初一数学因式分解的常用方法可编辑修改word版文档格式.docx
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解法二:
第一、四项为一组;
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
原式=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=2a(x-5y)-b(x-5y)
=(x-5y)(2a-b)
原式=(2ax-bx)+(-10ay+5by)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
=(2a-b)(x-5y)
练习:
分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+1
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
x2-y2+ax+ay
若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
原式=(x2-y2)+(ax+ay)
=(x+y)(x-y)+a(x+y)
=(x+y)(x-y+a)
例4、分解因式:
a2-2ab+b2-c2
原式=(a2-2ab+b2)-c2
=(a-b)2-c2
=(a-b-c)(a-b+c)
分解因式3、x2-x-9y2-3y4、x2-y2-z2-2yz
综合练习:
(1)x3+x2y-xy2-y3
(2)ax2-bx2+bx-ax+a-b
(3)x2+6xy+9y2-16a2+8a-1(4)a2-6ab+12b+9b2-4a
(5)a4-2a3+a2-9(6)4a2x-4a2y-b2x+b2y
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行分解。
特点:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
思考:
十字相乘有什么基本规律?
例.已知0<a≤5,且a为整数,若2x2+3x+a能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a.
解析:
凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求∆=b2-4ac
于是∆=9-8a为完全平方数,a=1
>
0而且是一个完全平方数。
例5、分解因式:
x2+5x+6
将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2×
3=(-2)×
(-3)=1×
6=(-1)×
(-6),从中可以发现只有2×
3的分解适合,即2+3=5。
12
x2+5x+6=x2+(2+3)x+2⨯3
=(x+2)(x+3)
13
1×
2+1×
3=5
用此方法进行分解的关键:
将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式:
x2-7x+6
原式=x2+[(-1)+(-6)]x+(-1)(-6)
=(x-1)(x-6)
1-1
1-6
(-1)+(-6)=-7
练习5、分解因式
(1)x2+14x+24
(2)a2-15a+36
(3)x2+4x-5
练习6、分解因式
(1)x2+x-2
(2)y2-2y-15
(3)x2-10x-24
(二)二次项系数不为1的二次三项式——ax2+bx+c
条件:
(1)a=a1a2
(2)c=c1c2
a1c1
a2c2
(3)b=a1c2+a2c1b=a1c2+a2c1
分解结果:
ax2+bx+c=(ax+c)(ax+c)
1122
例7、分解因式:
3x2-11x+10
1-2
3-5
(-6)+(-5)=-11
3x2-11x+10=(x-2)(3x-5)
练习7、分解因式:
(1)5x2+7x-6
-6y2+11y+10
(2)3x2-7x+2
(3)10x2-17x+3
(4)
(三)二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式:
a2-8ab-128b2
将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b8b+(-16b)=-8b
a2-8ab-128b2=a2+[8b+(-16b)]a+8b⨯(-16b)
=(a+8b)(a-16b)
练习8、分解因式
(1)x2-3xy+2y2
(2)m2-6mn+8n2(3)a2-ab-6b2
(四)二次项系数不为1的齐次多项式例9、2x2-7xy+6y2
例10、x2y2-3xy+2
1-2y
2-3y(-3y)+(-4y)=-7y
原式=(x-2y)(2x-3y)
把xy看作一个整体1-1
1-2
(-1)+(-2)=-3
原式=(xy-1)(xy-2)
练习9、分解因式:
(1)15x2+7xy-4y2
(2)a2x2-6ax+8
综合练习10、
(1)8x6-7x3-1
(2)12x2-11xy-15y2
(3)(x+y)2-3(x+y)-10
(a+b)2-4a-4b+3
(5)
x2y2-5x2y-6x2
(6)
m2-4mn+4n2-3m+6n+2
(7)x2+4xy+4y2-2x-4y-3(8)5(a+b)2+23(a2-b2)-10(a-b)2
(9)4x2-4xy-6x+3y+y2-10(10)12(x+y)2+11(x2-y2)+2(x-y)2
分解因式:
abcx2+(a2b2+c2)x+abc
五、换元法。
例13、分解因式
(1)2005x2-(20052-1)x-2005
