
题型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？
（1）9,7,5,3，⋯，－2n＋11，⋯；
（2）－1,11,23,35，⋯，12n－13，⋯；
（3）1,2,1,2，⋯；
（4）1,2,4,6,8,10，⋯；
（5）a，a，a，a，a，⋯.跟踪训练1数列{an}的通项公式an＝2n＋5（n∈N＋），则此数列（）A．是公差为2的等差数列B．是公差为5的等差数列C．是首项为5的等差数列D．是公差为n的等差数列题型二等差中项例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
跟踪训练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
题型三等差数列通项公式的求法及应用
例3在等差数列{an}中，
（1）若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项．
（2）若a2＝11，a8＝5，求a10.
跟踪训练3
（1）求等差数列8,5,2，⋯的第20项；
（2）判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，⋯的项，如果是，是第几项？
等差数列的判定与证明典例1已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.
（1）证明：
数列3ann是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
典例2已知数列{an}：
a1＝a2＝1，an＝an－1＋2（n≥3）．
（1）判断数列{an}是否为等差数列？
说明理由；
（2）求{an}的通项公式．
【课堂练习】
1．下列数列不是等差数列的是（）
A．1,1,1,1,1B．4,7,10,13,16
1245
C.3，3，1，3，3D．－3，－2，－1,1,2
2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n（n∈N＋），则它的公差d为（）
A．2B．3C．－2D．－3
3．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
4．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是（）
1
A．公差为1的等差数列B．公差为3的等差数列
1
C．公差为－31的等差数列D．不是等差数列
3
5．已知等差数列1，－1，－3，－5，⋯，－89，则它的项数是（）
A．92B．47C．46D．45
1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法
（1）an＋1－an＝d（d为常数，n∈N＋）?
{an}是等差数列；
（2）2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋）?
{an}是等差数列；
（3）an＝kn＋b（k，b为常数，n∈N＋）?
{an}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
【巩固提升】
一、选择题
1．设数列{an}（n∈N＋）是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于（）
A．4B．3C．2D．1
2．已知等差数列－5，－2,1，⋯，则该数列的第20项为（）
A．52B．62C．－62D．－523．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为（）
A．52
B．51
C．50
D．49
4．若5，x，
y，z，
21成等差数列，则x＋y＋z的值为（）
A．26
B．
29
C．39
D．52
5．已知在等差数列
{an}中，
a3＋a8＝22，
a6＝7，则a5等于（）
A．15
B．
22
C7
D．29
6．等差数列
20,17,14,11，⋯
中第一个负数项是（）
A．第7项
B．
第8项
C．第9项
D．
第10项
7．一个等差数列的前4项是
a
a，x，b，2x，则ab等于（）
1
1
1
2
A.4
B.2
C.3
D.23
8．在数列{an}中，
a2＝2，a6
＝0，且数列
1
1是等差数列，则a4等于（an＋1
1
1
1
1
A.2
B.13
C.14
D.16
二、填空题
9．若一个等差数列的前三项为a,2a－1,3－a，则这个数列的通项公式为．
10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．
11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是
12.已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1（n≥2，n∈N＋），则a10＝.
三、解答题
13．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0，求{an}的通项公式．
6an－4
14．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3（n∈N＋）．
an＋2
1
（1）证明：
数列是等差数列；
an－2
（2）求数列{an}的通项公式．
15．已知数列{an}满足：
a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2（n∈N＋），求数列{an}的通项公式．
2.2.1答案
例1.由等差数列的定义得
（1）
（2）（5）为等差数列，（3）（4）不是等差数列．
跟踪训练1.A
例2.∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，
b＝－12＋7＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴
－1＋3
a＝2＝1.
又c是3与7的等差中项，∴
3＋7c＝3＋27＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
跟踪训练2解由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.
所以
m和n的等差中项为m＋2n＝3.
a1＋4d＝15.
a1＝7，
例3
解
（1）因为
解得
a1＋16d＝39，
d＝2，
所以
an＝7＋2（n－1）＝2n＋5.
令2n＋5＝91，得n＝43.
a1＝12，解得ad＝－1.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项．
a1＋d＝11，
（2）设｛an｝的公差为d，则
a1＋7d＝5，
∴an＝12＋（n－1）×（－1）＝13－n，所以a10＝13－10＝3.
