中考代数综合第4讲二次函数图象与一次函数图象交点问题.docx

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中考代数综合第4讲二次函数图象与一次函数图象交点问题

2020年中考代数综合

第4讲：

二次函数图象与一次函数图象交点问题

【案例赏析】

1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝

+2x﹣a+1与y轴交于C点，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．

（1）求a的值；

（2）设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；

（3）

将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G与直线PP'无交点，求m的取值范围．

2.抛物线y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB＝OC．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，若点C在直线y2＝﹣3x+t上，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求n的取值范围．

3.已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0．

（1）求证：

该方程有两个实数根；

（2）如果抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；

（3）在

（2）的条件下，抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的

对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣

之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n

（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．

【专项突破】

4．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．

（1）求证：

无论m取任何实数时，方程总有实数根；

（2）若关于x的二次方程y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；

（3）在直角坐标系xOy中，画出

（2）中的函数图象，结合图象回答问题：

当直线y＝x+b

与

（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．

5.已知关于x一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0有两个不相等的实数根

（1）求k取值范围；

（2）当k最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3的顶点坐标以及它与x

轴的交点坐标；

（3）将

（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m有三个不同公共点时m值．

6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（﹣1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．

（1）求抛物线的表达式及a的值；

（2）

设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围．

7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）的顶点为A，与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴交于点D．

（1）求点A的坐标；

（2）若BC＝4，

①求抛物线的解析式；

②将抛物线在C，D之间的部分记为图象G（包含C，D两点）．若过点A的直线y＝kx+b

（k≠0）与图象G有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围．

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限内的部分记为图象G，如果过点P（﹣3，4）的直线y＝mx+n（m≠0）与图象G有唯一公共点，请结合图象，求n的取值范围．

9.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：

y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB＝4．

（1）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；

（2）将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2围成的封闭图形为M．直线l：

y＝kx+m（k≠0）经过点B．若直线l与图形M有公共点，求k的取值范围．

【参考答案】

1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝

+2x﹣a+1与y轴交于C点，与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．

（1）求a的值；

（2）设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；

（3）

将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G与直线PP'无交点，求m的取值范围．

【分析】

（1）把A（﹣1，0）代入抛物线解析式，列出关于a的一元一次方程，通过解该方程求得a的值；

（2）根据

（1）中抛物线解析式求得顶点P的坐标，然后由关于原点对称的两点的横、纵坐标均互为相反数来求点P′的坐标；

（3）由点P、P′的坐标求得直线PP′的解析式，然后根据平移的性质并结合图形进行答题．

【解答】解：

（1）∵A（﹣1，0）在抛物线

上，

∴

，

∴解得a＝﹣2．

（2）∴抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3．

∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点P的坐标为（1，4）．

∵点P关于原点的对称点为P'，

∴P'的坐标为（﹣1，﹣4）．

（3）直线PP'的表达式为y＝4x，

图象向下平移3个单位后，A'的坐标为（﹣1，﹣3），B'的坐标为（3，﹣3），若图象G与直线PP'无交点，则B'要左移到M及左边，

令y＝﹣3代入PP'，则

，M的坐标为

，

∴

，

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征．此题中的点A的坐标是隐含在题中的一个已知条件．

2.抛物线y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB＝OC．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，若点C在直线y2＝﹣3x+t上，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求n的取值范围．

【分析】

（1）由抛物线的解析式易求点C的坐标，进而可求出点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式可求出m的值，则抛物线的解析式也可求出；

（2）由点C在直线y2＝﹣3x+t上，可知t＝﹣3，若y1向左平移n个单位后，则表达式为：

y3＝（x﹣1+n）2﹣4，若y2向下平移n个单位后，则表达式为：

y4＝﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x＝1﹣n，y3≤y4，进而可求出n的取值范围．

【解答】解：

（1）∵抛物线与y轴交于点C，

∴C（0，﹣3）．

∵抛物线与x轴交于A、B两点，OB＝OC，

∴B（3，0）或B（﹣3，0）．

∵点A在点B的左侧，m＞0，

∴抛物线经过点B（3，0）．

∴0＝9m+3（m﹣3）﹣3．

∴m＝1．

∴抛物线的表达式为y1＝x2﹣2x﹣3；

（2）由

（1）可知：

y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∵点C在直线y2＝﹣3x+t上，

∴t＝﹣3，

∴y2＝﹣3x﹣3，

y1向左平移n个单位后，则表达式为：

y3＝（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，

y2向下平移n个单位后，则表达式为：

y4＝﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x＝1﹣n，y3≤y4，

即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：

n≥1．

【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移、二次函数和坐标轴的交点问题以及二次函数增减性等知识，熟练掌握二次函数的各种性质特别是平行的性质是解题关键．

