第四章随机变量的数字特征.ppt

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河南理工大学精品课程概率论与数理统计,第四章随机变量的数字特征,数学期望及其性质,方差及其性质,协方差与相关系数,契比雪夫不等式,常见的重要分布的数字特征,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,分布函数能完全描述随机变量的统计特性，但求分布函数常常是困难的，且在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些特征，而不必求分布函数。

由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关的数值，故称它们为随机变量的数字特征。

本章介绍常用数字特征：

数学期望，方差，协方差，相关系数和矩。

数学期望是最重要的一种，其余都可以由它来定义。

引言,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,1、数学期望,【引例】枪手进行射击，规定击中区域I内得2分，击中区域II内得1分，脱靶（击中区域III）得0分。

II,I,III,枪手每次射击的得分X是一个随机变量，其分布律为,现射击N次,其中得0分的有次,得1分的有次,得2分的有次,于是,射击N次的总分为,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,从而,每次射击的平均分为,在第五章大数定律中可证明:

当N无限增大时,频率接近于概率,故当N很大时,这表明:

随着试验次数增大,随机变量X的观察值的算术平均接近于,称后者为随机变量X的数学期望（均值）.,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,定义1随机变量X的数学期望记为E（X）,定义为,其中无穷级数或广义积分均绝对收敛，分别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X的概率密度。

（1）,一、概念,绝对收敛是为了保证级数改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,试评定甲乙成绩的优劣。

解这是离散型随机变量。

由数学期望定义得：

由知：

甲的成绩远胜过乙的成绩。

【例1】甲乙两人进行射击所得分数分别为X1，X2，其分布律分别为,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,求E（X）。

解这是连续型随机变量。

由数学期望定义得：

分段函数的积分,【例2】（设在某一规定时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X（分钟）是一个随机变量,其概率密度为,例3.有5个相互独立工作的电子装置，其寿命，服从同一指数分布，其分布函数为,将这5个装置串联组成整机，求整机寿命N的数学期望将这5个装置并联组成整机，求整机寿命M的数学期望,解：

由随机变量函数的分布，得,串联：

NminX1,X2,X3,X4,X5的分布函数为：

其密度函数为,并联：

MmaxX1,X2,X3,X4,X5的分布函数为：

可见,并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长11倍之多.,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,定理1设Y=g（X）是随机变量X的连续函数，则Y也是随机变量，且其数学期望为,

（2）,利用随机变量函数的分布可以证明下列两定理:

二、随机变量函数的数学期望,其中无穷级数或广义积分均绝对收敛，分别为离散型随机变量X的分布律或连续型随机变量X的概率密度。

河南理工大学精品课程概率论与数理统计,其中无穷级数或广义积分均绝对收敛,分别为离散型随机变量（X,Y）的分布律和连续型随机变量（X,Y）的概率密度。

定理2Z=g（X,Y）是随机变量（X,Y）的连续函数，则Z也是随机变量，且其数学期望为,（3）,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,【例5】一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布,其概率密度为,解这是求连续型随机变量函数的数学期望。

工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.,设售出一台设备的净赢利为,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,故售出一台设备的净赢利的数学期望为,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,D,解这是二维连续型随机变量函数的数学期望。

联合概率密度函数非零区域为,故由定理2得:

【例6】课后P.139:

ex9,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,例5-续,在计算二维连续型随机变量的数字数字特征时,需要计算广义二重积分，当概率密度在有界区域D上非零时，实际上是计算普通二重积分.,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,三.数学期望的性质,数学期望具有如下性质:

设X,Y为随机变量,c为常数,则,E（c）=c;,E（cX）=cE（X）;,E（X+Y）=E（X）+E（Y）;,当X,Y相互独立时,E（XY）=E（X）E（Y）;,【证】由随机变量及其函数的数学期望知:

此时,为退化分布:

PX=C=1,故由定义得:

E（c）=E（X）=cPX=c=c.,由定义得:

