随机变量数字特征习题课.docx
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随机变量数字特征习题课
教学目的：
第12讲随机变量的数字特征习题课
教学重点：
掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。
理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数学期望和方差。
教学难点
随机变量函数的数学期望。
教学时数
2学时
教学过程
、知识要点回顾
1.
随机变量X的数学期望E（X）
2.
对离散随机变量E（X）xip（xi）
i
3.
若i1,2,L，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。
4.
对连续随机变量E（X）xf（x）dx
5.
6.
假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。
随机变量X的函数g（X）的数学期望E[g（X）]，其中g（X）为实函数。
7.
对离散随机变量E[g（X）]g（xi）p（xi）
i
8.
对连续随机变量E[g（X）]g（x）f（x）dx
9.
10.
假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。
二维随机变量（X,Y）的函数g（X,Y）的数学期望E[g（X,Y）]，其中g（X,Y）为二元
实函数。
11.对离散随机变量E[g（X,Y）]
g（xi,yj）p（xi,yj）j
12.对连续随机变量E[g（X,Y）]
g（x,y）f（x,y）dxdy
13.假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。
14.数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在）
15.E（c）c,（c为常数）
16.E（cX）cE（X）,（c为常数）
17.
E（aXb）
aE（X）b,（a,b为常数）
18.
E（XY）
E（X）E（Y）
19.
n
E（ciXi）
i1
n
ciE（Xi）
i1
20.
若X,Y相互独立，则E（XY）E（X）E（Y）。
21.
若Xi,X2,L,Xn相互独立，则E（XiX2L
Xn）E（X1）E（X2）LE（Xn）。
22.
随机变量X的方差D（X）E{[X
E（X）]2}
E（X2）[E（X）]2，这里假定
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
35.
E（X）,E（X2）都存在。
方差的性质
D（c）0,（c为常数）
D（cX）c2D（X）,（c为常数）
D（aXb）a2D（X）,（a,b为常数）
若X,Y相互独立，则D（X
若Xi,X2,L,Xn相互独立,
随机变量X的k阶原点矩
随机变量X的k阶中心矩
Y）D（X）
D（Y）。
c1,c2,L
k（X）
cn为常数，则
n
D（ciXi）
i1
n
2
ci2D（Xi）。
i1
E（Xk）
E{[XE（X）]k}
易知，1（X）E（X）,1（X）0,2（X）D（X）。
随机变量X与丫的协方差
cov（X,Y）E{[XE（X）][YE（Y）]}E（XY）E（X）E（Y）
22
D（aXbY）aD（X）bD（Y）2abcov（X,Y）,（a,b为常数）
cov（X,Y）cov（Y,X）
36.
cov（aX,bY）abcov（X,Y）,（a,b为常数）
37.
38.
若cov（X,Y）0,则称X与丫不相关。
若随机变量X与丫相互独立，则X与丫一
cov（XY,Z）cov（X,Z）cov（Y,Z）
定不相关，反之不成立。
39.
随机变量X与丫的相关系数R（X,Y）
cov（X,Y）
7D（X“（Y）
40.
|R（X,Y）|1
41.
YabX|R（X,Y）|1
42.
PXE（X）
D（X）
2
切比雪夫不等式：
若随机变量X的数学期望E（X）与方差D（X）存在，则对任意正
由切比雪夫不等式可证明切比雪夫定理，进而推出伯努利定理。
后面两个定理是常用
的大数定律。
、典型例题解析
1.已知随机变量X的概率分布为
求E（4X2
6）。
分析由要点2,令g（X）4X26，
代入公式即可。
X
-2
0
1
Pi
3
22
6）Pi
60.4100.312
E（4X26）（4Xi2
i1
220.3
注计算随机变量函数的数学期望原则上有两种方法：
一种是先求出随机变量的概
率分布或概率密度，再按数学期望的定义计算；一种是直接带入要点2种所列的公式。
通常用后一种方法较简便。
2.设二维随机变量（X，Y）的概率密度f（x,y）x0y0x其它y1
求E（X）,E（Y）,D（X）,D（Y）,E（XY）,cov（X,Y）,R（X,Y）。
分析
解
E（X）
xf（x,y）dxdy
1
xdx0（xy）dy
E（X2）
1
0x（x
^）dx右
2
xf（x,y）dxdy
'x2dx
0
1
0（xy）dy
1x2（x
0\
丄）dxA
212
题中前五项计算均可按要点3所列公式计算，后两项按要点8与9计算。
所以
D（X）
E（X2）
[E（X）]2
11
144
按对称性有
E（Y）
7
1?
