随机变量的数字特征讲解.ppt

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4.1数学期望4.2方差4.3协方差及相关系数4.4矩、协方差矩阵4.5条件期望4.6小结,第四章随机变量的数字特征,4.1数学期望,分赌本问题（17世纪）甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?

两种分法,1.按已赌局数分：

则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/32.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：

因为再赌两局必分胜负，共四种情况：

甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4,4.1.1数学期望的概念,若按已赌局数和再赌下去的“期望”分，则甲的所得X是一个可能取值为0或100的随机变量，其分布律为：

X0100,P1/43/4,甲的“期望”所得是：

01/4+1003/4=75.,4.1.2数学期望的定义,定义4.1.1设离散随机变量X的分布律为P（X=xn）=pn,n=1,2,.若级数,绝对收敛，则称该级数为X的,数学期望，记为,连续随机变量的数学期望,定义4.1.2设连续随机变量X的概率密度为f（x）,若积分,绝对收敛，则称该积分为X的,数学期望，又称为均值，记为,例4.1.1,则,E（X）=,10.2+00.1+10.4+20.3=0.8.,X1012,P0.20.10.40.3,数学期望简称为期望.数学期望是一种加权平均.权便是其分布律或概率密度；数学期望又称为均值.,注意点,4.1.3数学期望的性质,定理4.1.1设Y=g（X）是随机变量X的函数，若E（g（X）存在，则,多变量函数的数学期望,推论设Z=g（X,Y）是随机变量X与Y的函数，若E（g（X,Y）存在，则,例4.1.2设随机变量X的概率分布律为,求E（X2+2）.,=（02+2）1/2+（12+2）1/4+（22+2）1/4,=1+3/4+6/4=13/4,解:

E（X2+2）,X012,P1/21/41/4,数学期望的性质,

（1）E（c）=c,

（2）E（aX）=aE（X）,（3）E（g1（X）+g2（X）=E（g1（X）+E（g2（X）,（5）E（XY）=E（X）E（Y），如果X与Y是独立的；,（4）E（X+Y）=E（X）+E（Y）,例4.1.3,设X,求下列X的函数的数学期望.,

（1）2X1,

（2）（X2）2,解:

（1）E（2X1）=1/3,

（2）E（X2）2=11/6.,4.2方差,数学期望反映了X取值的中心.方差反映了X取值的离散程度.,4.2.1方差与标准差的定义,定义4.2.1若E（XE（X）2存在，则称E（XE（X）2为X的方差，记为,Var（X）=D（X）=E（XE（X）2,

（2）称,注意点,X=（X）=,

（1）方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差越大,则随机变量的取值越分散.,为X的标准差.,标准差的量纲与随机变量的量纲相同.,4.2.2方差的性质,

（1）Var（c）=0.性质4.2.1,（3）Var（aX+b）=a2Var（X）.性质4.2.3,

（2）Var（X）=E（X2）E（X）2.性质4.2.2,（4）Var（X+Y）=Var（X）+Var（Y）+2E（X-E（X）（Y-E（Y）性质4.2.4,随机变量的标准化,设Var（X）0,令,则有E（Y）=0,Var（Y）=1.,称Y为X的标准化.,例4.2.1设X,求E（X）,Var（X）.,解:

（1）E（X）=,=1,

（2）E（X2）=,=7/6,所以,Var（X）=E（X2）E（X）2,=7/61=1/6,练习1,问题：

Var（X）=1/6,为什么？

练习2,X与Y独立，Var（X）=6，Var（Y）=3，则Var（2XY）=（）.,27,练习3,XP

（2），YN（2,4），X与Y独立，则E（XY）=（）;E（XY）2=（）.,4,22,4.2.3切比雪夫不等式,设随机变量X的方差存在（这时均值也存在）,则对任意正数，有下面不等式成立,例4.2.2设X,证明,证明:

E（X）=,=n+1,E（X2）=,=（n+1）（n+2）,所以,Var（X）=E（X2）E2（X）=n+1,（这里,=n+1）,由此得,定理4.2.2,Var（X）=0,P（X=a）=1,E（X-E（X）2=0,X=E（X）a,对所有的X,常用离散分布的方差,0-1分布的方差=p（1p）,二项分布b（n,p）的方差=np（1p）,泊松分布P（）的方差=,几何分布Ge（p）的方差=（1p）/p2,常用连续分布的数学期望,均匀分布U（a,b）:

E（X）=（a+b）/2,指数分布Exp（）:

E（X）=1/,正态分布N（,2）:

E（X）=,伽玛分布Ga（,）:

E（X）=/,贝塔分布Be（a,b）:

E（X）=a/（a+b）,常用连续分布的方差,均匀分布U（a,b）的方差=（ba）2/12,指数分布Exp（）的方差=1/2,正态分布N（,2）的方差=2,例4.2.3已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4,Var（X）=1.44,则参数n,p的值为多少？

