高二物理动量和动量定理.docx
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高二物理动量和动量定理
高二物理课堂学习点拨
来源：
西南大学科学教育研究中心作者：
lvlili
[字体：
大中小]
110509-13高二物理课堂学习点拨
主题：
动量、动量定理、动量守恒、碰撞
一、动量和动量定理
一、动量和冲量
动量p
冲量I
定义
质量和速度的乘积
力与力的作用时间的乘积
公式
p=mv
I=Ft
量性
矢量：
方向与速度方向一致
矢量：
方向与作用力的方向一致
特征
状态量
过程量
单位
kg·m/s
N·S
二、动量定理
1．表述：
物体所受合外力的冲量等于物体动量的变化量。
2．公式：
Ft=△p=p/-p=mv/-mv
3．动量定理是一个矢量式。
4．Ft指的是合外力的冲量，它是引起物体动量变化的原因。
5．动量定理可用于恒力或变力。
对变力，F理解为变力在作用时间内的平均值。
【解释】物体的动量改变量一定时，用延长作用时间的办法减少冲力，即缓冲。
三、动量定理和动能定理的比较
1．动量和动能
（1）动量和动能都是状态量。
（2）动量是矢量，动能是标量。
（3）动量变化时，动能不一定变化；动能变化时，动量一定变化。
（4）定量关系：
；
2．冲量和功
（1）冲量反映了力在时间上的累积效应；功反映了力在空间上的累积效应。
（2）冲量和功都是过程量。
（3）冲量是矢量，功是标量。
3．动量定理和动能定理
（1）动量定理和动能定理都是在恒力作用的情况下推导出来的，但可以用于变力。
（2）动量定理中的冲量是合外力的冲量；动能定理中的功是合外力的功。
（3）动量定理反映了合外力的冲量是引起物体动量变化的原因；
动能定理反映了合外力做的功是引起物体动能变化的原因。
二、动量定理习题课
一、动量和动能
【例题1】下列说法正确的是（AB）
A．物体运动是方向就是它的动量的方向
B．如果物体的速度没有发生变化，则它的动量也一定没有发生变化。
C．如果物体的速率没有发生变化，则它的动量也一定没有发生变化。
D．动量大的物体其速度也一定大。
【解析】物体运动方向即速度方向，也就是动量的方向。
对同一个物体（m不变），速度没有变（v不变），则动量mv一定不变。
但物体的速率不变，有可能速度的方向在变，例如物体做匀速圆周运动，其速度方向时刻改变，则动量时刻改变。
动量是由质量和速度两个因素共同决定的，两个物体的比较，动量大的速度不一定大。
【例题2】关于动量和动能的说法正确的是（B）
A．动量大的物体动能也一定大
B．某一物体，若动量不变，则动能也一定不变
C．某一物体，若动能不变，则动量也一定不变
D．动量和动能的计算都遵循平行四边形法则
【解析】由EK=p2/2m得，物体的动量p大，其动能EK不一定大，还取决于质量m。
对同一个物体，动量不变，则动能一定不变；动能不变，动量有可能改变。
例如匀速圆周运动。
动量是矢量，计算遵循平行四边形法则；但动能是标量，不需要。
【例题3】某一物体做下列运动时，动量保持不变的是（B）
A．自由落体运动B．匀速直线运动C．匀速圆周运动D．竖直上抛运动
二、动量的变化量△p
【例题4】水平抛出的物体，不计空气阻力，则（ABC）
A．在相等时间内，动量的变化相同
B．在任何时间内，动量的变化方向都在竖直方向
C．在任何时间内，动量对时间的变化率相同
D．在刚抛出的瞬间，动量对时间的变化率为零
【解析】对于平抛运动，其速度的变化量是由重力引起的，方向总是竖直向下，则动量的变化量方向也是竖直向下的；在相等时间内，速度变化量的大小和方向都是相同的（△v=△vy=g△t），因此，动量的变化也是相同的。
由F合=△p/△t知，动量对时间的变化率即物体受到的合外力，平抛过程受到的力只有重力。
