二次函数和四边形.docx

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二次函数和四边形

1、如图，抛物线

的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点。

（1）求A、B、C的坐标；

（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N。

若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；

（3）在

（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ。

过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）。

若FC=

DQ，求点F的坐标。

2、（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点。

（1）求抛物线的表达式；

（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值。

3、（2014•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+c。

（1）填空：

△AOB≌△　_________　≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：

A（0，　_________　）；

（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；

（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；

（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x=2﹣

，顶点随着t的增大向上移动时，求t的取值范围。

4、（2014•温州）如图，在平面直角坐标系中国，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动

点C从B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．

（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；

（2）当点C在线段OB上时，求证：

四边形ADEC为平行四边形；

（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中▱PCOD的面积为S。

①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；

②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围。

5、（2013•荆州）如图，已知：

如图①，直线y=﹣

x+

与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x﹣k）2+h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG．设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和

个单位长度/秒，运动时间为t秒。

（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；

（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？

判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；

（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式。

6、（2013•自贡）如图，已知抛物线

与

轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），

。

（1）求抛物线的解析式；

（

2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；

（3）在

（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，

为半径且与直线AC相切的圆，若存在，求出圆心Q的坐标，若不存在，请说明理由。

7、（2013•嘉兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=

（x﹣m）2﹣

m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD。

作AE∥x轴，DE∥y轴．

（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？

②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

8、（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在

（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。

9、如图①，直线l:

与x,y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线。

（1）若l:

则P表示的函数解析式为，若P:

，则l表示的函数解析式为；

（2）求P的对称轴（用含m,n的代数式表示）；

（3）如图②，若l:

，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上.当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；

（4）如图③，若l:

，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM.若OM=

，直接写出l，P表示的函数解析式。

10、（2014•山西）综合与探究：

如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点。

（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；

（2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：

当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；

（3）在

（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

11、如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，

）三点。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形？

若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由。

12、如图，抛物线y=ax2+2ax（a<0）位于x轴上方的图象记为F1，它与x轴交于P1、O两点，图象F2与F1关于原点O对称，F2与x轴的另一个交点为P2，将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得F3与F4；再将F3与F4同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得F5与F6……按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1，F2,……，Fn,我们把这组图象称为“波浪抛物线”。

当a=-1时，

求图象F1的顶点坐标；

点H（2014，－3）（填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象Fn的顶点Tn对应的解析式为，其自变量

的取值范围为。

设图象Fm、Fm+1的顶点分别为Tm、Tm+1（m为正整数），x轴上一点Q的坐标为（12，0）。

试探究：

当a为何值时，以O、Tm、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？

并直接写出此时m的值。

13、（2013•嘉兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=

（x﹣m）2﹣

m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴。

（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？

②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

14、（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在

（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。

15、（2014眉山）如图，已知直线

与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线

经过点A和点C，对称轴为直线l：

，该抛物线与x轴的另一个交点为B。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；

（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？

若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由。

16、（2014济宁）如图，抛物线y＝

x2＋bx＋c与x轴交于A（5，0）、B（－1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y＝2x于点C。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求点A关于直线y＝2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；

（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

17、（2013•咸宁）如图，已知直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD。

（1）点C的坐标是　　线段AD的长等于　　；

（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；

（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在

（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？

若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由。

18、（2014•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=

AC，连接OA，OB，BD和AD．

（1）若点A的坐标是（﹣4，4）

①求b，c的值；

②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；

（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？

若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存

在，请说明理由。