小学奥数知识点归纳和总结.docx
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小学奥数知识点归纳和总结
小学奥数知识点归纳和总结
二年级奥数知识点分类：
一、运算符号类
二、规律填数类
三、规律画图类
四、年龄问题类
五、间隔问题类（含植树问题及智力计数）
六、周期问题类
七、有序思考类
八、时钟问题类
九、推理及思维训练类（包含算式类）
十、和差问题类
十一、和倍问题类
十二、差倍问题类
十三、一笔画类
十四、移动变换类
十五、智力趣味类（包含巧切西瓜）
十六、鸡兔同笼类
十七、盈亏问题类
十八、应用类（含数量关系、重叠问题、）
三年级奥数知识点分类：
一、计算类
计算是数学学习的基本知识，也是学好奥数的基础。
能否又快又准的算出答案，是历年数学竞赛考察的一个基本点。
三年级的计算包括：
速算与巧算、数列规律、数列求和、等差数列的和等。
二、应用题类
从三年级起，大量的奥数专题知识都是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。
学生们一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。
（1）和倍、差倍问题：
用线段标识等方法揭示这两类问题中各种数量关系， 和倍问题：
小数=和÷（倍数+1）。
三、 差倍问题：
小数=差÷（倍数-1）
（2）年龄问题：
教授解决年龄问题的主要方法：
和倍、差倍方法;画图线段标示法。
（3）盈亏问题：
介绍盈亏问题的主要形式 （双盈、双亏、一盈一亏）
分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。
（4）植树问题：
总长、株距、棵树三要素之间的数量关系：
总长=株距×段数， 封闭图形：
棵数=段数 不封闭图形：
两头都栽：
棵数=段数+1 两头都不栽：
棵数=段数-1 一头栽一头不栽：
棵数=段数
（5）鸡兔同笼问题：
介绍鸡兔同笼问题的由来和主要形式， 揭示鸡兔同笼问题中的数量关系， 假设法
（6）行程问题：
相遇问题、追及问题等， 相遇时间=总路程÷速度和， 追及时间=距离÷速度差。
（7）周期问题
（8）还原问题
（9）归一问题
（10）体育比赛中的数学、趣题巧解 几何类
三年级学校的学习中就会涉及到一些简单的图形求周长和面积了，那么在奥数中图形问题涉及到的是巧求周长、巧求矩形面积 数论类
现在三年级也开始涉及到了数论了，是比较简单的能被2、3、5整除的性质、奇数和偶数、余数与周期问题。
四年级奥数知识点分类：
1.圆周率常取数据
3.14×1＝3.14
3.14×2＝6.28
3.14×3＝9.42
3.14×4＝12.56
3.14×5＝15.7
3.15×6＝18.84
3.14×7＝21.98
3.14×8＝25.12
3.14×9＝28.26
2.常用特殊数的乘积
125×8＝1000
25×4＝100
125×3＝375
625×16＝10000
7×11×13＝1001
25×8＝200
125×4＝500
37×3=111
3.100内质数：
2357111317192329313741434753596167717379838997
4.单位换算：
1米=3尺=3.2808英尺=1.0926码
1公里=1000米=2里
1码=3英尺=36英寸
1海里=1852米=3.704里=1.15英里
1平方公里=1000000平方米=100公顷=4平方里=0.3861平方英里
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1公顷=100公亩=15亩=2.4711英亩
1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米
1立方米=27立方尺=1.308立方码=35.3147立方英尺
1吨=1000公斤=1000千克
1公斤=1000克=2斤（市制）=2.2046磅
5.加减法运算性质：
同级运算时，如果交换数的位置，应注意符号搬家。
加、去括号时要注意以下几点：
括号前面是加号，去掉括号不变号；加号后面添括号，括号里面不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号；减号后面添括号，括号里面要变号。
6.乘除法运算性质
乘法中性质：
（1）乘法交换律
（2）乘法结合律（3）乘法分配律（4）乘法性质（5）积的变化规律：
一扩一缩法。
除法中性质：
当被除数为几个数字之和或者差时才可以用除法分配律积的变化规律：
同扩同缩法。
同级运算时，如果有交换数的位置，应该注意符号搬家。
加、去括号时注意以下几点：
括号前面是乘号，去掉或加上括号不变号；括号前面是除号，去掉或加上括号要变号；
7.等差数列
数列是指按一定规律顺序排列成一列数。
如果一个数列中从第二个数开始，相邻两个数的差都相等，我们就把这样的一列数叫做等差数列，等差数列中的每一个数都叫做项，第一个数叫第一项，通常也叫“首项”，第二个数叫第二项，第三个数叫第三项……最后一项叫做“末项”。
等差数列中相邻两项的差叫做“公差”，等差数列中项的个数叫做“项数”。
公式：
和=（首项+末项）×项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1第n项=首项+（n-1）×公差
8.和倍问题
己知几个数的和及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题叫和倍问题。
解答和倍问题，一般是先确定较小的数为标准数（或称一倍数），再根据其他几个数与较小数的倍数关系，确定总和相当于标准数的多少倍，然后用除法求出标准数，再求出其他各数，最好采用画线段图的方法。
和倍公式：
和÷（倍数＋1）=小数
9.差倍问题
己知两个数的差及它们之间的倍数关系，求这两个数的应用题叫差倍问题。
解答差倍问题，一般以较小数作为标准数（一倍数），再根据大小两数之间的倍数关系，确定差是标准数的多少倍，然后用除法先求出较小数，再求出较大数。
解答这类问题，先画线段图，帮助分析数量关系。
差倍公式：
差÷（倍数－1）=小数
10.和差问题
