矢量分析与场论课后答案.docx
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矢量分析与场论课后答案
矢量分析与场论课后答案
矢量分析与场论
习题1
1（写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1
xatybt,,cos,sin,,
2xtytzt,,,3sin,4sin,3cos,,
1解：
，其图形是平面上之椭圆。
ratibtj,,cossinxOy,,
其图形是平面与圆柱面rtitjtk,,,3sin4sin3cos430xy,,2,,
222xz,,3之交线，为一椭圆。
223,,,rtitjtk解：
曲线的矢量方程为3
dr2,i,2tj,2tk则其切向矢量为dt
dr2421|,1,4t,4t,1,2t模为dt
2drdri,2tj,2tk
/H,于是切向单位矢量为2dtdtl,2t
2t,6（求曲线在处的一个切向矢量。
xatyatzat,,,sin,sin2,cos,4
2ratiatjatk,,,sinsin2cos解：
曲线矢量方程为
dr,,,,,atiatjatksin22cos2sin切向矢量为dt
d2rt,在处，,,,,aiak,4t,4d2t
22t,27.求曲线在对应于的点M处的切线方程和x,t,l,y,4t,3,z,2t,6t法平面方程。
22r,（t,l）i,（4t,3）j,（2t,6t）k,M（5,5,,4）,解:
由题意得曲线矢量方程为
dr在的点M处,切向矢量t,2,,,[2ti,4j,（4t,6）k],4i,4j,2kt,2dtt,2
y,oy,ox,5z,4x,5z,4于是切线方程为，，，即，，442221于是法平面方程为，即2（x,5）,2（y,5）,（z,4）,0
2x,2y,z,16,0
238（求曲线上的这样的点，使该点的切线平行于平面。
xyz,,,24rtitjtk,,,
dr2解：
曲线切向矢量为，？
，，，，，23itjtkdt
平面的法矢量为，山题知nijk,,,2
22,,,,,,,niktt,,itjtk2302j,,,143,,,,
得。
将此依次代入?
式，得3
111
丨，；lit,,,,,i,j,k,,,i,j,kt,,39273
111,,,,,,1,11,,,故所求点为，，，，3927,,
习题2
1（说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。
11u,;,,AxByCzD,,,
z2,sinuarc,,22,xy
lAxByCzD,,,,0解:
场所在的空间区域是除外的空间。
，，
等值面为
11,C或Ax,By,Cz,D,,0,这是与平（C,0为任意常数）llAx,By,Cz,DC1
面平行的空间。
AxByCzD,,,,0
2222场所在的空间区域是除原点以外的的点所组成的空间部分。
，，z〉
222222等值面为，z,（x,y）sinc,（x,y,0）
当时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）；sinOc,
当时，是除原点外的平面。
sinOc,xOy
22xy,Ml,l,2u,2（求数量场经过点的等值面方程。
，，z
Ml,1,2解:
经过点等值面方程为，，
2222xy,,llu,,,1,z2
22即，是除去原点的旋转抛物面。
zxy,,
（已知数量场，求场中与直线相切的等值线方程。
3xy,,,240uxy,
xy,解:
设切点为，等值面方程为，因相切，则斜率为xycxy,,,,0000ylOk,,,,,即x,2y00x20
xy,点在所给直线上，有，，00
xy,,,24000
解之得yx,,1,200
xy,2故
2224（求矢量的矢量线方程。
Axyixyjzyk,,,
解矢量线满足的微分方程为Adr,,0,
dxdydz或，，222xyxyzy
dxdzxdx,ydy,，.有xz
22,x,y,C,1解之得（C,C为任意常数）,12z,Cx2,
225.求矢量场通过点的矢量线方程。
（2,1,1）MA,xi,yj,（x,y）zk
dxdydz,,.解矢量线满足的微分方程为22x,yzxy（）
dxdyll由,，得，，C122xyxy
（）dx,ydzd（x,y）dz,,按等比定理有即解得，.x,y,Cz.222（x,y）zx,yx,yz
11,,,,Cl,lxy故矢量线方程为又求得C,,,C,1M（2,1,1）,122,x,y,Cz2,
Ul,,,,xy2.故所求矢量线方程为，
x,y,z,
习题3
23224M2,0,1,1（求数量场在点处沿的方uxzyz,,2,,lxixyjzk,,,23
向导数。
241xixyjzkik,,,,,2343解:
因,其方向余弦为,,MM
43cos,,,cos,,0,cos,八55
u,u,u3222M（2,0,,1）在点处有,2xz,,4,,4yz,0,,3xz,2y,12,,x,y,z
u43,,（,4）,0,0,,12,4所以,155
2223M1,1,1,t2（求数量场在点处沿曲线朝uxzxyz,,,3,,xtytzt,,,,,,
增大一方的方向导数。
u解:
所求方向导数，等于函数在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。
曲线上点
M所对应的参数为，从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为t,1
dydxdz2,,1,,,2t,,2,,3t,3t,It,ldtdtdtMMM
123其方向余弦为cos,,,cos,八,cos,,.
