极坐标及参数方程.docx
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极坐标及参数方程
龙文教育一对一个性化辅导教案
学生
曹聪颖
学校
广外
年级
高二
次数
第1次
科目
数学
教师
张老师
日期
2月26日
时段
3-5
课题
极坐标及参数方程
教学重点
①掌握极坐标
②掌握参数方程
教学难点
①能够灵活运用极坐标化为直角坐标
②参数方程的互化
教学目标
能熟练掌握回归分析与独立性检验的步骤
教学步骤及教学内容
一、课前热身：
1、了解学生在校的学习情况
二、内容讲解：
1.极坐标的认识
2.极坐标的互化
3.参数方程的认识
4.参数方程与直角坐标系的互化
三、课堂小结：
1.极坐标2.参数方程
四、作业布置：
教案
管理人员签字：
日期：
年月日
作
业布置
1、学生上次作业评价：
○好○较好○一般○差
备注：
2、本次课后作业：
课
堂小结
家长签字：
日期：
年月日
1．极坐标系
（1）极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O，叫做，从O点引一条射线Ox，叫做，再
选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系．
设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线
OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对（ρ，θ）叫做点M的极坐标，记作M（ρ，θ）．
（2）极坐标与直角坐标的关系：
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标为（ρ，θ），则它们之间的关
系为x＝，y＝.
另一种关系为ρ2＝，tanθ＝.
2．简单曲线的极坐标方程
（1）直线的极坐标方程
θ＝α（ρ∈R）表示过极点且与极轴成α角的直线；
ρcosθ＝a表示过（a,0）且垂直于极轴的直线；
π
ρsinθ＝b表示过b，2且平行于极轴的直线；
ρsin（α－θ）＝ρ1sin（α－θ1）表示过（ρ1，θ1）且与极轴成α角的直线方程．
（2）圆的极坐标方程
ρ＝2rcosθ表示圆心在（r,0），半径为|r|的圆；
π
ρ＝2rsinθ表示圆心在r，2，半径为|r|的圆；
ρ＝r表示圆心在极点，半径为|r|的圆．3．曲线的参数方程
并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，则称上式为该曲线的
，其中变量t称为
4．一些常见曲线的参数方程
（1）过点P0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）．
（2）圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2的参数方程为（θ为参数）．
x2y2
（3）椭圆方程2＋2＝1（a>b>0）的参数方程为（θ为参数）．
ab
（4）抛物线方程y2＝2px（p>0）的参数方程为（t为参数）．
1．在极坐标系中，直线ρsin（θ＋4）＝2被圆ρ＝4截得的弦长为
2．极坐标方程ρ＝sinθ＋2cosθ能表示的曲线的直角坐标方程为
x＝4t2，
3．已知点P（3，m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，则PF＝
y＝4t
x＝－1＋tsin40，°
4．直线y＝3＋tcos40°（t为参数）的倾斜角为
x＝3t，
5．已知曲线C的参数方程是＝2＋1（t为参数）．则点M1（0,1），M2（5,4）在曲线C上的是
题型一极坐标与直角坐标的互化
例1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos（θ
π
－3）＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．
（1）写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；
（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
思维升华直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程
的两边同乘以（或同除以）ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．
在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．
题型二
参数方程与普通方程的互化
例2
52x＝5cosθ，x＝t，
已知两曲线参数方程分别为（0≤θ<π）和4（t∈R），求它们的交点坐标．
y＝sinθy＝t
思维升华
（1）参数方程化为普通方程常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等．对
1
于与角θ有关的参数方程，经常用到的公式有sin2θ＋cos2θ＝1,1＋tan2θ＝12等．
cosθ
（2）在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定
要注意普通方程与参数方程的等价性．
将下列参数方程化为普通方程．
2t2
x＝1＋t2，
（1）4－2t2（t为参数）；
y＝1＋t2
x＝2－4cos2θ，
（2）2（θ为参数）．
y＝－1＋sin2θ
题型三极坐标、参数方程的综合应用
例3在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐
3
x＝－3＋2t，
标方程是ρ＝4cosθ，直线l的参数方程是2（t为参数），M，N分别为曲线C、直线l上
1
y＝12t
的动点，求MN的最小值．
思维升华涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．转化后可使问题变得更加直观，它体现了化归思想的具体运用．
【知识复习】
选修1-1
1、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．方程x＝1－4y2所表示的曲线是（）
A．双曲线的一部分B．椭圆的一部分
C．圆的一部分D．直线的一部分
2．若抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为（）
A．x2＝－28yB．x2＝28y
C．y2＝－28xD．y2＝28x
22
3．双曲线x2－y2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）
ab
A．2B.3C.2D.32
4．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，
b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是（）
A．①②B．②③C．①④D．③④
5．已知a、b为不等于0的实数，则ab>1是a>b的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
一共有（
9．下列四个结论中正确的个数为（）
①命题“若x2<1，则－11或x<－1，则x2>1”；②已知p：
?