(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2
(1)设2005=a,则原式=ax2-(a2-1)x-a
=(ax+1)(x-a)
=(2005x+1)(x-2005)
(2)型如abcd+e的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2
设x2+5x+6=A,则x2+7x+6=A+2x
∴原式=(A+2x)A+x2=A2+2Ax+x2
=(A+x)2=(x2+6x+6)2
练习13、分解因式
(1)(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)
(2)(x2+3x+2)(4x2+8x+3)+90
(3)(a2+1)2+(a2+5)2-4(a2+3)2
例14、分解因式
(1)2x4-x3-6x2-x+2
观察:
此多项式的特点——是关于x的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法:
提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。
原式=x2(2x2-x-6-1+1)=x2[2(x2+1)-(x+1)-6]
xx2x2x
设x+1=t,则x2+1
xx2
=t2-2
∴原式=x2[(2t2-2)-t-6]=x2(2t2-t-10)
=x2(2t-5)(t+2)=2⎛
+2-⎫⎛
+1+2⎫
xç
2x
⎝
5⎪ç
x⎪
⎭⎝x⎭
=⎛+2-⎫
⎛+1+2⎫=(2x2-5x+2)(x2+2x+1)
x·
ç
2xx5⎪·
xx⎪
⎝⎭⎝⎭
=(x+1)2(2x-1)(x-2)
(2)x4-4x3+x2+4x+1
2241
2⎡⎛21⎫⎛
1⎫⎤
原式=x(x
-4x+1++)=x
xx2
⎢ç
x
+x2⎪-4ç
x-x⎪+1⎥
设x-1=y,则x2+1
⎣⎝
=y2+2
⎭⎝⎭⎦
∴原式=x2(y2-4y+3)=x2(y-1)(y-3)
=x2(x-1-1)(x-1-3)=(x2-x-1)(x2-3x-1)
xx
练习14、
(1)6x4+7x3-36x2-7x+6
(2)x4+2x3+x2+1+2(x+x2)
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
(1)x3-3x2+4
解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=x3+1-3x2+3
=(x+1)(x2-x+1)-3(x+1)(x-1)
原式=x3-3x2-4x+4x+4
=x(x2-3x-4)+(4x+4)
=(x+1)(x2-x+1-3x+3)(x+1)(x2-4x+4)
=(x+1)(x-2)2
=x(x+1)(x-4)+4(x+1)=
=(x+1)(x2-4x+4)
(2)x9+x6+x3-3
原式=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1+x3+1+1)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)
练习15、分解因式
(1)x3-9x+8
x4-7x2+1
(2)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4
(3)
x4+x2+2ax+1-a2
x4+y4+(x+y)4
2a2b2+2a2c2+2b2c2-a4-b4-c4
七、待定系数法。
例16、分解因式x2+xy-6y2+x+13y-6
原式的前3项x2+xy-6y2可以分为(x+3y)(x-2y),则原多项式必定可分为(x+3y+m)(x-2y+n)
设x2+xy-6y2+x+13y-6=(x+3y+m)(x-2y+n)
∵(x+3y+m)(x-2y+n)=x2+xy-6y2+(m+n)x+(3n-2m)y-mn
∴x2+xy-6y2+x+13y-6=x2+xy-6y2+(m+n)x+(3n-2m)y-mn
⎧m+n=1
⎪⎧m=-2
对比左右两边相同项的系数可得⎨3n-2m=13,解得⎨n=3
⎩
⎪mn=-6⎩
∴原式=(x+3y-2)(x-2y+3)
例17、
(1)当m为何值时,多项式x2-y2+mx+5y-6能分解因式,并分解此多项式。
(2)如果x3+ax2+bx+8有两个因式为x+1和x+2,求a+b的值。
(1)分析:
前两项可以分解为(x+y)(x-y),故此多项式分解的形式必为(x+y+a)(x-y+b)
设x2-y2+mx+5y-6=(x+y+a)(x-y+b)
则x2-y2+mx+5y-6=x2-y2+(a+b)x+(b-a)y+ab
⎧a+b=m
比较对应的系数可得:
⎨b-a=5
⎪ab=-6
⎧a=-2
,解得:
⎨b=3
⎪m=1
⎧a=2
或⎨b=-3
⎪m=-1
∴当m=±
1时,原多项式可以分解;
当m=1时,原式=(x+y-2)(x-y+3);
当m=-1时,原式=(x+y+2)(x-y-3)
(2)分析:
x3+ax2+bx+8是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如x+c的一次二项式。
设x3+ax2+bx+8=(x+1)(x+2)(x+c)
则x3+ax2+bx+8=x3+(3+c)x2+(2+3c)x+2c
⎧a=3+c
∴⎨b=2+3c
⎪2c=8
∴a+b=21
⎧a=7
解得⎨b=14,
⎪c=4
练习17、
(1)分解因式x2-3xy-10y2+x+9y-2
(2)分解因式x2+3xy+2y2+5x+7y+6
(3)已知:
x2-2xy-3y2+6x-14y+p能分解成两个一次因式之积,求常数p并且分解因式。
(4)k为何值时,x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式。
第二部分:
习题大全经典一:
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的的形式,叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式:
m3-4m=.
3.分解因式:
x2-4y2=.
4、分解因式:
-x2-4x-4=。
5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为.
6、若x-y=5,xy=6,则x2y-xy2=,2x2+2y2=。
二、选择题
7、多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是()
A、5mn
B、5m2n2
C、5m2n
D、5mn2
8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()
(a+3)(a-3)=a2-9
a2-b2=(a+b)(a-b)
m2-2m-3=m⎛m-2-3⎫
a2-4a-5=a(a-4)-5
m⎪
C、D、⎝⎭
10.下列多项式能分解因式的是()
(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4
2
11.把(x-y)-(y-x)分解因式为()
A.(x-y)(x-y-1)B.(y-x)(x-y-1)C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x+1)
12.下列各个分解因式中正确的是()A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1)D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式,那么k应为()
A.2B.4C.2y2D.4y2
三、把下列各式分解因式:
14、nx-ny
15、4m2-9n2
16、
m(m-n)+n(n-m)
17、a3-2a2b+ab2
()
x2+42-16x2
18、
19、9(m+n)2-16(m-n)2;
五、解答题
20、如图,在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中,挖去一个边长b=3.33cm的正方形。
求纸片剩余部分的面积。
21、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道,它的规格是内径d=45cm,外径D=75cm,长l=3m。
利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土?
(取3.14,结果保留2位有效数字)
22、观察下列等式的规律,并根据这种规律写出第(5)个等式。
(1)x2-1=(x+1)(x-1)
(2)x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1)
(3)x8-1=(x4+1)(x2+1)(x+1)(x-1)
(4)x16-1=(x8+1)(x4+1)(x2+1)(x+1)(x-1)
(5)
经典二:
因式分解小结
知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点。
1.因式分解的对象是多项式;
2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式;
3.分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止;
4.公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式;
5.结果如有相同因式,应写成幂的形式;
6.题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解;
7.因式分解的一般步骤是:
(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;
如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;
(2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;
下面我们一起来回顾本章所学的内容。
1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式x5-x4+x3-x2+x-1
这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把x5-x4+x3和-x2+x-1分别看成一组,此时六
项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;
也可把x5-x4,x3-x2,x-1分别看成一组,此时的六项
式变成三项式,提取公因式后再进行分解。
解一:
原式=(x5-x4+x3)-(x2-x+1)
=x3(x2-x+1)-(x2-x+1)
=(x3-1)(x2-x+1)
=(x-1)(x2-x+1)(x2+x+1)
解二:
原式=(x5-x4)+(x3-x2)+(x-1)
=x4(x-1)+x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x4+x2+1)
=(x-