例4.2.4设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则E（X2）的值为多少？

解：

从2.4=np,1.44=np（1p）中解得,解：

因为E（X）=np=4,Var（X）=2.4,所以,n=6,p=0.4.,E（X2）=Var（X）+（E（X）2=2.4+16=18.4,本节主要给出二维随机变量X与Y之间相互关系的数字特征,4.3协方差及相关系数,4.3.1协方差,定义4.3.1称Cov（X,Y）=E（XE（X）YE（Y）,为X与Y的协方差.,协方差的性质,（4）Cov（X,Y）=Cov（Y,X）.（性质4.3.8）,

（1）Cov（X,Y）=E（XY）E（X）E（Y）.（性质4.3.5）,

（2）若X与Y独立，则Cov（X,Y）=0.（性质4.3.6）,（6）Cov（aX,bY）=abCov（X,Y）.（性质4.3.10）,（3）Var（XY）=Var（X）+Var（Y）2Cov（X,Y）（性质4.3.7）,（5）Cov（X,a）=0.（性质4.3.9）,（7）Cov（X+Y,Z）=Cov（X,Z）+Cov（Y,Z）.（性质4.3.11）,解：

记“Xi=1”=“第i个人拿对自己的礼物”“Xi=0”=“第i个人未拿对自己的礼物”,配对模型的数学期望和方差,n个人、n件礼物，任意取.X为拿对自已礼物的人数，求E（X）,Var（X）,则,因为E（Xi）=1/n,所以E（X）=1.,又因为,所以E（XiXj）=1/n（n1）,XiXj,P,01,11/n（n1）1/n（n1）,由此得,又因为,所以先计算E（XiXj）,XiXj的分布律为,所以,4.3.2相关系数,定义4.3.2称,为X与Y的相关系数.,若记,注意点,则,相关系数的性质

（1）,

（2）1Corr（X,Y）1.,（3）,X与Y几乎处处有线性关系。

（性质4.3.12）,（性质4.3.13）,P（Y=aX+b）=1,的大小反映了X与Y之间的线性关系：

注意点,接近于1，X与Y间正相关.,接近于1，X与Y间负相关.,接近于0，X与Y间不相关.,没有线性关系,相关系数的性质

（2）,

（1）施瓦茨不等式,Cov（X,Y）2Var（X）Var（Y）.,例4.3.1设（X,Y）的联合分布律为,求X,Y的相关系数.,解:

=0,同理,=3/4,E（Y）=E（X）=0,另一方面,=1/81/81/8+1/8,=0,所以,Cov（X,Y）,即,E（Y2）=E（X2）=3/4,=E（XY）E（X）E（Y）=0,例4.3.2（X,Y）f（x,y）=,求X,Y的相关系数,解:

=7/6,=5/3,所以,Var（X）=Var（Y）=11/36,=4/3,二维正态分布的特征数,

（1）XN（1,12）,YN（2,22）;,

（2）参数为X和Y的相关系数;,（4）不相关与独立等价.,4.4矩、协方差矩阵,定义4.4.1设X和Y是随机变量，若,E（Xk）存在，称为X的k阶原点矩，简称k阶矩,若E（X-E（X）k）存在，称为X的k阶中心矩；,若E（XkYl）存在，称为X和Y的k+l阶混合矩；,若E（X-E（X）kY-E（Y）l）存在，称为X和Y的k+l阶混合中心矩；,协方差矩阵,定义4.4.2记,称,，则,为,的协方差矩阵，记为,或,定理4.4.1协方差矩阵满足对称性.,协方差矩阵的性质,两个变量的协方差阵,称,注意点,为,的相关矩阵.,练习6,设XN（0,1）,YN（0,1）,Var（XY）=0,求（X,Y）的协方差矩阵.,练习7,设X,Y的协差阵为,求相关矩阵R.,对二维随机变量（X,Y）,在给定Y取某个值的条件下,X的分布;在给定X取某个值的条件下,Y的分布.,4.5条件期望,

（1）条件分布律：

4.5.1条件分布,

（2）条件密度函数：

4.5.2条件数学期望,定义4.5.1,E（X|Y=y）是y的函数.,注意点,所以记g（y）=E（X|Y=y）.,进一步记g（Y）=E（X|Y）.,重期望公式,定理4.5.1,4.6小结,基本概念：

数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望的重要性质、方差、标准差、方差的性质、标准化的随机变量、协方差、相关系数、相关系数的性质、契比雪夫不等式、几种重要分布的数学期望和方差、矩、协方差矩阵；分布函数的计算：

数学期望公式：

P5，P6方差公式：

P15协方差公式：

P31,2,6,13,17,20,22,30,34,作业,