x∈R，sinx≤1，q：
若a③命题“?
x∈R，x2－x>0”的否定是“?
x∈R，x2－x≤0”；
④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件．
10．设f（x）＝x（ax2＋bx＋c）（a≠0）在x＝1和x＝－1处有极值，则下列点中一定在x轴上的是（）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若函数f（x）＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是．
14．一动圆圆心在抛物线x2＝8y上，且动圆恒与直线y＋2＝0相切，则动圆必过定点．
15．已知F1、F2是椭圆Cax2＋by2＝1（a>b>0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，P→F1⊥P→F2.若△PF1F2的面积为9，则b＝.
16．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）>0，且g（－3）＝0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）已知p：
x2－12x＋20<0，q：
x2－2x＋1－a2>0（a>0）．若綈q是綈p的充分条件，求a的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d在（－∞，0）上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f（x）＝0的一个根为2.
（1）求c的值；
（2）求证：
f
（1）≥2.
19.（12分）如图，M是抛物线y2＝x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B，且|MA|＝|MB|.证明：
直线EF的斜率为定值．
20．（12分）命题p：
关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，命题q：
指数函数f（x）＝（3－2a）x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
21.（12分）已知函数f（x）＝ax－lnx，若f（x）>1在区间（1，＋∞）内恒成立，求实数a的取值范围．
22.（12分）如图所示，已知直线l：
y＝kx－2与抛物线C：
x2=－2py（p>0）
交于A，B两点，O为坐标原点，O→A＋O→B＝（－4，－12）．
（1）求直线l和抛物线C的方程；
（2）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积的最大值．
选修1-2,4-1
题型一圆的切线的判定与性质
E，点D在AB上，DE⊥EB，且AD
＝23，AE＝6.
（1）判断直线AC与△BDE的外接圆的位置关系；
（2）求EC的长．
（2013·广东改编）
如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的长．
题型二与圆有关的比例线段例4（2012·辽宁）如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：
（1）AC·BD＝AD·AB；
（2）AC＝AE.
思维升华
（1）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：
如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
（2）相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．
BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，的延长线于P.
（1）求证：
PM2＝PA·PC；
（2）若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．
19．某厂采用新技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的成本y（万元）的几组对照数
据．
x
3
4
5
6
y
3
3．5
4．5
5
1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y$＝b$x＋a$；
（3）已知该厂技改前生产50吨甲产品的生产成本为40万元．试根据
（2）求出的线性回归方程，预测生产50吨甲产品的生产成本比技改前降低多少万元？
20．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
1）请在图中画出上表数据的散点图；
2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y·b$xa·
3）试根据
（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.
21．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：
（单位：
人）
（1）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的
时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
附表及公式
22．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，
结果如下面表中所示：
是否需要帮助性别
男
女
合计
需要
50
25
75
不需要
200
225
425
合计
250
250
500
（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；]
（2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？
并说明理由；
（3）根据
（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？
并说明理由．
性检验临界值表为：
0.15
0.10
0.05
0．025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
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