3.已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0．

（1）求证：

该方程有两个实数根；

（2）如果抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；

（3）在

（2）的条件下，抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的

对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣

之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n

（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．

【分析】

（1）先求出根的判别式△，判断△的取值范围，即可得证；

（2）根据求根公式表示出两根，由题意，求出m的值，可得抛物线的解析式；

（3）点求出点A，B，C，D的坐标，根据待定系数法求出直线CD的解析式，设平移后，

点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣

+n，

），根据点在直线上，求出取值范围即可．

【解答】

（1）证明：

由根的判别式，可得：

△＝（3m+1）2﹣4×m×3＝（3m﹣1）2，

∵（3m﹣1）2≥0，

∴△≥0，

∴原方程有两个实数根；

（2）解：

令y＝0，那么mx2+（3m+1）x+3＝0，

解得：

x1＝﹣3，x2＝﹣

，

∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数，

∴m＝1，

∴抛物线的解析式为：

y＝x2+4x+3；

（3）如图，

∵当x＝0时，y＝3，

∴C（0，3），

∵当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝﹣1，又∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），

∵点D与点B关于y轴对称，

∴D（1，0），

设直线CD的解析式为：

y＝kx+b，

∴，解得：

，

∴直线CD的表达式为：

y＝﹣3x+3，

又∵当x＝﹣

时，y＝

，

∴点E（﹣

，

），

∴平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣

+n，

），

当直线y＝﹣3x+3经过点A′（﹣3+n，0）时，得：

﹣3（﹣3+n）+3＝0，解得：

n＝4，

当直线y＝﹣3x+3经过点E′（﹣

+n，

），时，得：

﹣3（﹣

+n）+3＝

，解得：

n

＝

，

当抛物线与直线相切情况，此时n＝

∴n的取值范围是≤n≤．

【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，抛物线与x轴的交点及二次函数的图象的性质，熟知抛物线与x轴的交点坐标的横坐标即相应的一元二次方程的解是解决此题的关键．

4．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．

（1）求证：

无论m取任何实数时，方程总有实数根；

（2）若关于x的二次方程y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；

（3）在直角坐标系xOy中，画出

（2）中的函数图象，结合图象回答问题：

当直线y＝x+b

与

（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．

【分析】

（1）本题中，二次项系数m的值不确定，分为m＝0，m≠0两种情况，分别证明方程有实数根．

（2）抛物线经过原点，c＝0，列出方程即可解决．

（3）列出方程组，有两个交点，△＞0，即可求出b的取值范围．

【解答】解：

（1）分两种情况讨论．

①当m＝0时，方程为x﹣2＝0，x＝2．

∴m＝0时，方程有实数根．

②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式

△＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）

＝9m2﹣6m+1﹣8m2+8m＝m2+2m+1

＝（m+1）2≥0，

∴m≠0时，方程有实数根．

故无论m取任何实数时，方程恒有实数根．

综合①②可知，m取任何实数，方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0恒有实数根；

（2）∵抛物线y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2经过原点，

∴2m﹣2＝0，

∴m＝1，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x．

（3）函数图象如图所示，由

消去y得到x2﹣3x﹣b＝0，

∵两个函数图象有两个交点，

∴△＞O，

∴9+4b＞0，

∴b＞﹣

时直线y＝x+b与

（2）中的函数图象只有两个交点．

【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系，讨论一次函数与二次函数图象交点的情况，记住两个函数图象有两个交点，说明方程组有两组解，利用判别式解决问题，属于中考常考题型．

5.已知关于x一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0有两个不相等的实数根

（1）求k取值范围；

（2）当k最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3的顶点坐标以及它与x

轴的交点坐标；

（3）将

（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m有三个不同公共点时m值．

【分析】

（1）根据一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0有两个不相等的实数根，可知根的判别式△＞0，即可求出k的取值范围；

（2）根据k的取值范围可得当k＝0时，为k最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；

（3）

（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：

①直线经过原二次函数与x轴的交点A（即左边的交点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；

②原二次函数图象x轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式△＝0，根据这一条件可确定m的取值．

【解答】解：

（1）由题意，得△＝4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）＝16k+16＞0，

∴k＞﹣1，

∴k的取值范围为k＞﹣1；

（2）∵k＞﹣1，且k取最小的整数，∴k＝0．

∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），

∵y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交，

∴0＝x2﹣2x﹣3，

∴解得：

x＝﹣1或3，

∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）；

（3）翻折后所得新图象如图所示．

平移直线y＝x+m知：

直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．

①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0），

∴0＝﹣1+m，即m＝1．

②当直线位于l2时，此时l2与函数y＝﹣x2+2x+3的图象有一个公共点，

∴方程x+m＝﹣x2+2x+3，

即x2﹣x﹣3+m＝0有两个相等实根，

∴△＝1﹣4（m﹣3）＝0，

即m＝

．

当m＝

时，x1＝x2＝

满足﹣1≤x≤3，由①②知m＝1或m＝

．

【点评】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点及顶点坐标的求法、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．

6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（﹣1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．

（1）求抛物线的表达式及a的值；

（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物

线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围．

【分析】

（1）根据点A、B的坐标可以得到对称轴方程为x＝1，结合已知条件得到该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），则易求该抛物线的解析式；

