《极坐标与参数方程》题型归纳.docx

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《极坐标与参数方程》题型归纳

《极坐标与参数方程》高考高频题型

除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及

（一）有关圆的题型

题型一：

圆与直线的位置关系 （圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较

d > r :

 相离，无交点；d = r :

 相切，个交点；

d < r :

 相交，个交点；

Ax + By + C

00

A2 + B 2

题型二：

圆上的点到直线的最值问题 （不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）

00

A2 + B 2

第二步：

判断直线与圆的位置关系

第三步：

相离：

代入公式：

 d

max

= d + r ， d

min = d - r

相切、相交：

 d max = d + rd

= 0

m i n

题型三：

直线与圆的弦长问题

弦长公式 l = 2 r 2 - d 2 ，d 是圆心到直线的距离

延伸：

直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题

（弦长：

直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）

弦长公式 l = t - t ,解法参考“直线参数方程的几何意义”

12

（二）距离的最值：

 ---用“参数法”

1.曲线上的点到直线距离的最值问题

2.点与点的最值问题

“参数法”：

设点---套公式--三角辅助角

①设点：

 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设

②套公式：

利用点到线的距离公式

③辅助角：

利用三角函数辅助角公式进行化一

1

⎧ x = 3 cos α

（α为参数 ） ，

π

24

（I）写出 C 的普通方程和 C 的直角坐标方程；

12

（II）设点 P 在 C 上，点 Q 在 C 上， 求 PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标

12

x2

1

C 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 .

2

（解说：

C1：

 ⎧x = 3cosα利用三角消元：

移项 - 化同 - 平方 - 相加

⎩y = sinα

这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边

⎪⎪= cos αx2

3

⎩⎩

（Ⅱ）由题意，可设点 P 的直角坐标为 （ 3 cos α ,sin α ）

（解说：

点直接用该点的曲线方程的参数方程来表示）

因为 C 是直线，所以 | PQ | 的最小值即为 P 到 C 的距离 d （α ） 的最小值，

22

d （α ） = | 3 cosα + sin α - 4 |

2

π

= 2 | sin（α + ） - 2 | .

3

（欧萌说：

利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）

ππ

36

（k ∈ Z ） 时，d （α ） 取得最小值，最小值为 2 ，此时 P 的直角坐标

3 1

为 （ , ）.

2 2

（三）直线参数方程的几何意义

⎧ x = x + t cos α

0

α

（t为参数）若 A，B 为直线 l 上两

点，其对应的参数分别为 t1，t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 t0，则以下结论在解题

中经常用到：

t ＋t

（1）t0= 1 2 2；

t1＋t2

（3）|AB|=|t2－t1|；

（4）|PA|·|PB|=|t1· t2|

2121 21 2

12

121 2

（注：

记住常见的形式，P 是定点，A、B 是直线与曲线的交点，P、A、B 三点在直线上）

【特别提醒】直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，t 才有几何意义且其几何意义为：

|t|

是直线上任一点 M（x，y）到 M0（x0，y0）的距离，即|M0M|=|t|.

直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t , t ，则弦长 l = t - t ；

1212

2.解题思路

第一步：

曲线化成普通方程，直线化成参数方程

第二步：

将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于 t 的一元二次方程：

 at 2 + bt + c = 0

bc

第三步：

韦达定理：

 t + t = - , t t =

12

第四步：

选择公式代入计算。

2

2

（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标

系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ.

（1）将曲线 C 的极坐标方程化为 直角坐标方程；

（2）设点 M 的直角坐标为（5， 3），直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|MA|·|MB|的值 ．

解

（1）ρ＝2cosθ 等价于 ρ2＝2ρcosθ.①

将 ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0.②

2

2

代入②式，得 t2＋5 3t＋18＝0.

设这个方程的两个实根分别为 t1，t2，则由参数 t 的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.

