空间解析几何习题答案解析doc.docx

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空间解析几何习题答案解析doc

一、计算题与证明题

1．已知|a|

1,

|b|

4,

|c|

5,

并且a

b

c

0．计算ab

bcca．

解：

因为|a|

1,

|b|4,

|c|

5,并且a

b

c

0

所以a与b同向，且a

b与c反向

因此ab

0，bc

0，ca0

所以a

b

b

c

c

a

0

2．已知

|a

b|

3

|a

b|

4

求|a|

|b|．

解：

|a

b|

abcos

3

（1）

|a

b|

a

bsin

4

（2）

（1）2

22

得a

b

2

25

所以

a

b

5

4．已知向量x与

a（,1,5,

2）共线,

且满足a

x

3,

求向量x的坐标．

解：

设x的坐标为

x,y,z

，又a

1,5,

2

则axx5y2z3

（1）

又x与a共线，则x

a

0

即

i

j

k

y

z

x

y

x

y

x

y

z

k

5

i

1

j

1

5

1

5

2

2

2

2y5zi

z

2x

j

5x

yk

0

所以

2y

5z2

z

2x2

5xy2

0

即29x2

5y2

26z2

20yz

4xz10xy

0

（2）

又x与a共线，x与a夹角为0或

cos0

1

xa

3

x2

y2

z2

12

52

22

x2

y2

z2

30

整理得

x2

y2

z2

3

（3）

10

联立

1、2、3

解出向量x的坐标为

1,1,1

10

2

5

6．已知点A（3,8,7）,B（1,2,3）求线段AB的中垂面的方程．

解：

因为A3,8,7,B（1,2,3）

AB中垂面上的点到

A、B的距离相等，设动点坐标为

M

x,y,z

，则由

MAMB得

2

2

2

2

y2

2

2

x3

y8

z7

x1

z3

化简得

2x

3y

5z

27

0

这就是线段AB的中垂面的方程。

7．向量a,

b,

c具有相同的模,

且两两所成的角相等,

若a,

b的坐标分别为

（1,1,0）和（0,1,1）,

求向量

c的坐标．

解：

a

b

c

r且它们两两所成的角相等，设为

则有ab

1

0

1

1

0

1

1

则cos

a

b

1

a

b

r2

设向量c的坐标为

x,y,z

则ac

1x

1

y

0

z

x

y

a

bcos

r

1

1

（1）

r

2

r

bc

0

x

1y

1z

yz

b

ccos

rr

1

1

（2）

r2

c

x2

y2

z2

r

12

12

02

2

所以x2

y2

z2

2

（3）

x

1

x

1

3

4

联立

（1）、

（2）、（3）

求出

y

0或

y

3

z

1

z

1

3

所以向量c的坐标为

1,0,1或

1,4,

1

3

3

3

8．已知点A（3,6,1）

B（2,

4,1）,

C（0,

2,3）

D（

2,0,

3），

（1）求以AB,AC,AD为邻边组成的平行六面体的体积．

（2）求三棱锥ABCD的体积．

（3）求BCD的面积．

（4）求点A到平面BCD的距离．

解：

因为

A3，0，1，B2,4,1,C0,2,3,D2,0,3

所以AB

1,

10,0

AC

3,

8,2

AD

5,

6,

4

（1）AB,AC,AD是以它们为邻边的平行六面体的体积

1

10

0

V

3

8

2

3

100

0

0

120

12

176

5

6

4

（2）由立体几何中知道，四面体

ABCD（三棱锥A

BCD）的体积

VT

1V

1

176

88

6

6

3

（3）因为BC

2，2，2

，BD

4，4，4

i

j

k

BCBD2

2

2

i

16

j

0

k

16

4

4

4

所以BC

BD

162

162

16

2，这是平行四边形

BCED的面积

因此SBCD

1S□BCED

1

16

2

8

2

2

2

（4）设点A到平面BCD的距离为H，由立体几何使得三棱锥A

BCD的体积

VT

1SBCD

H

3

3

88

11

11

2

所以H

3VT

3

SBCD8

2

2

2

1．求经过点A（3,2,1）和B（

1,2,

3）且与坐标平面

xOz垂直的平面的方程．

解：

与xoy平面垂直的平面平行于

y轴，方程为

Ax

Cz

D

0

（1）

把点A3，2，1和点B1，2，3代入上式得

3ACD0

A3CD0

（2）

（3）

由

（2），（3）得A

D,C

D

2

2

D

D

D

0

代入

（1）得

x

z

2

2

消去D得所求的平面方程为

x

2

z

0

2．求到两平面

:

3x

y

2z6

0和

:

x

y

z

1距离相等的点的轨迹方程．

2

5

1

解；设动点为M

x,y,z，由点到平面的距离公式得

3zy2z6

5x2y10z10

32

2

22

2

22

2

1

5

10

所以

3x

y2z

6

14

5

2

y

10

z

10

129

x

3．已知原点到平面

的距离为120,且

在三个坐标轴上的截距之比为

2:

6:

5,求

的

方程．

解：

设截距的比例系数为

k，则该平面的截距式方程为

x

y

z

1

2k

6k

5k

化成一般式为

15x5y

6z

30k

0

又因点O0,0,0

到平面

的距离为120，则有

30k

120

152

52

62

求出k4286

所以，所求平面方程为

15x

5y

6z

120

286

0

5．已知两平面

:

mx

7y

6z

24

0与平面

:

2x

3my

11z19

0相互垂直，求m

的值．

解：

两平面的法矢分别为

n1

m,

1,

6

，n2

2,

3m,11，由n1⊥n2，得

2m

21m

66

0

求出m

66

19

6．已知四点A（0,0,0）,B（,2,5,3）,C（0,1,2）,D（2,0,7）,求三棱锥DABC中ABC

面上的高．

解：

已知四点A0,0,0,B2,5,3,C0,1,2,D2,0,7,则

DA2,0,7,DB0,5,4,DC2,1,9

由DA,DB,DC为邻边构成的平行六面体的体积为

2

0

7

VDA,DB,DC

0

5

4

2

1

9

90

0

0

70

0

8

90

70

8

28

由立体几何可知，三棱锥

D

ABC的体积为

VD

ABC

1V

1

28

14

设D到平面ABC的高为H

6

6

3

则有

VD

ABC

1H

SABC

3

所以

H

3VD

ABC

SABC

又AB

2,5,3,AC

0,1,

2

i

j

k

ABAC

2

5

3

7i

4j

2k

0

1

2

所以，SABC

1

AB

AC

1

72

42

22

1

69

2

2

2

3

14

28

28

69

因此，H

3

1

69

69

69

2

7．已知点A在z轴上且到平面

:

4x

2y

7z

140的距离为7,

求点A的坐标．

解：

A在z轴上，故设A的坐标为（00z

），由点到平面的距离公式，得

7z

14

7

42

22

72

所以7z1469

则z269

那么A点的坐标为A0,0,269

8．已知点．A在z轴上且到点B（0,2,1）与到平面:

6x2y3z9的距离相等,求点A

的坐标。

解：

A在z轴上，故设

A的坐标为

0,0,z，由两点的距离公式和点到平面的距离

公式得02

22

1z2

3z9

62

2

32

2

化简得40z

因为74

2

2

74z2290

440229311640

方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。

1．求经过点P（1,2,0）且与直线

x

1y1

z

1和x

y

z1都平行的平面的方

1

1

0

1

1

0

程．

解：

两已知直线的方向矢分别为

v1

1，1，0，v2

1，1，0

，平面与直线平行，则平面的法

矢a

A，B，C与直线垂直

由a⊥v1，有AB00

（1）

由a⊥v2，有AB00

（2）

联立

（1），

（2）求得A0,B

0,只有C0

又因为平面经过点P1，2，0，代入平面一般方程得

0102C0D0

所以D0

故所求平面方程Cz0，即z0，也就是xoy平面。

2．求通过点P（1，0，-2）

，而与平面3x-y+2z-1=0

平行且与直线x1

y3

z相交的直

4

2

1

线的方程．

解：

设所求直线的方向矢为

vm，n，p，

直线与平面3x2z1

0平行，则v⊥n，有

3m

n

2p

0

（1）

直线与直线x

1y3

z相交，即共面

4

2

1

m

n

p

则有

4

2

1

0

1

1

3

0

0

2

所以

7m

8n120

（2）

由

（1），

（2）得

m

2

2

n

p

，即m

n

p

1

3

3

1

4

50

31

8

12

12

7

7

8

取m4，n

50，p

31，得求作的直线方程为

x

1

y

z

2

4

50

31

3．求通过点A（0,0,0）与直线x3

y

4

z

4的平面的方程．

2

1

1

解：

设通过点A（0,0,0）

的平面方程为

A（x

0）

B（y

0）C（z0）0

即

Ax

By

Cz

0

（1）

又直线x

3

y

4

z

4在平面上，则直线的方向矢

v与平面法矢n垂直

2

1

1

所以

2A

B

C

0

（2）

直线上的点

3,

4,4

也在该平面上，则

3A4B

4C

0

（3）

由

（1），

（2），（3）得知，将A,B,C作为未知数，有非零解的充要条件为

x

y

z

2

1

1

0

3

4

4

即8x5y11z0，这就是求作的平面方程。

4．求点P（1,

1,0）到直线x2

yz

1的距离．

1

1

0

解：

点A2,0,

1在直线上，直线的方向矢

v1,1,0

AP1,1,1,则AP与v的夹角为

APv

1

1

0

0

cos

12

12

12

12

12

APv

所以900

因此点P1,1,0

到直线的距离为d

AP

12

12

12

3

5．取何值时直线

3x

y

2z

6

0

x

4y

z

15

与z轴相交?

0

3xy2z60

0，0，z，

解：

直线

4y

z

15

与z轴相交，则有交点坐标为

x

0

由直线方程得

2z

6

0

，求得

5

z150

7．求过点（

3,25）

且与两平面x

4z

3和3xyz

1平行直线方程．

解：

与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行，则直线的方向矢垂直于这两平面法矢所确定的平面，即直线的方向矢为

i

j

k

vn1

n2

10

4

4i13jk

3

1

1

将已知点代入直线的标准方程得

x

3

y

2

z

5

4

13

1

8．一平面经过直线（即直线在平面上）l

：

x

3

5y2z，且垂直于平面