【例题5】物体以初速度v0滑上光滑足够长的斜面，又沿原斜面滑下，回到出发点。
在向上滑和向下滑的两个过程中，相同的物理量有（ABCD）
A．物体的加速度B．物体运动的时间
C．物体机械能的变化量D．物体动量的变化量
【解析】物体在上滑和下滑的过程中，受力情况一样，都受到重力和支持力的作用。
如图4所示。
因此，加速度相同（大小为a=gsinθ，方向沿斜面向下）。
由运动的对称性可知，上滑和下滑过程的时间是相同的。
上滑和下滑过程的机械能都是守恒的，因此机械能的变化量△E=0。
对于上滑和下滑过程的动量变化量。
从△p的正负来看。
如图1和图2，上滑和下滑过程都以向上为正，对上滑过程，有△p=0–mv0=-mv0，动量变化量的大小为mv0，方向与正方向相反，即沿着斜面向下，如图1所示。
同理算出下滑过程中△p的大小也是mv0，方向也是沿着斜面向下，如图2所示。
实际上，即使对下滑过程，以向下为正方向，△p也是一样的，如图3。
说明p与正方向的选取有关，但△p与正方向的选取无关。
从F合的方向来看。
上滑和下滑过程中的合外力方向都是沿着斜面向下，大小都是mgsinθ，因此动量的变化量相同。
三、冲量和功
【例题6】如图，一恒力F与水平方向夹角为θ，作用在置于光滑水平面质量为m的物体上，作用时间为t，则力F的冲量为（A）
A．FtB．mgt
C．FcosθtD．（mg–Fsinθ）t
【解析】力的冲量是力与力的作用时间的乘积，方向即力的方向，表达式I=Ft。
力F的方向斜向上，则力F的冲量也是斜向上，大小为Ft。
【说明】本题容易错选C，即把F分解到水平方向上，混淆了冲量和功。
实际上这里的Fcosθt是合冲量（物体所受的合外力为Fcosθ），这个合冲量决定了物体动量的变化量。
也可以理解为，Fcosθt是力F的冲量在水平方向上的分量。
【例题7】一质量为1kg的物体，从倾角300的光滑斜面上的高为0.8m处，由静止开始下滑。
求：
（1）物体滑到斜面底端时的动量；
（2）物体滑到斜面底端时的动能；
（3）下滑过程中各个力对物体的冲量；
（4）下滑过程中各个力对物体做的功。
【解析】
（1）设物体滑动斜面底端时的速度为v，如图。
由动能定理得
mgh=mv2/2-0解得：
v=4m/s
因此，物体在斜面底端时的动量p=mv=4kg·m/s，方向沿斜面向下。
（2）由动能定理得，物体在斜面底端时的动能为Ek=mv2/2=mgh=8J。
（3）物体沿斜面下滑做匀加速直线运动，a=gsin300=5m/s2。
由运动学公式得：
h/sin300=at2/2，代入数据解得：
t=0.8s。
物体在下滑过程中受到两个力：
重力G和支持力FN，则两个力的冲量分别为
IG=mgt=8N·s；IFN=FNt=mgcos300t=N·s。
（4）WG=mgh=8J；WFN=0。
【说明】动量定理中的冲量为合外力的冲量，如图。
物体下滑过程中重力的冲量和支持力的冲量的矢量和，正好沿着斜面向下，其矢量和的大小等于物体动量的变化量。
四、动量定理和动能定理
【例题8】质量是40kg的铁锤从5m高处自由落下，打在水泥桩上，在0.05s撞击时间内，铁锤速度减为0。
求撞击时铁锤对水泥桩的平均冲击力多大？
并尝试解释一下为什么铺地砖时用来敲打地砖的锤子使用橡胶锤而不用铁锤。
【解析】以铁锤为研究对象，设铁锤落到水泥桩上，撞击水泥桩前的速度为v，撞击后的速度为v/，以初速度方向（向下）为正，则有
，因此p=mv=400kg·m/s，p/=0
在铁锤撞击水泥桩时，铁锤受到重力和水泥桩的撞击力作用，由动量定理得
I=（mg–F）t=△p代入数据解得：
F=8400N
由牛顿第三定律得，铁锤对水泥桩的平均冲击力F/=F=8400N.