跟踪训练3解
（1）由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，
由n＝20，得a20＝8＋（20－1）×（－3）＝－49.
（2）由a1＝－5，d＝－9－（－5）＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋（n－1）×（－4）＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．
典例1
（1）证明由an＋1＝3an＋3n，两边同时除以3n＋1，
由等差数列的定义知，数列3ann是以a1＝1为首项，1为公差的等差数列．
3333an11n
（2）解由
（1）知3n＝3＋（n－1）×3＝3，故an＝n·3n-1，n∈N＋.
典例2解
（1）当n≥3时，an＝an－1＋2，即an－an－1＝2，而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2（n≥3），
∴{an}不是等差数列．
（2）当n≥2时，an是等差数列，公差为2.
当n≥2时，an＝1＋2（n－2）＝2n－3，
又a1＝1不适合上式，
∴{an}的通项公式为an＝1，n＝1，
2n－3，n≥2.
课堂练习
DCBBC
巩固提升
1—8DAACABCAn
9.an＝＋1
4
10.
67
66
8
11.83，3
13.解设数列{an}的公差为d，
a1＋2d＝－6，
由已知得aa1＋＋5dd＝＝－0，6，
a1＝－10，解得da＝2，10
所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋（n－1）d＝－10＋（n－1）×2＝2n－12.
11
＋，
an－24
an＋2an－2＋4
4an－84an－2
1
故数列1是等差数列．
an－2
1n＋3，
当n＝2k时，a2k＝a2＋（k－1）·（－2）＝5－2k＋2＝7－2k.
∴an＝7－n（n为偶数）．
7－n，n为偶数，a11－n，n为奇数.
2.2第2课时等差数列的性质
题型一an＝am＋（n－m）d的应用例1在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
跟踪训练1{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝.
题型二等差数列性质的应用
例2已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
引申探究
1．在例2中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as？
2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝.
跟踪训练2在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．
题型三等差数列的设法与求解
18，它们的平方和等于116，求这三个数．
例3已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于
数列问题如何选择运算方法典例等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.
课堂练习】
a3＝10，a8＝－20，则公差d等于（
3．等差数列{an}中，
a4＋a5＝15，a7＝12，
则a2等于（
A．3
B．－
3
3
3
C．32
D．－
2
A．32B．－32C．35
4．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋⋯＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋⋯＋a99等于（A．－182B．－78C．－148D．－82
5．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10＝.
1．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
【巩固提升】
一、选择题
1．已知数列{an}为等差数列，a3＝6，a9＝18，则公差d为（）
A．1
B．3
C．2
D．4
2．在等差数列
{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于（）
A．45
B．75
C．180
D．300
3．已知等差数列{an}的公差为
d（d≠0），且
a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为（）
A．12
B．8
C．6
D．4
5．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan（a2＋a12）的值为（）
A.3B．±3
C．－33D．－3
6．已知数列ann是等差数列，且a3＝2，a15＝30，则a9等于（）
A．12B．24C．16D．32
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为（）
A．0B．1C．2D．1或2
8．已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为（）
A．105B．120C．90D．75
二、填空题
9．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，m，n∈N＋，则am＋n的值为
11．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.
第1列
第2列
第3列
第1行
1
2
3
第2行
2
4
6
第3行
3
6
9
10．若三个数成等差数列，它们的和为
9，平方和为59，则这三个数的积为
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是
12．若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则{an}的通项公式为三、解答题
13．在等差数列{an}中，
1
（1）若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，求a7－2a8；
（2）已知a1＋2a8＋a15＝96，求2a9－a10.
14．已知{an}为等差数列，且a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24.
（1）求a20的值；
341
（2）若bn＝2an－2，试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.
15．已知两个等差数列{an}：
5,8,11，⋯与{bn}：
3,7,11，⋯，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？
2.2.2答案
例1在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．解因为a8＝a2＋（8－2）d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋（n－2）d，所以an＝5＋（n－2）×2＝2n＋1.跟踪训练1.8
例2解方法一因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
所以（a4－2d）（a4＋2d）＝9，即（5－2d）（5＋2d）＝9，解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋（n－4）d＝2n－3，n∈N＋；
若d＝－2，an＝a4＋（n－4）d＝13－2n，n∈N＋.
