专题研究全等三角形证明方法归纳及典型例题.docx
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专题研究全等三角形证明方法归纳及典型例题
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专题12：
全等三角形的证明对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的全等三角形的性质：
高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
（1）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
（2）有公共边的，公共边常是对应边．（3）有公共角的，公共角常是对应角．（4）有对顶角的，对顶角常是对应角．（5，一对））是对应边（或对应角两个全等的不等边三角形中一对最长边（6）（或最大角．是对应边（或对应角）最短边（或最小角）要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．两直线垂直等问角相等、全等三角形的应用：
运用三角形全等可以证明线段相等、题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和三角形全等的作用：
大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．一、找边相等的方法1、利用等角对等边（注意：
必须在同一个三角形中才能考虑）、例1AB=CD
∠4，求证：
1=∠2，∠3=如图，已知∠
DA
.1234BC2、利用公共边相等A1例BF=CF
的延长线上的一点。
求证：
F是AD，AB=ACDB=DC，、DCBF练习。
＝BC分别是DC、的中点，求证：
AEAFFEDCBCADAB、已知：
如图所示，＝，＝，、D
E
A
CF
B
文档Word
`
、利用等量代换3AB=DE）
公共边，那么（即AB+公共边=DE+1例。
AF=DE，AE=DF，CE=FB。
求证：
如图：
AB=CD
ABF
E
CD
4、利用三角形中线定理，或者等边三角形1例MB=MC
，ME=MF。
求证：
MF，⊥AC，垂足分别为E、F．如图：
AB=AC，ME⊥ABA
E
MC
练习、BF
EC⊥（EC=BF；2），AF⊥AC，AE=ABAF=AC。
求证：
（1）⊥如图所示，已知AEAB，F
A
E
MC
B
、利用三角形角平分线定理51例垂直垂直AB,DC平分∠BAC，DE上一点，中，如图，在ΔABCD是边BCAD、BC的长。
，求线段，已知AC,连结DEDE=2cm，BD=3cmA
EBCD文档Word
`
练习、已知：
如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，?
PN⊥CD于N，判断PM与ADMPN的关系．
PN
CB
二、找角相等的方法
1、利用平行直线性质
例1已知：
如图所示，A、B、C、D在同一直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，试说明：
（1）DF∥CE；
（2）DE＝CF．
ADF12ECB
2、巧用公共角
要点：
在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角
例1.如图所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC,∠B=∠C.求证：
AD=AE
已知：
如图,AD＝AE,AB＝AC,BD、CE相交于O.求证：
OD＝OE．
文档Word
`
三、利用对顶角相等
已知：
四边形ABCD中,AC、BD交于O点,AO=OC,BA⊥AC,DC⊥AC．垂足分、1例别为A,C．求证：
AD=BC
已知：
如图，在AB、AC上各取一点，E、D，使AE=AD，连结BD，CE，BD与CE交于O，连结AO，∠1=∠2，求证：
∠B=∠C
四、利用等量代换关系找出角相等
例1.已知：
如图，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证：
△EAD≌△CAB．
E
CD
AB
已知:
如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:
BD=CE
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`
）常用的在直角三角形中找出角相等的条件（1BDABCACABCBACABBD的延长线中，∠的平分线，=90度，=是∠，例1、如图，△CEBDECEBAFC，直线=2交的延长线于．垂直于过．求证：
点的直线于F
A
ED
CB
BF,过CF⊥AE,垂足为C∠中,ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线，过作△ABCD.
的延长线于⊥BC交CF作BD.
的长AC=12cm,求BD求证:
（1）AE=CD;
（2）若ADFCBE
三、常见辅助线补充全等三角形找全等三角形的方法：
）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪（1两个可能全等的三角形中；）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；2（）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（34（）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
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O.
相交于都是等边三角形，且AN、BM点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN例1.已知:
①求证：
AN=BM
的度数。
求∠AOB②
。
PQ∥AB，BM、NC交于点Q，求证：
③若AN、MC相交于点PN
M
O
QP
BAC
⊥AC，PR⊥AB，PS,P,△ABC中、Q分别是BC、AC上的点，作变式训练：
：
如图AQ=PQ,PR=PS.S,垂足分别是R、求证：
（1）AS=AR;B
∥AR.
（2）QPR\P
CAQS
?
?
D,
BD⊥，∠BAC=90o，直线于为经过点A的任一直线，ABC例3.在Rt△中，AB=AC?
，若BD>CECE⊥，试问：
于E.
与CE的大小关系如何？
请说明理由
（1）AD.CE之间的数量之间关系如何？
你能说明清楚吗？
不妨试一试）线段BD，DE，（2
A
D
C
B
E
L
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变式训练：
在⊿ABC中,D为BC的中点.过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于点G.DE⊥GF,并交AB于点E.连结EG..
（1）求证:
BG=CF.
（2）请猜想BE+CF与EF的大小关系,并加以证明.
0，△ABC的角平分线AD，CE相交于点60△ABC中，∠B＝O，4.例如图，求证：
AE＋CD＝AC
A
E
O
C
B
D
BP=AC,CQ=AB,ABC的高，且分别是⊿如图，变式训练：
BE、CFAQ试判断AP与是否垂直？
并说明理由。
Q
A
F
E
P
C
B
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【作业】
1、在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD=8cm，则点D
到AB的距离是_______cm.
2、如下左图，△ABC中,AD⊥BC，BE⊥AC，BF=AC，那么∠ABC＝___度.
4、如下中图，在四边形ABDE中，AB⊥AE,AC=CD=5cm,AC⊥BD,ED⊥BD，则四边形ABDE的面积是。
5、如下右图把△ABC沿DE对折，顶点A落在A′处，且∠1=20°、∠2=40°，则∠A=度。
A
A
ADEEFE
1
C
B
2DD
B
C
A′CB
二、解答题:
ACB=105°,∠AEF,交于G,于≌△1.如图,已知△ABCADE,BC的边长线交AD.求∠DFB和∠AGB度数ADE=25°,∠CAD=10°,∠
D
C
F
G
B
E
A
2、如图，AD为等腰直角三角形ABC的底角平分线，∠C=90o，试探索AC+CD与AB的关系，并说明理由.
F
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