D（Y）
E（XY）
xyf（x,y）dxdy
11
144
1
xdx
0
1
0y（x
y）dy
cov（X,Y）
E（XY）E（X）E（Y）
R（X,Y）丄/血
144/12
1
3
4v\
12
7
12
7
12
1
11
1
144
注二维随机变量的许多计算都可归结为计算二维随机变量函数的数学期望，所以
要点3所列公式应会灵活应用。
3.填空
（1）已知D（X）4,D（Y）1,R（X,Y）0.6，贝UD（3X2Y）
1
⑵随机变量X,Y相互独立，又X:
P
（2）,Y:
B（8,—）,则
4
E（X2Y）
，D（X2Y）
X
0
1
⑶
设X,Y独立且同分布
1
2
P
3
3
⑷
随机变量X的方差
为
2
p
XE（X）2
，则E（X,Y）
，则根据切比雪夫不等式，估计
分析在要点8中取a3,b2代入公式解答
（1）;由已知公式得E（X）2，
D（X）2E（Y）8
11
-2，D（Y）8-
44
33
42，在利用方差性质解答⑵；对于⑶，
可求出随机变量Z
XY的概率分布再求
E（XY），或由X,Y都服从“0-1”分布得,
再代相应公式；对于⑷，用2,D（X）2带入切比雪夫不等式。
（1）
D（3X2Y）9D（X）4D（Y）12R（X,Y）Jd（X）Jd（Y）
25.6
9441120.6
E（X2Y）E（X）2E（Y）22
D（X2Y）D（X）4D（Y）
XY
0
1
⑶解一
P
5
4
9
9
解二
E（XY）
E（XY）
E（X）E（Y）
P{|X
E（X）|
2
3
1W
22
填空主要用于复习概念，熟悉各种计算公式，通常计算量较小。
4.一台设备有三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为，，，假
设各部件相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，求数学期望E（X）和方差
D（X）。
八出牛利二弋"君知十曰1,第i个部件需要调整/、门“
分析先引入新随机变量Xi0,第i个部件无需调整（-1，2,3），则
XXi,Xi相互独立，利用E（X）
i1
E（Xi）,
i1
D（X）
D（Xi）完成计算。
i1
解由Xi服从“0-1”分布,
E（Xi）Pi,
D（Xi）
Pi（1Pi）,
i1,2,3,得
E（X1）0.1,D（X1）0.09,E（X2）
0.2,D（X2）
0.16,
E（X3）0.3,
D（X3）0.21
故E（X）0.10.20.30.6,D（X）
0.090.16
0.21
0.46。
注利用性质来计算数学期望和方差往往较有效,
应该学会这种方法。
另外，应记
住常用分布相应的数学期望和方差。
5.甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束。
假定甲队在每场比赛中获胜
的概率为，乙队为，求比赛场数的数学期望。
分析X可能取值为4,5,6,7，按古典概型计算X取各值的概率得到X的概
率分布，由此算出
E（X）0
P{X
4}
0.640.440.1552
P{X
5}
c40.640.4c40.60.440.2688
P{X
6}
C；0.640.42C；0.620.440.2995
P{X
7}
c30.640.43c30.630.440.2765
E（X）
40.155250.268860.299570.2765
5.7
注对应用题而言，大量计算是计算概率，这就要求掌握好以前所学过的各种计算
概率的方法。
0，其中
0
函数，
——X1e
6.设随机变量X服从分布，其概率密度f（x）（）
0
0,0是常数，求E（X）,D（X）o
分析按定义求E（X）,又D（X）E（X2）[E（X）]2,计算中涉及
（s）0xs1exdx,（s0）,
（1）（）o
有用的
7.