敲打地砖的锤子使用橡胶锤是为了延长作用时间而减小撞击力。
【例题9】某消防员从一平台上跳下，下落2m后双脚着地，接着他用双腿弯屈的方法缓冲，使自身重心又下降了0.5m。
在着地过程中地面对他双脚的平均作用力估计为自身所受重力的（B）
A．2倍B．5倍C．8倍D．10倍
【解析】消防员跳下到着地的过程看做自由落体运动，双脚着地时（双腿弯屈前），其速度设为v，由运动学公式得v2=2gH①
双腿着地后弯屈使得重心下降h=0.5m的过程中，消防员受到向下的重力mg和向上的地面对脚的作用力FN作用，由动能定理得：
（mg-FN）h=0–mv2/2②
①②结合，解得：
FN=5mg。
【例题10】在光滑水平面上，原来静止的物体在水平力F的作用下，经过时间t，通过位移l后，动量变为p，动能变为EK，下列说法正确的是（BD）
A．在F的作用下，这个物体若经过位移2l，其动量将等于2p
B．在F的作用下，这个物体若经过时间2t，其动量将等于2p
C．在F的作用下，这个物体若经过时间2t，其动能将等于2EK
D．在F的作用下，这个物体若经过位移2l，其动能将等于2EK
【解析】由动量定理得Ft=p-0=p，当F不变，时间变为2t，则动量变为2p；
由动能定理得Fl=EK-0=EK，当F不变，位移变为2l，则动能变为2EK。
三、动量守恒定律
一、单个物体和两个物体的动量
1．对单个物体（地面光滑）
小球以v做匀速直线运动——动量不变；碰撞后，小球反弹——动量变化。
引起小球动量变化的原因——小球受到外力的作用。
结论：
对单个物体，动量不变的条件是物体不受外力作用，保持原来状态不变。
2．对两个物体（系统）
碰撞后，A、B各自的动量发生了变化，但A、B组成的系统总动量没有变化。
二、课后习题引入系统动量守恒
【习题】甲、乙两人静止在光滑的冰面上，甲推了乙一下，结果两人向相反方向滑去。
在甲推乙之前，他们的总动量为0；甲推乙后，他们都有了动量，总动量还等于0吗？
已知甲的质量为45kg，乙的质量为50kg，甲的速率与乙的速率之比是多大？
【解析】设甲和乙的相互作用力为F，相互作用时间为t。
甲受的力F的冲量引起甲的动量变化，有
Ft=m甲v甲-0
同理，对乙有Ft=m乙v乙-0
两式结合，解得v甲：
v乙=m乙：
m甲=50：
45=10：
9
【说明】以甲或乙为研究对象，在推的瞬间，有合外力（相互作用力F）的作用，因此，运动状态发生了变化，对应的力F的冲量引起的动量的变化。
但甲和乙的初始动量都为0，合动量为0；末状态的动量等大反向，其合动量也为0。
这说明，如果以甲和乙组成的系统作为研究对象，系统的动量是守恒的。
这是因为，甲和乙的相互作用力对系统而言是内力，不改变系统的动量。
三、几个概念
系统——相互作用的几个物体所组成的物体系叫做系统。
内力——系统内各物体之间的相互作用力叫做内力。
外力——外部其他物体对系统的作用力叫作外力。
四、推导（教科书的做法）
【情境】如图，在水平桌面上做匀速直线运动的两个小球，质量分别为m1和m2，沿着同一条直线同向运动，速度分别为v1和v2，且v2>v1。
当2球与1球发生碰撞后，1球和2球的速度分别为v1/和v2/。
碰撞过程中1球受到作用力为F1，2球受到的作用力为F2。
【推导】由牛顿第二定律得，碰撞过程中1、2两球的加速度分别为
a1=F1/m1，a2=F2/m2
由牛顿第三定律得，F1=-F2
因此有m1a1=-m2a2
两球碰撞的时间为△t，则两球碰撞过程中的加速度分别为
a1=（v1/-v1）/△t，a2=（v2/-v2）/△t
代入m1a1=-m2a2整理后得m1v1+m2v2=m1v1/+m2v2/
【结论】两球碰撞前的动量之和等于碰撞后的动量之和。
五、推导（牛顿第三定律+动量定理）
【情境】如图，光滑水平面上，两个小球做同向的匀速直线运动，质量分别是m1和m2，速度分别是v1和v2，且v1＞v2，两小球碰撞后的速度分别是v1/和v2/，设碰撞过程中1球和2球所受的平均作用力分别是F1和F2，力的作用时间为t。