（四）一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离

思路：

一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出 2 个交点的极坐标，利用极径相减即可。

例如：

（2016•福建模拟）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为（其中 α 为参

数），曲线 C2：

（x﹣1）2+y2=1，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的极坐标方程；

（Ⅱ）若射线 θ=（ρ＞0）与曲线 C1，C2 分别交于 A，B 两点，求|AB|．

解：

（Ⅰ）∵曲线 C1 的参数方程为（其中 α 为参数），

∴曲线 C1 的普通方程为 x2+（y﹣2）2=7．

∵曲线 C2：

（x﹣1）2+y2=1，

∴把 x=ρcosθ，y=ρsinθ 代入（x﹣1）2+y2=1，

得到曲线 C2 的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，

化简，得 ρ=2cosθ．

（Ⅱ）依题意设 A（），B（），

∵曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，

将（ρ＞0）代入曲线 C1 的极坐标方程，得 ρ2﹣2ρ﹣3=0，

解得 ρ1=3，

同理，将（ρ＞0）代入曲线 C2 的极坐标方程，得

，

∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣

．

（五）面积的最值问题

面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题

例题 2016•包头校级二模）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为，（t 为参

数），在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为

，A，B 两点的极坐标分别为

（1）求圆 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；

（2）点 P 是圆 C 上任一点，求△PAB 面积的最小值．

．

解：

（1）由，化简得：

，

消去参数 t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，

∴圆 C 的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．

由 ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，

即 ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即 x﹣y+2=0，

则直线 l 的直角坐标方程为 x﹣y+2=0；

（Ⅱ）将 A（2，

），B（2，π）化为直角坐标为 A（0，2），B（﹣2，0），

∴|AB|=

设 P 点的坐标为（﹣5+

=2

cost，3+

，

sint），

∴P 点到直线 l 的距离为 d==，

∴dmin==2，

PAB 面积的最小值是 S= ×2

×2  =4．

极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化

一、直角坐标的伸缩

设点 P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

φ：

 ⎨

⎩ y' = μy（μ > 0）

变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换

⎧⎪x′＝λ·x，

⎨

⎪⎩y′＝μ·y，

下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆

可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）．

【强化理解】

1．曲线 C 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：

x2+y2=1，则曲线 C 的方程为（）

A．B．C．D．4x2+9y2=1

【解答】解：

曲线 C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：

x′2+y′2=1②，

把①代入②得到：

故选：

A

2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：

由曲线 4x2＋9y2＝36 变成曲线 x′2＋y′2

＝1．

⎧⎪x′＝λx（λ>0），

【解答】解：

设变换为 φ：

⎨可将其代入 x′2＋y′2＝1，得 λ2x2＋μ2y2＝1．

⎪⎩y′＝μy（μ>0），

22

94

比较系数得 λ＝1，μ＝1．

32

⎧⎪x′＝1x，

所以⎨将椭圆 4x2＋9y2＝36 上的所有点的横坐标变为原来的1，纵坐标变为原来的1，可

32

2

得到圆 x′2＋y′2＝1．

x 2y 23

⎝3⎭⎝2⎭

2

3、 2015 春•浮山县校级期中）曲线 x2+y2=1 经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（）

A．25x2+9y2=1 B．9x2+25y2=1 C．25x+9y=1D．+=1

【解答】解：

由伸缩变换，化为，代入曲线 x2+y2=1 可得 25（x′）2+9（y′）2=1，

故选：

A．

二、极坐标

1.公式：

（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

点 M直角坐标 （x, y ）极坐标 （ρ,θ ）

互化

公式

⎧ x = ρ cosθ

⎨

已知极坐标化成直角坐标

⎧ ρ 2 = x2 + y 2

⎪

⎨

⎩ x

已知直角坐标化成极坐标

2.极坐标与直角坐标的转化

（1）点：

有关点的极坐标与直角转化的思路

A：

直角坐标 （x, y ）化为极坐标 （ρ,θ ） 的步骤

⎧ ρ 2 = x2 + y 2

⎪

⎪ tan θ = y （ x ≠ 0）

⎩x

②在 [ 0,2π ）内由 tan θ =

y （

x

x ≠ 0） 求θ 时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．

B:

:

极坐标

（ρ,θ ） 化为直角坐标 （x, y ）的步骤，运用 ⎧ x = ρ cosθ

⎩ y = ρ sin θ

（2）直线：

直线的极坐标与直角坐标转化的思路

A：

直角坐标转化成极坐标

x = ρ cosθ

⎩ y = ρ sin θ

例如：

x+3y-2=0：

用公式将 x 和 y 转化，即 ρ cosθ + 3ρ sin θ - 2 = 0

B：

极坐标转化成直角坐标

类型①：

直接转化---直接利用公式转化

例如：

ρ（ 2cosθ＋sinθ）＝1

思路：

第一步：

去括号，ρ 2cosθ＋ρsinθ＝1

⎧ x = ρ cosθ

第二步：

用公式 ⎨转化，即 2 x + y = 1

⎩ y = ρ sin θ

类型②：

利用三角函数的两角和差公式，即 2ρ sin （θ ± α ） = k或2ρ cos （θ ± α ） = k

思路：

第一步：

利用两角和差公式把sin（θ±α）或 cosθ±α）化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简

⎧ x = ρ cosθ

⎨

π ⎫3 3

⎝3 ⎭

解：

第一步：

利用两角和差公式把 sin（θ±α）或 cosθ±α）化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，

即

π13

3322

⎧ x = ρ cosθ

⎨

ρ sin θ + 3ρ cosθ = 3 3即y + 3x = 3 3,∴ 3x + y - 3 3 = 0

类型③：

 θ = α（α为倾斜角，可以是特殊角可以不是特殊角），该直线经过原点（极点），对应的直

角坐标方程为 y = tanα⋅ x即y = kx

例如：

 θ = π

π

33

（注：

直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：

Ax+By+C=0）

三、曲线极坐标与直角坐标互换

（一）圆的直角与极坐标互换

1.圆的极坐标转化成直角坐标

类型一：

 ρ = cosθ + sinθ

详解：

一般 cosθ ,sin θ 要转化成 x、y 都需要跟 ρ 搭配，一对一搭配。

所以两边同时乘以 ρ ，即 ρ 2 = ρ cos θ + ρ sin θ ,∴ x 2 + y 2 = x + y即x 2 + y 2 - x - y = 0

类型二：

 ρ = 2

没有三角函数时，可以考虑两边同时平方

ρ 2 = 4即x 2 + y 2 = 4

2.圆的直角坐标转化成极坐标

（ x - 4） 2 + （ y + 1）2 = 3

解题方法一：

拆开--公式代入

x 2 - 8 x + 16 + y 2 + 2 y + 1 - 3 = 0即x 2 + y 2 - 8 x + 2 y + 14 = 0 ∴ ρ 2 - 8ρ cos θ + 2 ρ sin θ + 14 = 0

解题方法二：

代入-拆-合

（ ρ cos θ - 4）2 + （ ρ sin θ + 1）2 = 3即ρ 2 cos 2 θ - 8ρ cos θ + 16 + ρ 2 sin 2 θ + 2ρ sin θ + 1 - 3 = 0

∴ ρ 2 （cos 2 θ + sin 2 θ ） - 8ρ cos θ + 2ρ sin θ + 14 = 0即ρ 2 - 8ρ cos θ + 2ρ sin θ + 14 = 0

【强化理解】

1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化．

⎛14 ⎫

⎝⎭

②将点 N 的直角坐标（4，－4 3）化成极坐标（ρ≥0，0≤θ<2π）．

标是（－2，2 3）．

3

2π 1 2π

3 ⎝ 2⎭ 3       3

②∵ρ＝42＋（－4 3）2＝8，tanθ＝

－4 3

4  ＝－ 3，θ∈[0，2π），又点（4，－4 3）在第四象限，

5π⎛5π⎫

⎝⎭

2、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．

3

③ρ2cos2θ＝4;

④ρ＝  1 ．

2－cosθ

【解答】解：

①将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入 y2＝4x，得（ρsinθ）2＝4ρcosθ．化简得 ρsin2θ＝4cosθ．

yπy

π

③因为 ρ2cos2θ＝4，所以 ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即 x2－y2＝4．

④因为 ρ＝1，所以 2ρ－ρcosθ＝1，因此

2－cosθ

2x2＋y2－x＝1，化简得 3x2＋4y2－2x－1＝0．

3．化极坐标方程 ρ2cosθ﹣ρ=0 为直角坐标方程为（）

A．x2+y2=0 或 y=1 B．x=1 C．x2+y2=0 或 x=1 D．y=1

【解答】解：

∵ρ2cosθ﹣ρ=0，

∴ρcosθ﹣1=0 或 ρ=0，

∵，

∴x2+y2=0 或 x=1，

故选 C．

4．将曲线 ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0 的极坐标方程化为直角坐标方程为（）

A．y+2x﹣1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x2+2y2﹣1=0D．2y2+x2﹣1=0

