沪教版八年级数学代数方程及其应用学生版.docx

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沪教版八年级数学代数方程及其应用学生版

初中数学备课组

教师郭亚琦

班级初二

学生

日期

上课时间

代数方程及其应用

（二）

知识精要

一、特殊的高次方程的解法

（1）二项方程

的解法

二项方程的定义：

如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。

关于x的一元n次二项方程的一般形式是

二项方程的解法及根的情况：

一般地，二项方程

可变形为

可见，解一元n次二项方程，可以转化为求一个已知数的n次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。

二项方程的根的情况：

对于二项方程

，

当n为奇数时，方程只有且只有一个实数根。

当n为偶数时，如果

，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果

，那么方程没有实数根。

（2）双二次方程的解法

双二次方程的定义：

只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。

关于x的双二次方程的一般形式是

双二次方程的解法：

可以用“换元法”解形如

的双二次方程。

就是用y代替方程中的x2，同时用y2代替x4，将方程转化为关于y的一元二次方程

ay2+by+c=0

解这个关于y的一元二次方程即可。

通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。

二、无理方程的解法

解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。

对有些特殊的无理方程，可以用“换元法”解。

解无理方程一定要验根！

1．只有一个含未知数根式的无理方程

当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。

2.有两个含未知数根式的无理方程

当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使一个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。

三、列方程（组）解应用题

列方程解应用题是初中代数的难点之一，主要涉及到行程问题中的追及、相遇问题，工程问题，浓度问题，存款利率问题，分配问题，数字问题等。

　1．列方程解应用题的一般步骤是：

（1）审题：

透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，以及它们之间的关系。

（2）设未知数：

根据题意，可直接设未知数，也可间接设未知数，未知数必须写明单位，语言叙述要完整。

（3）列代数式和方程：

根据题中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其他未知数，利用等量关系，列出方程或方程组，一般列方程的个数与所设未知数的个数相同。

　　（4）解方程或方程组应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的解。

　　（5）检验答案：

解应用题要检验有无增根，又要检验是否符合题意，最后做出符合题目要求的答案。

　　在这些步骤中，审题是解题的基础，列方程是解题的关键。

　　在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件：

（1）方程两边表示同类量；

（2）方程两边的同类量的单位一样；

　　（3）方程两边的数值相等。

热身练习

1.用换元法解方程

时，可设=y,这时原方程变为.

2.若a，b都是正实数，且

，则

.

3.若a+b=1，且a∶b=2∶5,则2a-b=.

4.某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（）

A．10%B.19%C.9.5%D.20%

5.某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，则标价为（）

A.26元B.27元C.28元D.29元

6.为了响应节水号召，小红家要使200m3的水比过去多用5个月，计划每月比过去少用水2m3，问小红家计划每月用多少水？

精解名题

例1：

只有一个含未知数根式的无理方程

（1）

（2）

例2.有两个含未知数根式的无理方程

当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使一个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。

解下列方程：

（1）

（2）

例3.适宜用换元法解的无理方程

如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来解。

解方程

解：

例4．列方程解应用题

1）.一般行程问题

某人驾车从A地到B地，出发2小时后，车子出了点毛病，耽搁半小时修好了车，为了弥补耽搁的时间，他将车速增加到原来的1.6倍，结果按时到达。

已知A、B两点的距离为100千米，求某人原来驾车的速度。

2）．航行问题

已知两城市之间的距离为2080千米，一架飞机飞行于这两城市之间，顺风飞行需要的时间比逆风飞行需要的时间少20分钟，已知飞机无风时的飞行速度为500千米／小时。

若风速为某一确定值，求出风的速度。

3）、工程问题

甲、乙两人共同打印文件，甲共打1800个字，乙共打2000个字，已知乙的工作效率比甲高25％，完成任务的时间比甲少5分钟，问甲、乙二人各花了多少时间完成任务？

4）．分配问题

将总长为400米的铁丝截成A、B两种长度的铁丝段，A种比B种每根长0.5米，如果先截40根A种的，剩余的部分截成B种的，则两种根数之和比把铁丝全部截成A种的多30根（以上截法恰好用完这400米铁丝），求A、B两种铁丝段每根的长度。

5）．数字问题

一个分数，如果分母加1，则分数等于1／11，如果分子加1，则分数等于1／7，求这个分数。

※6）.工程进度问题

某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的

，厂家需付甲、丙两队共5500元。

（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？

请说明理由。

巩固练习：

1.

2．A、B两地间的路程为15千米，早晨6时整，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10千米，问几点钟甲，乙两人同时到达B地？

自我测试

1.某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修

米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了天．

2.为了帮助四川地震灾区重建家园，某学校号召师生自愿捐款．第一次捐款总额为20000元，第二次捐款总额为56000元，已知第二次捐款人数是第一次的2倍，而且人均捐款额比第一次多20元．求第一次捐款的人数是多少？

若设第一次捐款的人数为

，则根据题意可列方程为．

3.在“5·12”汶川大地震的“抗震救灾”中，某部队接受了抢修映秀到汶川的“213”国道的任务．需要整修的路段长为4800m，为了加快抢修进度，获得抢救伤员的时间，该部队实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前2小时完成任务，求原计划每小时抢修的路线长度．

4.A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发，开往B地，2小时后，又从A地同方向开出一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地，求两种车的速度。

5．甲、乙两车同时从A地出发，经过C地去B地，已知C、B相距180千米，出发时，甲每小时比乙多行5千米，因此，乙经过C地比甲晚半小时，为赶上甲，乙从C地将车速每小时增加10千米，结果两车同时到达B，求两车出发时速度？

　6．甲乙两人分别从A、B两地同时同向出发，甲经过B地后，再经过3小时12分在C地追上乙，这时两人所走的路程和为36千米，而A、C两地的距离等于乙走5小时的路程，求A、B两地的距离？

7.金泉街道改建工程指挥部要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：

甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的

；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成。

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？

若不够用，需追加预算多少万元？

请给出你的判断并说明理由.