F1
F2
v2/
m2
v1/
m1
v2
m2
v1
m1
【推导】由牛顿第三定律得：
F1=-F2
由动量定理得：
所以
即=
移项得或
【结论】碰撞前后，系统的总动量保持不变。
六、动量守恒定律
系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变。
（1），即p1+p2=p1/+p2/，
（2）Δp1+Δp2=0，Δp1=-Δp2
七、动量守恒的条件
（1）系统不受外力。
（2）系统虽然受到了外力的作用，但所受合外力为零。
例如：
光滑水平面上两物体的碰撞，两物体所受的重力和支持力的合力为零。
（3）系统所受的外力远远小于系统内各物体间的内力。
F内＞＞F外
例如：
抛出去的手榴弹在空中爆炸的瞬间，火药的内力远大于其重力，重力完全可以忽略不计，动量近似守恒。
（4）系统的总动量不守恒，但系统在某一方向上所受的合外力为零。
例如：
图示斜面体A置于光滑的水平面上，滑块B从斜面体A的顶部由静止滑下。
竖直方向动量不守恒，水平方向动量守恒。
四、动量守恒定律习题课
一、系统的选择
1．在光滑的水平面上有一辆平板车，一个人站在车上用大锤敲打车的左端。
在连续敲打下，这辆车能持续向右运动吗？
说明理由。
【解析】将大锤、人和车作为系统，初态的总动量为0。
由于大锤举起和敲打过程中，只有系统内力作用，没有外力，满足系统动量守恒。
因此，当大锤举起过程中，具有向左的动量，那么人和车要具有向右的动量，才能保证总动量为0。
但是，当大锤敲打的过程中，大锤具有向右的动量，则人和车具有向左的动量。
因此，用大锤敲打车的左端，只能让车左右晃荡，但不能让车持续向右运动。
2．如图所示，具有一定质量的小球固定在轻杆一端，轻杆可绕支架旋转。
用手将小球拉到水平位置，此时小车静止于光滑水平面上。
放手让小球摆下与A处固定的油泥碰击后粘在一起，则小车此后将。
（填“向右运动”、“向左运动”、“静止”或“左右振动”）
3．某机车以0.8m/s的速度驶向停在铁轨上的15节车厢，与它们对接。
机车与第一节车厢相碰后，他们连在一起具有一个共同的速度，紧接着又与第二节车厢相碰，就这样，直至碰到最后一节车厢。
设机车和车厢的质量都相等，求：
与最后一节车厢相碰后车厢的速度。
铁轨的摩擦忽略不计。
【解析】如图所示，当机车和1车厢相撞时，系统动量守恒，有mv=（m+m）v1
然后机车和1车厢作为一个整体再与2车厢相撞，系统动量守恒，有
（m+m）v1=（m+m+m）v2
……
以此类推，我们得到mv=（m+15m）v15
解得v15=v/16=0.05m/s。
二、动量守恒的矢量性
1．A、B两球相向运动，发生正碰，碰撞后A球的运动方向没有变化，而B球运动方向相反，则关于这一现象的解释正确的是（B）
A．碰撞时A球对B球的作用力大小大于B球对A球的作用力大小
B．碰撞前A球的动量大小大于B球的动量大小
C．碰撞前A球的速度大小大于B球的速度大小
D．碰撞前A球的动能大于B球的动能
【解析】设碰前A、B的动量大小分别为pA、pB，以A运动方向为正，则系统总动量为p=pA–pB。
碰后A的动量pA/和B的动量pB/都是与正方向相同，因此，有p/=pA/+pB/。
由pA–pB=pA/+pB/>0得，pA>pB。
2．质量相同的两木块从同一高度同时开始自由下落，至某一位置时A被水平飞来的子弹击中（未穿出），则A、B两木块的落地时间tA、tB相比较，可能（B）
A．tA=tBB．tA>tB
C．tA【解析】如图所示，当A、B下落到某一位置时，具有相同的速度vA=vB，方向向下。
当子弹以速度v水平射入木块A中，水平方向动量守恒，竖直方向动量也守恒。
对竖直方向，有mAvA=（m+mA）vA/
因此vA/【说明】本题中子弹击中A而未穿出，作为一个整体，使得整体竖直速度减小。
若子弹穿出的话，则不影响A的竖直速度，A下落的时间不变。