141414,u,u,u2,（6xz,y）,7,,,x,,1,,（3x,2z）,5又。
MMM,x,y,zMMM
于是所求方向导数为
u,u,u,ul,2324,（cos,cos,cos）,7,,（,1）,,
5,,,,,lxyz,,,,14141414MM
23M2,1,1,3（求数量场在点处沿哪个方向的方向导数最大，，，uxyz,
u0解：
gradgradcos,,ulu,,,1
,0当时，方向导数最大。
u,u,ugradu,（i,j,k）M,x,y,zM
32322,（2xyzi,xzj,3xyzk）,,4i,4j,12k,M
gradu,,4i,4j,12k即函数沿梯度方向的方向导数最大uM
最大值为。
gradu,176,411M
13122u,（x,y）u,0,,1,,24.画出平面场中的等值线,并画出场在与点
M（2,2）1222
处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：
M（3,7）2
（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；
u
（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向增大的方向。
2222x,y,0,x,y,1,
2222x,y,2,x,y,3,解:
所述等值线的方程为:
其中第一个乂可以写为
22x,y,4,
0xx,y,0,x,y,0为二直线,其余的都是以轴为实轴的等轴双曲线
（如下图，
图中G,gradu,1M1
）G,gradu,2M2
山于gradu,xi,yj,
故
gradu,2i,2j,Ml
gradu,3i,7j,M2
由图可见，其图形都符合所论之事实。
Pl,2,33（用以下二法求数量场在点处沿其矢径方向的方向导数。
uxyyzzx,
1直接应用方向导数公式；，，
2作为梯度在该方向上的投影。
，，
lr,14.解:
点P的矢径其模其方向余弦为r,i,2j,3k,,,
123又cos,,,cos,,,cos,…
141414,u,u,u,（y,z）,5,,（x,z）,4,,（x,y）,3PPP,x,y,zPPP
uuuu,（cos,cos,cos）,lxyzPP所以
123225,,4,,3,,。
14141414
u,u,u2gradu,（i,j,k）,5i,4j,3k,,,P,x,y,zP
rl230r,,i,j,k.rl41414
U123220,gradu,r,5,,4,,3,,o故P,114141414P
2226,求数量场在点与点0（0,0,0）A（l,1,l）u,x,2y,3z,xy,3x,2y,6z处梯度的大小和方向余弦。
乂问在哪些点上梯度为0,解：
gradu,（2x,y,3）i,（4y,x,2）j,（6z,6）k,
gradu,3i,2j,6k,gradu,6i,3j,Ok,0A
222222其模依次为：
3,（,2）,（,6）,7,6,3,0,35
326gradu于是的方向余弦为cos,,,cos,，八cos,,,.0777
21gradu的方向余弦为cos,,,cos,,,cos,,0.A55
2x,y,3,0,,
，求使之点，即求坐标满足之点，由此解得gradu,04y,x,2,0,,
6z,6,0,
故所求之点为x,,2,y,1,z,1（,2,1,1）.