和差问题是根据大小两个数的和与两个数的差求大小两个数各是多少的应用题。
解答和差问题的基本公式是：
（和－差）÷2=较小数（和＋差）÷2=较大数九、
11.年龄问题
己知两个人或几个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系；或己知某些人年龄之间的数量关系，求他们的年龄等，这种题称为年龄问题。
年龄问题的特点是：
一般用和差或者和倍问题的方法解答。
（1）两人的年龄之差是不变的，称为定差。
（2）两个人的年龄同时都增加同样的数量。
（3）两个年龄之间的倍数关系，随着年龄的增长，也在发生变化。
年龄问题的解题方法是：
几年后=大小年龄之差÷倍数差－小年龄几年前=小年龄－大小年龄差÷倍数差
12.平均数
求平均数必须知道总数和份数，常用公式：
平均数=总数÷份数总数=平均数×份数份数=总数÷平均数相遇问题行程问题又分为相遇问题、
13.相遇与追及问题
路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间。
相遇问题它的特点是两个运动物体或人，同时或不同时从两地相向而行，或同时同地相背而行，要解答相遇问题，掌握以下数量关系：
速度和×相遇时间=路程 路程÷速度和=相遇时间 速度÷相遇时间=速度和
追及问题运动的物体或人同向而不同时出发，后出发的速度快，经过一段时间追上先出发的，这样的问题叫做追及问题，解答追及问题的基本条件是“追及路程”和“速度差”。
追及问题的基本数量关系是：
追及时间=追及路程÷速度差 追及路程=速度差×追及时间 速度差=追及路程÷追及时间
14.行船问题
船在江河里航行，前进的速度与水流动的速度有关系。
船在流水中行 程问题，叫做行船问题（也叫流水问题），船顺流而下的速度和逆流而上的速度与船速、水速的关系是：
顺水速度=船速＋水速逆水速度=船速－水速
由于顺水速度 是船速与水速的和，逆水速度是船速与水速的差，因此行船问题就是和差问题，所以解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系。
船速=（顺水速度＋逆水速 度）÷2 水速=（顺水速度－逆水速度）÷2
因为行船问题也是行程问题，所以在行船问题中也反映了行程问题的路程、速度与时间的关系。
顺水路程=顺水速度×时间逆水路程=逆水速 度×时间
15.过桥问题
过桥问题的一般数量关系是：
路程=桥长＋车长车速=（桥长＋车 长）÷通过时间通过时间=（桥长＋车长）÷车速车长=车速×通过时间－桥长桥长=车速×通过时间－车长
16.植树问题
在首尾不相接的路线上植树，段数与棵数关系可分为三类：
（1）两 端都种树 段数=棵数－1
（2）一端种一端不种 段数=棵数（3）两端都不种段数=棵数＋1（4） 在首尾相接的路线上种树（如圆、正方形、闭合曲线等）段数=棵数
17.还原问题
还原问题又叫逆推问题。
己知一个数的结果，再经过逆运算反求原 数，叫做还原问题。
解决这类题要从结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算（即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘）。
18.方阵问题
很多的人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），再根据己知条件 求总人数，这类题叫方阵问题。
在解决方阵问题时，要搞清方阵中一些量（如层数，最外层人数，最里层人数，总人数）之间的关系。
方阵问题的基本特点是：
（1）方阵不管在哪一层，每边的人数都相同，每向里面一层，每边上的人数减少2，每一层就少8。
（2）每层人数=（每边人数－1）×4
（3）每边人数=每层人数÷4＋1
（4）实心方阵人数=每边人数×每边人数
19.幻方与数阵
幻方的特点：
一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相 等。
这相相等的和叫“幻和”。
两种方法：
奇阶：
1、九子排列法2、罗伯法，3、巴舍法。
偶阶：
1、对称交换法2、圆心方阵法。
数阵有三种基本类型：
（1） 封闭型，
（2）辐射型（3）综合型解数阵问题一般思路是从和相等入手，确定重处长使用的中心数，是解答解数阵类型题的解题关键。
一般答案不唯一。
20.奇数与偶数
加法：
偶数＋偶数=偶数奇数＋奇数=偶数偶数＋奇数=奇数
减法：
偶数－偶数=偶数奇数－奇数=偶数偶数－奇数=奇数
乘法：
偶数×偶数=偶数奇数×奇数=奇数偶数×奇数=偶数盈亏问题解
21.盈亏问题
通常是比较法和对应法结合使用。
公式是：
（同盈同亏用减法，一亏 一盈用加法）即：
两次分配结果差÷两次分配数差=人数
22.牛吃草问题
牛吃草问题涉及三种数量：
A.原有的草。
B.新长出的草。
C.牛 吃掉的草。
牛吃草问题解法一般分为三步：
一、求每天新生的草量；二、求原有草量；三、求出最终的问题。
（类似于行程问题中的追及问题）
23.还原问题
解题关键：
在从后往前推算的过程中，每一步都是做同原来相反的运 算，原来加的，运算时用减；原来减的，运算时用加；原来乘的，运算时用除；原来除的，运算时用乘。
24.假设问题
假设法是解答应用题时经常用到的一种方法。
所谓“假设法”就是依 据题目中的己知条件或结论作出某种设想，然后按照己知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，再适当调整，从而找到正确答案。
25.余数问题
一个带余数除法算式包含4个数：
被除数÷除数=商„„余数。
它们 的关系也可表示为：
被除数=除数×商＋余数，或（被除数－余数）÷除数=商。
26.一笔画和多笔画
（1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画时可以任一 偶点为起点，最后能以这个点为终点画完此图。
（2）凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另 一个奇点为终点。
（3）多 笔画定理 有2n（n＞1）个奇点的连通图形，可以用n笔画完（彼此无公共线），而且至少要n次画完.
27.抽屉原理
抽屉原则一：
