极坐标与参数方程讲义.docx
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极坐标与参数方程讲义
极坐标与参数方程
一、极坐标知识点
1.极坐标系的概念
（1）极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.
注：
极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴
为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可•但极
坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系•
（2）极坐标
设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴0X为始边，射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角，记为•有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M（,）.
一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数•
特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0，）（€R）.和直角坐标不同，平面内一个
点的极坐标有无数种表示•
如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示；
同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的•
2.极坐标和直角坐标的互化
（1）互化背景：
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系
中取相同的长度单位，如图所示:
⑵互化公式：
设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（，）（0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
点M
直角坐标（x，y）
极坐标（，）
互化公式
xcos
ysin
222
xy
tan—（x0）
x
在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角
3.常见圆与直线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径
为r的圆
r（02
）
圆心为（r,0）,半径
为r的圆
2rcos（
2
2）
圆心为（r,—）,半
2
径为r的圆
2rsin（0
）
过极点，倾斜角为
（1）
（R）或
（
R）
的直线
（2）
（0）和
（
0）
过点（a,0）,与极轴
垂直的直线
cosa（
2
_）
2
过点（a,刁），与极
轴平行的直线
sina（0
）
注：
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即（,）,（,2）,（,）,（,）,都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的
唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足
极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M（,）可以表示为
44
5
（,2）或（，2）或（-,等多种形式,其中,只有（，）的极坐标满足方
44444444
程
、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化
例题1、在极坐标中，求两点P（2,q）,Q（2,-）之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程。
解：
两点的直角坐标为PC..2,、.2）,Q（...2,2）,它们之间的距离PQ2.2.
由于直线PQ垂直于极轴，且距离极点..2，所以直线的极坐标方程为cos..2
练习、已知曲线G,C2的极坐标方程分别为cos3，
n
4cos>0,0<-，求曲线G与C2交点的极坐标.
2
cos32灵
解：
我们通过联立解方程组（0,0-）解得，即两曲线的
4cos2—
6
交点为（2•.3,—）。
6
1.2.已知圆C：
（x1）2（yJ3）21,则圆心C的极坐标为（0,02）
2
答案：
（（2,））
3
练习已知点c极坐标为（2,—）,求出以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程（写出解题过
3
程）；
解）如图所示，设M为圆上一点，M（,）,
贝ymoc
3或3，由余弦定理得424cos（§）4
极坐标方程为
=4cos（亍）。
考点2、极坐标与直角坐标方程互化
极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
x蛋
l的参数方程是2
例题2、已知曲线C的极坐标方程是4sin.以极点为平面直角坐标系的原点,
_（t为参
2
，点P是曲线C上的动点，点
Q是直线1上的动点，求|PQ|的最小值.
解：
曲线C的极坐标方程
4sin可化为
2
4
sin,
其直角坐标方程为x2y2
4y0,即x2
（y
2）2
4.
••…（3分）
直线l的方程为xy40.所以圆心到直线I的距离dI243/2•••（6分）
42
所以，PQ的最小值为3罷2.（10分）
练习、设过原点的直线与圆：
的一个交点为，点为线段的中点。
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线.
解：
圆的极坐标方程为4分
设点的极坐标为，点的极坐标为，
•••点为线段的中点，•••，……7分
将，代入圆的极坐标方程，得
•••点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为的圆.……10分
练习（20151理数）（23）（本小题满分10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中.直线：
x=—2，圆：
（x—1）2+（y—2）2=1,以坐标原点为极点，x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系•
（I）求，的极坐标方程；
（II）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求△GMN的面积
（23）解：
（I）因为，，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。
5分
（II）将代入，得，解得，。
故，即。
由于的半径为1，所以的面积为。
……10分
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
xf（t）①,并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M（x,y）都在这条曲线上
yg（t）
那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对
于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从
参数方程得到普通方程.
（2）如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如xf（t）,把它代入普通方程，求
出另一个变数与参数的关系yg（t）,那么xf（t）就是曲线的参数方程，在参数方程与
yg（t）
普通方程的互化中，必须使X,y的取值范围保持一致
注：
普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，
关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3.圆的参数
如图所示，设圆0的半径为r，点M从初始位置Mo出发，按逆时针方向在圆O上作
xrcos
匀速圆周运动，设M（x,y），贝U（为参数）。
yrsin
度。
圆心为（a,b），半径为r的圆的普通方程是（xa）2（yb）2r2,
xacos
数方程为（为参数），其中参数称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方
ybsin
注：
椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一
点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。
但当
（即在
2时，相应地也有
，在其他象限内类似。
2
5.双曲线的参数方程（了解）
xasec,/
其参数方程为（为参数），其中[0,2）且
ybtan
22
1（a0,b0）,其参数方程为
焦点在y轴上的双曲线的标准方程是y2x2
ab
以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。
6.抛物线的参数方程
0）的参数方程为
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y22px（p
:
加为参数）
7.直线的参数方程
经过点M°（xo,y°）,倾斜角为（
）的直线I的普通方程是yyotan（xx°）,
2
xx0tcos
而过Mo（Xo,yo），倾斜角为的直线I的参数方程为（t为参数）。
yyotsin
注：
直线参数方程中参数的几何意义：
过定点Mo（xo,yo）,倾斜角为的直线I的参数
xxotcos
方程为（t为参数），其中t表示直线I上以定点Mo为起点，任一点
yyotsin
uuuuur
M（x,y）为终点的有向线段M0M的数量，当点M在Mo上方时，t>0；当点M在M。
下方时，tv0;当点M与Mo重合时，t=0。
我们也可以把参数t理解为以Mo为原点，直线I向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长
度相同。
考点3、参数方程与直角坐标方程互化
例题3:
已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由.