河南理工大学精品课程概率论与数理统计,现就连续型证下面两条：

设二维随机变量（X,Y）的概率密度、边缘概率密度分别为,由随机变量函数的期望得:

由X,Y相互独立得:

河南理工大学精品课程概率论与数理统计,利用期望的性质可以简化某些期望的计算以及推出其它数字特征的一些性质.,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,解方法1（表格法）由X的分布列得:

【例7】已知随机变量X的分布列为,求X,X2,3X2+5的数学期望.,E（X）=（-2）0.4+00.3+20.3=-0.2;,于是,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,E（X2）=00.3+40.7=2.8;,E（3X2+5）=50.3+170.7=13.4.,方法2（定义+性质法）,因为,E（X）=（-2）0.4+00.3+20.3=-0.2;,E（X2）=（-2）20.4+020.3+220.3=2.8;,所以,E（3X2+5）=3E（X2）+5=32.8+5=13.4.,例6-续,例7（柯西分布）设连续型随机变量X的概率密度为,求EX.,解由于,故X的数学期望不存在.,数学期望反映了随机变量的平均值，它是一个很重要的数字特征.但是，在某些场合下只知道平均值是不够的.,例如研究灯泡的质量时，人们不仅要知道灯泡寿命X的平均值EX的大小，而且还要知道这些灯泡的寿命X离开EX的平均偏离程度如何.,4.2方差（Deviation）,如果平均偏离较小，那么说明这批灯泡的寿命大部分接近它的均值，这也说明灯泡厂的生产是稳定的；这时，如果EX比较大，那么灯泡的质量就是比较好的.相反，如果X离开EX的平均偏离较大，那么即使均值较大，生产质量也是有问题的.,再如在打靶比赛中，不但要求射击准确，而且还要求稳定.如果某射手射击10次，虽然有7次正中靶心，但是另外3次却打歪了，弹孔离靶心很远，甚至子弹射到了靶外打伤了人，这也说明此人的射击技术是成问题的.,4.2方差（Deviation）一.定义与性质,方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。

？

如何定义？

波动程度:

能够反映此情形,但计算比较麻烦.,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,一、概念,定义2随机变量X的方差记为D（X）,或Var（X）,定义为,其中数学期望存在.,（4）,在应用上还用到与X具有相同量纲的量,称之为随机变量X的均方差（标准差）.,方差D（X）是反映X取值分散程度的量,当X取值比较集中时,方差较小;当X取值比较分散时,方差较大.,2、方差,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,由数学期望性质与方差定义可得:

（6）,这也是计算方差的常用公式.,显然,方差D（X）就是随机变量X的函数,的数学期望.因此,当X的分布律或概率密度已知时,有,（5）,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,【例9】,【例9】设随机变量X的概率密度为,解期望为,求其期望与方差.,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,【例8】P.122:

eg3,解,【例8】设X服从参数为p的几何分布,其分布律为,又,求其期望与方差.,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,故,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,二.性质,方差具有如下性质:

设X,Y为随机变量,c为常数,则,D（c）=0;,D（cX）=c2D（X）;,D（X+c）=D（X）;,当X,Y相互独立时,D（X+Y）=D（X）+D（Y）;,【证】只证4。

D（aX+b）=a2D（X）,D（X）=0的充要条件PX=C=1,其中C=E（X）.,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,由于X,Y相互独立,故可以证明X-E（X）,Y-E（Y）也相互独立。

于是，由数学期望的性质得：

从而，有,P.87:

定理,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,【例10】设X1,X2,Xn相互独立,且服从同一个（0-1）分布,其分布律为,解X的所有可能取的值为0,1,2,n.,证明并求E（X）,D（X）.,事件X=k是个互斥基本事件的和事件,且其中每个基本事件为“从n个格子中取出k个放入1,其余放入0”.由独立性易知:

每个基本事件的概率为,故,从而,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,因为0-1分布,所以,由期望与方差性质得:

河南理工大学精品课程概率论与数理统计,契比雪夫不等式给出了在未知X分布的情况下,估计事件|X-|概率的方法.在上式中分别取=3,4得,由对立事件概率公式可得契比雪夫不等式的另一形式:

契比雪夫不等式,证明：

河南理工大学精品课程概率论与数理统计,3.常见重要分布的期望与方差,一、二项分布,设X服从参数为n,p的二项分布B（n,p）,则其分布律为,在2例10中已经求得,设X服从参数为的二项分布P（）,则其分布律为,二、泊松分布,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,由幂级数展开式与期望、方差定义得,故,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,设X服从参数为,2的正态分布N（,2）,则其概率密度为,其中,数学期望为：

奇函数在对称区间上的积分为零,换元,标准正态概率密度性质,三、正态分布,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,设X在区间（a,b）上服从均匀分布,其概率密度为,则X的数学期望为:

故X的方差为:

四、均匀分布,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,五、指数分布,计算过程自学。

前面我们学习了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，除了其数学期望和方差外，我们还要研究反映各分量之间关系的数字特征，其中最重要的，就是现在要讨论的,协方差和相关系数,引言,在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。

在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系。

这里有两个变量，一个是父亲的身高，一个是成年儿子身高。

为了研究二者关系，英国统计学家皮尔逊收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据,画出了一张散点图。

问：

父亲及其成年儿子身高存在怎样的关系呢？

类似的问题有：

1、吸烟和患肺癌有什么关系？

设X和Y是两个随机变量，若,一、协方差,Cov（X,Y）=EX-E（X）Y-E（Y）,1.定义,EX-E（X）Y-E（Y）存在，则称EX-E（X）Y-E（Y）为随机变量X与Y的协方差（covariance），记作,显然，两个随机变量的协方差本质上就是这两个随机变量的一个特殊函数的数学期望。

Cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）,可见，若X与Y独立，则,2.计算协方差的一个简单公式,由协方差的定义及数学期望的性质，可得,Cov（X,Y）=EX-E（X）Y-E（Y）,=E（XY）-E（X）E（Y）-E（Y）E（X）+E（X）E（Y）,=E（XY）-E（X）E（Y）,即,Cov（X,Y）=0.,Cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）,（5）Cov（X1+X2,Y）=Cov（X1,Y）+Cov（X2,Y）,（3）Cov（X,Y）=Cov（Y,X）（对称性）,3.简单性质,（4）Cov（aX,bY）=abCov（X,Y）其中a、b是常数,下面请大家利用上面所学的知识进行证明。

（1）Cov（X,X）=D（X）,

（2）Cov（X,c）=0（c为常数）,若X1,X2,Xn两两独立，上式化为:

D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov（X,Y）,4.随机变量和的方差与协方差的关系,（常用上式计算随机变量和的方差）,推广,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响。

例如：

Cov（kX,kY）=k2Cov（X,Y）,为了克服这一缺点，对协方差进行标准化:

这就引入了相关系数.,二、相关系数,为随机变量X和Y的相关系数（correlationcoefficient）.,1.定义:

若D（X）0,D（Y）0,且Cov（X,Y）存在时，称,在不致引起混淆时，记为.,x,y,0,例如：

匀速行驶的汽车行驶的时间X与路程Y之间就是完全正相关的。

此时称X与Y完全正相关此时b0,2.相关系数的性质：

例如：

你每天用在学习上的时间X与用在玩上的时间Y之间就是完全负相关的。

此时称X与Y完全负相关此时b0,x,y,0,例如：

某同学的身高X与他的学习成绩Y之间就是不相关的。

此时称X与Y不相关,x,y,0,例如：

你每天用在学习上的时间X与你的学习成绩Y之间就是正相关的。

此时称X与Y正相关此时b0,x,y,0,例如：

你每天用在玩上的时间X与你的学习成绩Y之间就是负相关的。

此时称X与Y负相关此时b0,例1：

将一枚密度均匀硬币抛n次，分别以X和Y记作正反面出现的次数，则X和Y的相关系数为（）,A：

0B：

1C：

-1D：

1或-1,解：

因为XYn，即PY=-X+n=1，所以X与Y完全负相关，故,从而选C。

2012数学一8,将长度为1m的木棒随机截成两段，则两段长度的相关系数为（）,A.1B.1/2C.-1/2D.-1,2011数学一14,设二维随机变量（X，Y）服从正态分布,答案D,2011数学一8,设随机变量X和Y相互独立，且E（X）与E（Y）存在，记U=maxX,Y,V=minX,Y,则E（UV）=（）,A.EUEVB.EXEYC.EUEYD.EXEV,答案B,2、不相关与相互独立,首先我们给出不相关的四个充要条件：

（1）,

（2）Cov（X,Y）=0,（3）E（XY）=E（X）E（Y）,（4）D（X+Y）=D（X）+D（Y）,（证明作为课后练习）,前面已经学过，若X与Y独立，则上面（3）、（4）成立，而且强调过“独立”只是（3）、（4）成立的充分而非必要条件，因此若X与Y独立，则X与Y不相关，但反之不真，即由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立。

请看下例：

例2设X服从（-2,2）内的均匀分布，Y=X2,但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立。

不难求得,Cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=0，,事实上，,PX1,Y1=P-1X1=1/2,显然,故X和Y不独立。

但PX1=3/4，PY1=P-1X1=1/2,特别地，当（X,Y）服从二维正态分布时：

例3设,试求

（1）E（Z）和D（Z）;

（2）Cov（X,Z）,问X与Z是否相关？

（3）问X与Z是否独立？

请说明理由。

解:

由题设知,所以X与Z相关。

（3）X与Z不独立。

这是因为若X与Z相互独立，则X与Z必不相关，这与

（2）矛盾，所以X与Z不独立。

请思考：

若将原题改为,其它不变，则结果又将如何？

这一讲我们主要介绍了协方差和相关系数，相关系数是刻划两个随机变量间线性相关程度的重要的数字特征,它取值在-1到1之间.,如果两个变量之间存在强相关，则已知一个变量的值对预测另一个变量的值将很有帮助,如前面几个引例。

小结,Cov（X,Y）=EX-E（X）Y-E（Y）=E（XY）-E（X）E（Y）,特别注意：

独立必不相关，但一般情况下反之不真，而当（X,Y）服从二维正态分布时，两者等价。

即,如果两个变量之间只有很弱的相关，则关于一个变量的信息对猜测另一个变量的值没有多大帮助。

河南理工大学精品课程概率论与数理统计,【例1】设（X,Y）的概率密度为,解

（1）求边缘概率密度,判定立性,试证X与Y不相关,但X与Y不相互独立.,【例1】,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,利用对称性得:

（2）求协方差与相关系数,奇函数在对称区间上积分为零,由于,所以,X与Y不独立.,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,利用对称性得:

于是,X与Y的协方差为,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,【例2】设（X,Y）服从二维正态分布,求X与Y的相关系数.,解因为X与Y的联合概率密度为,X与Y的边缘概率密度为,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,于是,X与Y的协方差,对上述广义二重积分换元:

河南理工大学精品课程概率论与数理统计,即,面积元素为,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,奇函数在对称区间上积分为零,分部积分,河南理工大学精品课程概率论与数理统计,显然,独立一定不相关,但不相关却不一定独立。

特别值得注意的是:

若（X,Y）服从二维正态分布,则独立与不相关是等价的。

所以，X与Y的相关系数为：

最后,请注意正态分布的一些重要结论。

河南理工大学精品课程概率论与数理统计,P.140:

3;6;8;,P.141:

9;11;12;13;,P.142:

15;16;20;,本章作业,P.143:

27;29;,P.144:

31;32;33;34;,P.145:

37。