E（3X
2分布是
E（X）x
0（）
xdx
x）
11e
xd（x）（令t
x）
（1）
（）
E（X2）0
D（X）
2）
（）
分布，统计中很
2的分布。
1）
设（X,Y）在区域
2Y），E（XY）。
分析设区域
度f（x,y）
1
-,（x,y）A
0,
（x,y）
点3计算。
E（3X
x）
xdx
21e
1）（）
d（x）（令t
（1）
2
x）
分布也是一种常用分布，例如指数分布是
D（x,y）|x0,y0,xy1上服从均匀分布，求E（X），
D的面积为A，则（X,Y）在D上服从均匀分布时，联合概率密
D，本题中A
D
E（X）
2Y）
1
0dx
1，所以f（x,y）；（x,y）D
其它
，接着按要
11
2x（1x）dx一
03
1
（210x
0\
x
2xdy
1
dx
0
1x
02（3x2y）dy
8x2）dx
11x1231
E（XY）dx2xydy（x2xx）dx—
'，00，，0'/12
注二维随机变量服从均匀分布也是常见的情形。
可以自然的推广到n维随机
变量服从均匀分布，其联合概率密度写法是类似的。
8.计算下列各题
D（XY）
（1）设X与丫相互独立，E（X）E（Y）0,D（X）D（Y）1，求E[（XY）2].
（2）设X与Y相互独立，其数学期望与方差均为已知值，求
分析根据要点
4,5,6中相关公式计算。
解
（1）E[（X
22
Y）]E（X
2XY
22
Y）E（X）2E（XY）
2
E（Y）
D（X）
E（X）
2
2E（X）E（Y）D（Y）
2
E（Y）
⑵D（XY）E
2
（XY）
2
E（XY）
E（X2Y2）E（X）E（Y）2
E（X2）E（Y2）E（X厂E（Y）
2
E（Y）
222
X与Y相互独立
D（X）E（X）D（Y）E（Y）E（X）
9.设二维随机变量（X,Y）的概率密度f（x,y）豊
22
xy
其它
1
1，试问：
（1）X
与丫是否相互独立
（2）是否相关
分析根据f（x,y）fx（x）fY（y）是否成立回答
（1）;根据cov（X,Y）0是否成
立回答
（2）0
解
（1）X,Y的边际概率密度分别为
fx（X）
f（x,y）dy
二丄dy-71x12
*x
0,
其它
fY（y）
f（x,y）dy
0,
y1
其它
由于f（x,y）
fx（x）fY（y）,所以X与丫不相互独立。
⑵E（X）
I2X2
xfx（x）dx—V1x2dx0，
E（Y）
12x
1
yfY（y）dy：
—/
（利用奇函数性质），
E（XY）
xyf（x,y）dxdy
y2dy0，
—xydxdy
x2y21
12.
rcossin0
0r3dr0
所以cov（X,Y）
E（XY）
E（X）E（Y）
0,X与丫不相关。
总结
随机变量的分布函数完整的描述随机变量的统计特征，但在实际中要找出随机变量的分布函数，或概率分布、概率密度，有时是十分困难的。
而许多实际问题只需要知道随机变量的某些特征数字就可以了。
这说明掌握特征数字、即数学期望、方差等等的概念、计算及相关计算是十分重要的。
学习随机变量的数字特征，要求理解数学期望与方差的定义，掌握它们的性质与计算；理解独立于相关的概念；会求协方差与相关系数；了解高阶矩的概念；了解切比雪夫不等式与大数定律。
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