解：
（1）由得
•••曲线的普通方程为
•••，即
•••曲线的直角坐标方程为（5分）
（2）v圆的圆心为，圆的圆心为
.••两圆相交
设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段
公共弦长为（10分）
练习（本小题满分10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
（1）指出
C：
Xcos（为参数），曲线C2：
ysin
C,C2各是什么曲线，并说明C与C2公共点的个数;
（2）若把C,C上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1',c2'。
写出C1',
C2'的参数方程。
C1'与C2'公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？
说明你的理由。
练习（2014II）（23）（本小题满分10分）选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程
为•
（1）求得参数方程；
（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据
（1）中你得到的参数方程，确定的坐标•
（23）解：
（I）C的普通方程为•可得C的参数方程为（t为参数，）
（n）设D.由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，.故D的直角坐标为，即。
练习（2013I）（23）（本小题10分）选修4—4:
坐标系与参数方程已知曲线C1的参数
方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标
方程为。
（I）把C的参数方程化为极坐标方程；
（n）求C与C交点的极坐标（p》0,0<0<2n）。
【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两
曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题
【解析】将消去参数，化为普通方程，
即:
将代入得，
•••的极坐标方程为；
（n）的普通方程为，由解得或，.••与的交点的极坐标分别为（）,.
练习（2015II）23.（本小题满分10分）选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线（为参数，）,其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系
中，曲线，曲线.
（I）.求与交点的直角坐标；
（n）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值.
【答案】（I）和；（n）.
解：
（I）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为•联立解得或所以与交点的直角坐标为和.
（n）曲线的极坐标方程为，其中•因此得到极坐标为，的极坐标为•所以，当时，取得最大值，最大值为.
考点：
1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值.
考点4:
利用参数方程求求值域
x1cos
例题4、在曲线C1:
（为参数）上求一点，使它到直线C2
ysin
2,2
1t
2（t为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。
解：
直线C2化成普通方程是x+y-2,2-1=02分
设所求的点为P（1+cos,sin）,3分
则C到直线Ca的距离d=|1cos一sin一2115分
=|sin（+—）+2|7分
4
当—时，即=乞时，d取最小值19分
424
此时，点P的坐标是（1-2,-丄2）10分
22
一222
练习.在平面直角坐标系xOy中，动圆x+y-8xcos-6ysin+7cos+8=0的圆心为
P（x,y），求2x-y的取值范围..
x4cos
【解】由题设得（为参数）•3分
y3sin
于是2xy8cos3sin.73cos（）,6分
所以73W2xyW73.10分
练习.（本小题满分10分）
已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）.
（I）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（n）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值答案：
（本小题满分10分）
解：
（1曲线的极坐标方程可化为：
又•
所以，曲线的直角坐标方程为：
•
（2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得:
令得即点的坐标为
又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，
则二练习（2014I理数）3.（本小题满分10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
已知曲线：
，直线：
（为参数）•
（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程;
（n）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值
【解析】：
.（I）曲线C的参数方程为：
（为参数），
直线I的普通方程为：
5分
（n）
（2）在曲线C上任意取一点P（2cos,3sin）到I的距离为则?
?
，其中为锐角•且•
当时，取得最大值，最大值为；
当时，取得最小值，最小值为•10分
考点5:
直线参数方程中的参数的几何意义
考点易错点二：
直线参数方程中t的几何意义的应用
则点到两点的距离之积为.
10
②设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积
解
（1）直线的参数方程为，即.
（2）把直线代入，
得，，6分
1
圆心C（―,
2
，半径为
y圆心到直线的距离d=存弦长二2「2d「2
100
10分
练习已知直线（I）求直线I的参数方程；（II）设直线I与圆相交于MN两点，求|PM|•|PN|的值。
解：
（I）的参数方程为，
即。
5分
（n）由可将，化简得。
将直线的参数方程代入圆方程得
•••，二。
10分
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