（2）通过图象可以看出点B纵坐标t的取值范围．

【解答】解：

（1）∵抛物线y＝2x2+mx+n过点A（﹣1，a），B（3，a），

∴抛物线的对称轴x＝1．

∵抛物线最低点的纵坐标为﹣4，

∴抛物线的顶点是（1，﹣4）．

∴抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2﹣4，即y＝2x2﹣4x﹣2．

把A（﹣1，a）代入抛物线表达式，求出a＝4；

（2）∵抛物线顶点C（1，﹣4）关于y轴的对称点为点D，

∴D（﹣1，﹣4）．

求出直线CD的表达式为y＝﹣4．

求出直线BD的表达式为y＝2x﹣2，当x＝1时，y＝0．所以﹣4＜t≤0．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换．需要学生具备画图的能力和识别图形的能力，要熟练掌握．

7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）的顶点为A，与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴交于点D．

（1）求点A的坐标；

（2）若BC＝4，

①求抛物线的解析式；

②将抛物线在C，D之间的部分记为图象G（包含C，D两点）．若过点A的直线y＝kx+b

（k≠0）与图象G有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围．

【分析】

（1）把一般式配成顶点式即可得到A点坐标；

（2）已知BC＝4，由

（1）可知抛物线对称轴为x＝1，所以可知B点坐标，将其代入抛物线方程可求得m的值，于是得到抛物线解析式；

②由m＝1即可得到B（﹣1，0），C（3，0），再求出D（0，﹣3），画出抛物线，通过画图可得当k＞0时，直线y＝kx+b过A、C时，k最大；当k＜0，直线y＝kx+b过A、D时，k最大，然后分别求出两直线解析式即可得到k的范围．

【解答】解：

（1）y＝mx2﹣2mx+m﹣4＝m（x﹣1）2﹣4，所以抛物线的顶点A的坐标为（1，﹣4）；

（2）①∵BC＝4，抛物线的对称轴为x＝1，点B在点C左侧，

∴点B坐标为（﹣1，0），点C坐标为（3，0），

将B（﹣1，0）代入y＝m（x﹣1）2﹣4，得：

0＝4m﹣4，解得m＝1

所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；

②B（﹣1，0），C（3，0），

当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3），如图，当直线y＝kx+b过A、C时，直线解析式为y＝2x﹣6；当直线y＝kx+b过A、D时，直线解析式为y＝﹣x﹣3，

所以若过点A的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G有两个交点，k的取值范围为0＜k≤2或

﹣1≤k＜0．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：

把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和一次函数图象的性质．

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两

点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限内的部分记为图象G，如果过点P（﹣3，4）的直线y＝mx+n（m≠0）与图象G有唯一公共点，请结合图象，求n的取值范围．

【分析】

（1）将点A、B坐标代入二次函数解析式即可求得；

（2）如图，先求出直线PB解析式．从而知其与y轴的交点E，由图象知过点P的直线与y轴交点在C、E（含点C，不含点E）之间时，与图象G有唯一公共点，据此解答可得．

【解答】解：

（1）将A、B两点的坐标代入抛物线的表达式中，得：

，

解得

∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）设抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，则点C的坐标为（0，3）．

抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4）．设直线PB解析式为y＝kx+b，

将点P（﹣3，4）、B（3，0）代入，得：

，

∴直线PB的表达式为

，

∴与y轴交于点E（0，2）．

∵直线PD平行于x轴，

∴与y轴交于点F（0，4）．

由图象可知，当过点P的直线与y轴交点在C、E（含点C，不含点E）之间时，与图象G有唯一公共点，

另外，直线PD与图象G也有唯一公共点，但此时m＝0．

∴n的取值范围是2＜n≤3．

【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数图象上的点的坐标特征，根据函数图象得出过点的直线与图象G有唯一公共点时，与y轴交点的范围是解题的关键，

9.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：

y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB＝4．

（1）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；

（2）将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2围成的封闭图形为M．直线l：

y＝kx+m（k≠0）经过点B．若直线l与图形M有公共点，求k的取值范围．

【分析】

（1）利用对称轴与x轴交于点（3，0），AB＝4可得A，B坐标，将A，B坐标代入y＝x2+bx+c可得解析式，化为顶点式可得顶点坐标；

（2）利用平移后的C2的顶点为（0，﹣1），可得抛物线C2的解析式，易得抛物线C1的对称轴x＝3与抛物线C2的交点E，当直线l过点B（5，0）和点D（3，﹣4）时，代入y＝kx+m（k≠0）可得kBD，将点B（5，0）和点E（3，8）代入y＝kx+m（k≠0）可得kBE，易得k的取值范围．

【解答】解：

（1）∵抛物线C1的对称轴与x轴交于点（3，0），

∴抛物线C1的对称轴为直线x＝3．又∵AB＝4，

∴A（1，0），B（5，0）．

∴抛物线C1的表达式为y＝x2﹣6x+5．即y＝（x﹣3）2﹣4．

∴抛物线C1的顶点为D（3，﹣4）．