把n+1（或更多）个苹果放到n个抽屉里，那么至少 有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。
抽屉原则二：
把（m×n+1）个（或更多个）苹果放进n个抽屉里，必须一个抽屉里有（m+1）个（或 更多的）苹果。
说明：
应用 抽屉原则解题，要从最坏的情况去思考
28.分解因式把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。
一个自然数 的约数的个数，恰为各个质因数的指数加1后的乘积。
一个数的完全平方数，各个质因数的个数，恰好是平方前这个数各个质因数个数的2倍。
一个完全平方数各个 质因数的个数都是偶数。
29.最大公约数与最小公倍数
求两个数的最大公约数一般有三种方法：
（1）分解质因数法
（2） 短除法（3）辗转相除法
30.分数的比较
分母相同的分数比较大小，分子大的分数比较大。
分子相同的分数比 较大小，分母大的分数反而小。
分子和分母都不相同的分数比较大小，可以把它们转化成分母相同的分数比较大小；也可以把它们转化成分子相同的分数比较大小。
性质：
1.一个真分数的分子和分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数大。
2.一个真分数的分子、分母都减去同一个自然数（这个自然数小于真分数的分子），所得的新分数比原分数小。
3.一个假分数的分子、分母都减去同一个自然数（这个自然数小于假分数分母），所得的新分数比原分数大。
4.一个假分数的分子、分母都加上同一个自然数，所得的新分数比原分数小。
31.剪纸问题
公式：
2对折后剪的次数+1=段数。
32.最大最小
1、解答最大最小的问题，可以进行枚举比较。
在有限的情况下，通过计算，将所有情况的结果列举出来， 然后比较出最大值或最小值。
2、运用规律。
（1）两个数的和一定，则它们的差越接近，乘积越大；当它们相等（差为0）时，乘积最大。
3、考虑极 端情况。
如“连接两点间的线段最短”、“作对称点”、“联系实际考虑问题”等。
33.比较大小
估算最常用的技巧是“放大缩小”，即先对某个数或算式进行适当的 “放大”或“缩小”，确定它的取值范围，再根据其他条件得出结果，调整放缩幅度的方法有两条：
一是分组（分段），并尽可能使每组所对应的标准相同；另一种 方法是按近似数乘除法计算法则，比要求的精确度多保留一位，进行计算。
34.钟表问题
解答钟表问题，我们首先想办法把有些能转化成相遇或追及问题的转 化为相遇或追及问题来解答。
需记住以下常用数据：
钟表上有12大格，60小格，每大格30度，每小格6度。
，分针每分钟走：
6度；时针每分钟走：
0.5 度；速度差：
5.5度 2解答钟表上的时间快慢问题，关键是抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段内含多少个单位时间，就可以求出这一时间段内的误差。
35.分数应用题的计算
解答较复杂的分数应用题，一定要找准单位“1”，如果单位“1” 的量是变化的，就要从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位“1”，将己知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。
2还可以借助线段图来帮助理解题意，列式解答。
3对较复杂的分数应用题，还可以列方程来解答。
36.利润问题
解答利润问题你必须理解以下的关系式。
（1）利润=卖价－成本
（2）利润的百分数=（卖价－成本）÷成本×100﹪
（3）卖价=成本×（1＋利润率）
（4）成本=卖价÷（1＋利润率）
（5）折扣＝实际售价÷原售价×100%（折扣＜1）
（6） 利息＝本金×利率×时间
（7） 税后利息＝本金×利率×时间×（1－20%）
37.浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量 ×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量
五年级奥数知识点分类：
1.和差倍问题
和差问题和倍问题差倍问题
已知条件：
几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数
公式适用范围：
已知两个数的和，差，倍数关系
公式：
①（和-差）÷2=较小数较小数+差=较大数和-较小数=较大数
②（和+差）÷2=较大数较大数-差=较小数和-较大数=较小数
和÷（倍数+1）=小数小数×倍数=大数和-小数=大数
差÷（倍数-1）=小数小数×倍数=大数小数+差=大数
关键问题：
求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数
2.年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的;
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
3.归一问题的基本特点：
问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：
根据题目中的条件确定并求出单一量;
4.植树问题
基本类型：
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树
基本公式：
棵数=段数+1
棵距×段数=总长棵数=段数-1
棵距×段数=总长棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题：
确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
5.鸡兔同笼问题
基本概念：
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来;
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：
鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：