【解答】解：

由曲线 ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0，及

，

可得 x+2y﹣1=0．

∴曲线 ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x+2y﹣1=0．故选：

B．

⎛π⎫2

⎝⎭2

.，求圆 O 和直线 l 的直角

坐标方程；

【解答】解：

（1）圆 O：

ρ＝cos θ＋sin θ，即 ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

圆 O 的直角坐标方程为：

x2＋y2＝x＋y，

即 x2＋y2－x－y＝0，

π

⎝4⎭2

则直线 l 的直角坐标方程为：

y－x＝1，即 x－y＋1＝0.

三、参数方程

1.必记的曲线参数方程

已知条件

00

普通方程

y - y = k （ x - x ）

0 0

参数方程

⎧⎪x＝x0＋tcos α，

⎨                （α 为参数）

⎪⎩y＝y0＋tsin α

r

0 0 0 0 0

⎧⎪x＝x0＋rcos θ，

⎨                （θ 为参数）

⎪⎩y＝y0＋rsin θ

长半轴 a 和短半轴 b

2 2

a2 b2

⎧⎪x＝acos θ，

⎨             （θ 为参数）

⎪⎩y＝bsin θ

实轴 a 和虚轴 b

2 2

a2 b2

⎧x＝ a ，

⎨ cos θ

⎩y＝btan θ

（θ 为参数）

已知 p抛物线 y2＝2px（p＞0 ）

⎧⎪x＝2pt2，

⎨

⎪⎩y＝2pt

2.参数方程与普通方程的转化

（1）参数方程转化成普通方程

类型一：

含 t 的消参

思路：

含有 t 的参数方程消参时，想办法把参数 t 消掉就可以啦，有两个思路：

思路一：

代入消元法，把两条式子中比较简单的一条式子转化成 t=f（x）或 t=f（y），

思路二：

加减消元：

让含有 t 前面的系数相同或成相反数后相加减。

⎧

⎪x = 2 +

例如：

曲线 C：

 ⎪

⎪ y = 1 +

⎪⎩

2

t

2 （t为参数）

2

t

2

222

思路二：

加减消元：

两式相减，x－y－1＝0.

类型二：

含三角函数的消参

思路：

三角函数类型的消参一般的步骤就是：

移项-化同-平方-相加

移项：

把除了三角函数的其他相加减数字移动左边

化同：

把三角函数前面的系数化成相同

平方：

两道式子左右同时平方

相加：

平方后的式子进行相加

（注：

有时候并不需要全部步骤）

⎧⎪x＝1＋cos θ，

例如：

圆⎨消参数 θ，化为普通方程是（x－1）2＋（y＋2）2＝1.

⎪⎩y＝－2＋sin θ

x -1 = cosθ

⎩ y + 2 = sin θ

（x -1） = cos2 θ

（y + 2） = sin 2 θ

相加：

（x -1） （y + 2） 2 = 1

3.参数方程涉及题型

（1）直线参数方程的几何意义

（2）距离最值（点到点、曲线点到线、）

【强化理解】

1、直线 l 的参数方程为为参数）．写出直线 l 的直角坐标方程；

【解答】直线 l 的参数方程为为参数）．

由上式化简成 t=2（x﹣1）代入下式得

根据 ρ2=x2+y2，进行化简得 C：

x2+y2=1（2 分）

2、．将参数方程（θ 为参数）化为普通方程为（）

A．y=x﹣2 B．y=x﹣2（0≤y≤1）C．y=x+2（﹣2≤x≤﹣1）D．y=x+2

【解答】解：

将参数方程（θ 为参数）化为普通方程为：

y=x+2，（﹣2≤x≤﹣1）．

故选：

C．