立体几何.docx

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立体几何

第1讲　直线、平面平行的判定与性质

[学习目标]

1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质和判定定理．

2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．

知识梳理

1．直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

a∩α＝∅

a∥α

结论

a∥α

b∥α

a∩α＝∅

a∥b

2.面面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

α∩β＝∅

结论

α∥β

α∥β

a∥b

a∥α

考点一　有关线面、面面平行的命题真假判断

【例1】

（1）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）．

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

（2）设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是（　　）．

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

【训练1】

（1）若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（　　）．

A．b⊂αB．b∥α

C．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α

（2）给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的个数为（　　）．

A．3B．2C．1D．0

考点二　线面平行的判定与性质

【例2】如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝

，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

（1）证明：

MN∥平面A′ACC′；

（2）求三棱锥A′－MNC的体积．

【训练2】如图，在四面体A－BCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：

直线HG∥平面CEF.

考点三　面面平行的判定与性质

【例3】如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝

.

（1）证明：

平面A1BD∥平面CD1B1；

（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．

【训练3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：

平面PMN∥平面A1BD.

【典例】如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

（1）求证：

BE＝DE；

（2）若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：

DM∥平面BEC.

【自主体验】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，

AB＝6，DC＝3，若M为PA的中点，求证：

DM∥平面PBC.

过关检测

1．已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是（　　）．

A．a∥α，b⊂αB．a∥α，b∥α

C．a∥c，b∥cD．a∥α，α∩β＝b

2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（　　）．

A．平行B．平行和异面

C．平行和相交D．异面和相交

3．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是（　　）．

A．存在一条直线b，a∥b且b⊂α

B．存在一条直线b，a⊥b且b⊥α

C．存在一个平面β，a⊂β且α∥β

D．存在一个平面β，a∥β且α∥β

4．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（　　）．

A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线

B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线

C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β

D．若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行

5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（　　）．

A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形

6．下列四个命题：

①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；

②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；

③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；

④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．

其中所有真命题的序号是________．

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为______．

8四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A，N，D三点的平面交PC于M.

（1）求证：

PD∥平面ANC；

（2）求证：

M是PC中点．

9.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．

（1）求证：

E，B，F，D1四点共面；

（2）求证：

平面A1GH∥平面BED1F.

第2讲　直线、平面垂直的判定与性质

[学习目标]

1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理．

2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.

知识梳理

1．直线与平面垂直

（1）定义：

若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．

（2）判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线线垂直⇒线面垂直）．即：

a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α.

（3）性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线平行．即：

a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

2．平面与平面垂直

（1）定义：

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

（2）判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：

a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

（3）性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：

α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.

3．直线与平面所成的角

（1）定义：

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．

（2）线面角θ的范围：

θ∈

.

4．二面角的有关概念

（1）二面角：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

（2）二面角的平面角：

二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

考点一　直线与平面垂直的判定和性质

【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：

（1）CD⊥AE；

（2）PD⊥平面ABE.

【训练1】如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝

，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.

证明：

BE⊥平面BB1C1C.

考点二　平面与平面垂直的判定与性质

【例2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝

BC，点D是AB的中点．

证明：

平面ABC1⊥平面B1CD.

【训练2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．

证明：

平面ABM⊥平面A1B1M.

考点三　平行、垂直关系的综合问题

【例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

（1）求证：

CE∥平面PAD；

（2）求证：

平面EFG⊥平面EMN.

【训练3】如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．

（1）求证：

BC⊥平面PAC；

（2）设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：

QG∥平面PBC.

【自主体验】

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝

AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.

（1）求证：

DA⊥BC；

（2）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.

过关检测

1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）．

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（　　）．

A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α

B．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α

C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）．

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

4.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（　　）．

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

5．已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：

①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.

其中正确的是（　　）．

A．①④B．②④

C．②③D．③④

6.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD（只要填写一个你认为正确的条件即可）．

7.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

8．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．

（1）求证：

B1D1∥平面A1BD；

（2）求证：

MD⊥AC；

（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.