兔数=（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：
找出总量的差与单位量的差。
6.盈亏问题
基本概念：
一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：
按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。
基本思路：
先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。
基本题型：
①一次有余数，另一次不足;
基本公式：
总份数=（余数+不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式：
总份数=（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式：
总份数=（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：
对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：
确定对象总量和总的组数。
7.牛吃草问题
基本思路：
假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：
原草量和新草生长速度是不变的;
关键问题：
确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）;
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
8.周期循环与数表规律
周期现象：
事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：
确定循环周期。
闰年：
一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除;
平年：
一年有365天。
①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除，但不能被400整除;
基本公式：
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算。
②基准数法：
根据给出的数之间的关系，确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。
10.抽屉原理
抽屉原则一：
如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：
把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
14=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：
如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n》m，那么必有一个抽屉至少有：
①k=［n/m］+1个物体：
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：
当n能被m整除时。
理解知识点：
［X］表示不超过X的最大整数。
例［4.351］=4;［0.321］=0;［2.9999］=2;
关键问题：
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算
11.定义新运算
基本概念：
定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：
严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
2个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12.等差数列：
在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：
首项：
等差数列的第一个数，一般用a1表示;
项数：
等差数列的所有数的个数，一般用n表示;
公差：
数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;
通项：
表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;
数列的和：
这一数列全部数字的和，一般用Sn表示。
基本思路：
等差数列中涉及五个量：
a1，an，d，n，sn，，通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：
通项公式：
an=a1+（n-1）d;
通项=首项+（项数一1）×公差;
数列和公式：
sn，=（a1+an）×n÷2;
数列和=（首项+末项）×项数÷2;
项数公式：
n=（an+a1）÷d+1;
项数=（末项-首项）÷公差+1;
公差公式：
d=（an-a1））÷（n-1）;
公差=（末项-首项）÷（项数-1）;
关键问题：
确定已知量和未知量，确定使用的公式;
13.二进制及其应用
十进制：
用0～9十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。
所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意：
N0=1;N1=N（其中N是任意自然数）
二进制：
用0～1两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意：
An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
14.加法乘法原理和几何计数
加法原理：
如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m
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