方法二设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5.①
由a2a4a6＝45，
得（a1＋d）（a1＋3d）（a1＋5d）＝45，将①代入上式，得
（5－2d）×5×（5＋2d）＝45，
即（5－2d）（5＋2d）＝9，②
联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
即an＝－1＋2（n－1）＝2n－3；
或an＝11－2（n－1）＝－2n＋13.
引申探究
1．解设公差为d，则am＝a1＋（m－1）d，
an＝a1＋（n－1）d，
ap＝a1＋（p－1）d，
aq＝a1＋（q－1）d，
ar＝a1＋（r－1）d，
as＝a1＋（s－1）d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋（m＋n＋p－3）d，
aq＋ar＋as＝3a1＋（q＋r＋s－3）d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2．20
解析∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，即3a5＋a7＝2（a3＋a8）＝20.
跟踪训练2解方法一∵（a2＋a5＋a8）－（a1＋a4＋a7）＝3d，（a3＋a6＋a9）－（a2＋a5＋a8）＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．
∴a3＋a6＋a9＝2（a2＋a5＋a8）－（a1＋a4＋a7）＝2×33－39＝27.
方法二∵a1＋a4＋a7＝a1＋（a1＋3d）＋（a1＋6d）
＝3a1＋9d＝39，
∴a1＋3d＝13，①
∵a2＋a5＋a8＝（a1＋d）＋（a1＋4d）＋（a1＋7d）＝3a1＋12d＝33.
∴a1＋4d＝11，②
d＝－2，
联立①②解得a1＝19.
∴a3＋a6＋a9＝（a1＋2d）＋（a1＋5d）＋（a1＋8d）＝3a1＋15d＝3×19＋15×（－2）＝27.
例3.解设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.
a－d＋a＋a＋d＝18，由题意可得222
a－d＋a＋a＋d＝116，
a＝6，a＝6，
解得或
d＝2d＝－2.
∵d>0，∴a＝6，d＝2.∴这个数列是4,6,8.
跟踪训练3.解设这三个数分别为
a－d，a，a＋d.
a－d＋a＋a＋d＝6，
由题意可得
a－d
·a·a＋d＝－24，
a＝2，
a＝2，
解得
或
d＝4
d＝－4.
∴所求三个数为－
2,2,6或6,2,－2.
典例解
方法一
设{an}的公差为
d.
则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2（a1＋14d）
＝4a1＋36d＝4（a1＋9d）
＝4a10＝40，
∴a10＝10.
方法二∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，∴a10＝10.
课堂练习BCAD30
巩固提升
１—８CCBCDADA
９．０
１０.－２１
１１.n2＋n
１２.an＝2n－52
１３．解
（1）a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
111∴a7－2a8＝2（2a7－a8）＝2（a6＋a8－a8）＝2a6＝8.
（2）∵a1＋2a8＋a15＝4a8＝96，∴a8＝24.∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
1４．解
（1）因为a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24，所以a3＝6，a4＝8，则公差d＝2，所以a20＝a3＋17d＝40.
（2）由
（1）得an＝a3＋（n－3）d＝6＋（n－3）×2＝2n，
34141
所以bn＝2×2n－2＝3n－2.
由bn>0，即3n－421>0，得n>461，
26
所以数列{bn}从第7项开始大于0.
１５.解因为an＝3n＋2（n∈N*），bk＝4k－1（k∈N*），两数列的共同项可由3n＋2＝4k－1求得，
4**
所以n＝3k－1.而n∈N*，k∈N*，
3
所以设k＝3r（r∈N*），得n＝4r－1.
1≤3r≤100，*
由已知且r∈N*，可得1≤r≤25.
1≤4r－1≤100，
所以共有25个相同数值的项．
111
得an＋1－2－an－2＝4，n∈N＋，
当n＝2k－1时，2k＝n＋1，a2k－1＝a1＋（k－1）·（－2）＝12－2k，∴an＝12－（n＋1）＝11－n（n为奇数）．
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