3．如图所示，在光滑水平面上有A、B两小球沿同一条直线向右运动，并发生对心碰撞．设向右为正方向，碰前A、B两球动量分别是pA＝10kgm/s，pB=15kgm/s，碰后动量变化可能是（B）
A
B
A．ΔpA＝5kg·m/sΔpB＝5kg·m/s
B．ΔpA＝－5kg·m/sΔpB＝5kg·m/s
C．ΔpA＝5kg·m/sΔpB＝－5kg·m/s
D．ΔpA＝－20kg·m/sΔpB＝20kg·m/s
【解析】A选项的动量不守恒；C选项中B的动量不可能减少，因为是A碰B；D选项中要出现ΔpA＝－20kg·m/s，只有B不动或向左运动才有可能出现。
三、状态和过程的分析（模型：
加速减速至共速）
1．A、B两个粒子都带正电，B的电荷量是A的2倍，B的质量是A的4倍。
A以速度v向静止的B飞去，由于库仑力作用，它们之间的距离缩短到一定极限后又被弹开，然后各自以新的速度做匀速直线运动。
设作用前后它们的轨迹都在同一直线上，请在以上提供的信息中选择有用的已知条件，计算当A、B间距最近时它们各自的速度。
【解析】如图所示，类似一个追击问题。
当A、B的速度相等时，即间距最小的时刻，设该时刻A、B的速度都为v/。
由动量守恒定律得：
mAv=（mA+mB）v/，又mB=4mA
所以v/=v/5。
2．如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可视作质点，质量相等．Q与轻质弹簧相连．设Q静止，P以某一初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞．在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于（B）
A．P的初动能B．P的初动能的1/2
C．P的初动能的1/3D．P的初动能的1/4
【解析】设P的初速度为v0，P、Q通过弹簧发生碰撞，当两滑块速度相等时，弹簧压缩到最短，弹性势能最大，设此时共同速度为v，对P、Q（包括弹簧）组成的系统，由动量守恒定律，有mv0=2mv①
由机械能守恒定律，有Epmax=mv02/2–2mv2/2②
①②两式联立，解得
3．传送带以V0=2m/s的水平速度，把质量为m=20kg行李包送到原来静止在光滑水平轨道上的质量为M=30kg的长木板上。
如果行李包与长木板之间的动摩擦因数为0.4，取g＝10m/s2，求：
（1）行李包在长木板上滑行多长时间才能与小车保持相对静止？
（2）长木板至少多长才能使行李包不致滑出车外？
【解析】当行李包滑上木板上之后，在摩擦力作用下，行李包匀减速运动，木板匀加速运动，最后达到共同速度V。
对行李包和长木板组成的系统，满足动量守恒条件，由动量守恒定律得
mV0=（M+m）V，解得：
V=0.8m/s。
（1）对行李包，f=µmg，加速度大小a=µg=4m/s2
由运动学公式，解得t=（V0–V）/a=0.3s。
（2）设木板滑动距离S1，行李包滑动距离S2，木板长度L，则有L=S2－S1
对行李包S2=（V+V0）t/2=0.42m；对长木板S1=Vt/2=0.12m。
则木板最小长度L=S2－S1=0.3m
【说明】这三道例题说明了同样的一个模型，即两个物体的复杂运动与状态的具有加速减速至共速的特征。
对系统而言，其内力分别是库仑力、弹簧弹力和摩擦力。
四、多过程的动量和能量
1．细线下面吊着一个质量为m1的沙袋，构成一个单摆，摆长为l。
一颗质量为m的子弹水平射入沙袋并留在沙袋中，随着沙袋一起摆动。
已知沙袋摆动时摆线的最大偏角为θ，求子弹射入沙袋前的速度。
【解析】第一阶段，子弹与沙袋的瞬间碰撞过程。
该过程作用时间极短，相互作用力很大，可认为系统动量守恒，但机械能不守恒，有部分动能转化为内能。
mv=（m+m1）v/
第二解得，子弹与沙袋作为一个整体向上摆动。
该过程系统受到了外力（重力和绳拉力）的作用，系统动量不守恒，要减少，但机械能守恒。
两式结合，解得
2．图示装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。
将子弹、木块和弹簧作为研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中（B）
A．动量守恒、机械能守恒
B．动量不守恒、机械能不守恒
C．动量守恒、机械能不守恒
D．动量不守恒、机械能守恒
【解析】以子弹、木块和弹簧作为系统，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短时，弹簧固定端墙壁对弹簧有外力作用，因此动量不守恒。
子弹射入木块时，存在剧烈摩擦作用，有一部分能量将转化为内能，机械能也不守恒。
在子弹射入木块的一瞬间，子弹与木块组成的系统其动量守恒（此瞬间弹簧尚未形变）。
子弹射入木块后木块压缩弹簧过程中，机械能守恒，但动量不守恒。
五、动量守恒定律的应用-碰撞
【例题1】（教科书P17）：
甲、乙两个物体沿同一直线相向运动，甲的速度为6m/s，乙的速度为2m/s。
碰撞后两物体都沿各自原方向的反方向运动，速度都是4m/s。
求甲、乙两物体的质量之比。
【解析】如图，由动量守恒定律得：
m1v1＋m2v2＝m1v1/＋m2v2/
代入数据得：
m1×6+m2×（-2）=m1×（-4）+m2×4
解得：
m1：
m2=3：
5
【说明】设甲的质量m1=3kg，乙的质量m2=5kg。
分别求出碰撞前后的系统总动能。
可见，碰撞前后系统的总动能没变化，即机械能不损失。
这种碰撞叫弹性碰撞，其特征为：
动量守恒，机械能也守恒。
【例题2】（教科书P16）：
A、B两个物体在同一直线上沿同一方向运动，A的质量是5kg，速度是9m/s，B的质量是2kg，速度是6m/s。
A从后面追上B，相互作用一段时间后，B的速度增大为10m/s，方向不变，这时A的速度是多大？
方向如何？
以上过程中除A、B间的相互作用力外，其他的力可以忽略。
【解析】如图，由动量守恒定律得：
m1v1＋m2v2＝m1v1/＋m2v2/
代入数据得：
5×9+2×6=5v1/+2×10
解得：
v1/=7.4m/s，方向与原方向相同。
【说明】分别求出碰撞前后的系统总动能。
可见，碰撞前后系统的总动能减少了，即机械能有损失。
这种碰撞叫非弹性碰撞，其特征为：
动量守恒，机械能不守恒。
【例题3】（作业题）：
A、B两球沿同一条直线运动，如图所示x–t图象记录了碰撞前后的运动情况。
若A球的质量为1kg，试计算B的质量。
【解析】如图，由动量守恒定律得：
m1v1＋m2v2＝（m1＋m2）v/
代入数据得：
1×（-3）+mB×2=（1+mB）×（-1）
解得：
mB=2/3kg
【说明】分别计算碰撞前后系统的总动能。
可见，碰撞前后系统的总动能减小是了，即机械能有损失，而且损失较多。
这种碰撞叫完全非弹性碰撞，其特征为：
动量守恒，机械能不守恒，机械能损失最大，碰撞后成为一个物体。
一、碰撞
物体间相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大的现象。
在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，可用动量守恒定律处理碰撞问题。
中学物理只研究碰撞前后物体的动量在一条直线上的情况（正碰）。
二、弹性碰撞、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞
弹性碰撞是没有机械能的损失的，物体在碰撞过程中发生的形变完全恢复，不存在势能的储存，物体系统碰撞前后的总动能相等。
非弹性碰撞是有机械能的损失的。
完全非弹性碰撞：
两物体碰后粘合在一起，发生的形变不恢复，这种碰撞动能损失最多。
三、弹性碰撞的理论推导
设两小球质量分别为m1、m2，碰撞前后速度为v1、v2、v1/、v2/，碰撞过程无机械能损失，求碰后二者的速度。
根据
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