27（通过梯度求曲面上一点处的法线方程。
M（l,,2,3）xy,2xz,4
2解:
所给曲面可视为数量场的一张等值面，因此，场在点uu,xy,2xz
处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即M
2gradu,（2xy,2z）i,xj,2xk,2i,j,2k,MM
x,ly,2z,3,故所求的法线方程为212
习题4
2222r,xi,yj,zkl.设S为上半球面求矢量场向上穿过S的通量x,y,
z,a（z,0）,
o【提示:
注意S的法矢量n与r同指向】，
解：
23,,r,dS,rdS,rdS,adS,a,2,a,2,a.n,,,,,,,,
SSSS
2222v,（x,y,z）k2.设S为曲面求流速场在单位时间内下x,y,z,a（0,z,h）,侧穿S的流量Q。
22Q,（x,y,z）dxdy,,（x,y,x,y）dxdy,解：
其中D为S在xOy面上的,，，,SD
222Q,,（rcos,,rsin,,r）rdrd,投影区域:
用极坐标计算，有x,y,h.,,
32,2h2,hhl2232,,,d（rcos,,rsin,,r）dr,,[（cos,,
sin,）,Jd,,,,h.,,,000342
223.设S是锥面z,x,y在平面z,4的下方部分，求矢量场向A,4xzi,yzj,
3zk下穿出S的通量。
，
解:
略
4.求下面矢量场A的散度。
323
（1）A,（x,yz）i,（y,xz）j,（z,xy）k;
（2）A,（2z,3y）i,（3x,z）j,（y,2x）k;
（3）A,（1,ysinx）i,（xcosy,y）j・
22解：
（1）divA,3x,2y,3z
divA,0
（2）
divA,ycosx,xsiny,1（3）
333divA5.求在给定点处的值：
（1）A,xi,yj,zk在点M（l,0,,l）处；
2
（2）A,4xi,2xyj,zk在点M（l,1,3）处；
（3）A,xyzr（r,xi,yj,zk）在点M（l,3,2）处;
222divA,（3x,3y,3z）,6解：
⑴MM
divA,（4,2x,2z）,8
（2）MM
divA,xyzdivr,grad（xyz）,r,3xyz,（yzi,xzj,xyk）,（xi,yj,zk）（3）
divA,6xyz,36,6xyz,故。
MM
2326.已知求。
div（uA）u,xyz,A,xi,xzj,2yzk,
解：
divA,2x,2y
23322gradu,yzi,2xyzj,3xyzk
故div（uA）,udivA,gradu,A
23233222,xyz（2x,2y）,（yzi,2xyzj,3xyzk）（xi,xzj,2yzk）
2232332232433,2xyz,2xyz,xyz,2xyz,6xyz
22323324,3xyz,8xyz,2xyz.
7（求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量：
，
3332222
（1）A,xi,yj,zk,S为球面x,y,z,a;
222xyz
（2）A,（x,y,z）i,（y,z,x）j,（z,x,y）k,S为椭球面,,,1.222abc
222.,A,dS,divAdV,3（x,y,z）dV解：
（1）,,,,,,,,
5.,
2222其中为S所用之球域今用极坐标,x,y,z,a
x,rsin,cos,,y,rsin,sin,,z,rcos,计算，有
,a2122245,3rrsindrdd3dsindrdra,0005,
4,3dV,3,,abc,4,abc
（2）,,A,dS,divAdV,,,,,,,,3,S,
习题五
F,,yi,zj,xkl:
x,acost,y,asint,1（求一质点在力场的作用下沿闭曲线
t,0到t,2,z,a（l,cost）从运动一周时所做的功。
W,F,dl,,ydx,zdy,xdz解：
功,,11
2,2222八,asint,a（l,cost）cost,acostsintdt,0
2,22,a（l,cost,costsint）dt,2,a,0
2.求矢量场沿下列曲线的环量:
A,,yi,xj,Ck（C为常数）
222
（1）圆周；x,y,R,z,0
222
（2）圆周。
（x,2）,y,R,z,0
222解：
（1）令x,Rcos,,则圆周的方程成为x,y,R,z,0
于是环量X,Rcos,,y,Rsin,,z,0
2,2222,,A,dl,,ydx,xdy,Cdz,（Rsin,,Rcos,）d,,2,R.八,Oil
222x,2,Rcos,
（2）令,则圆周的方程成为（x,2）,y,R,z,0
于是环量X,Rcos,,2,y,Rsin,,z,0
2,22,,A,dl,,ydx,xdy,Cdz,[Rsin,,（Rcos,,2）Rcos,Jd,,,,Oil
222,（R,2Rcos,）d,,2,R,0
3.用以下两种方法求矢量场A,x（z,y）i,y（x,z）j,z（y,x）k在点M（l,2,3）处沿方
n,i,2j,2k向的环量面密度。
（1）直接应用环量面密度的计算公式；
（2）作为旋度在该方向上的投影。
nl221220cos,,,cos,,,cos,,.n,,i,j,k,解：
（1）故n的方向余弦为333n333
P,x（z,y）,Q,y（x,z）,R,z（y,x）又根据公式,环量面密度,,[（R,Q）cos,,
（P,R）cos,,（Q,P）cos,]nyzzxxyMM
12258619,[（,）,（,）,（,）],,,,zyxzxyM3333333
rotA,[（z,y）i,（x,z）j,（x,y）k],5i,4j,3k,
（2）于是MM
1220,,rotA,n,（5i,4j,3k）,（i,j,k）nMM333
58619,,,,3333
4（用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。
232
（1）A,（3xy,z）i,（y,xz）j,2xyzk;
222
（2）A,yzi,zxj,xyk;
（3）A,P（x）i,Q（y）j,R（z）k.
2,,xyx6312,,22divA,6xy,3y,2xy,（8x,3y）y,解:
（1）故有DA,,zy,xz32,,,
,yzxzxy222,,
224xzi,（1,2yz）j,（z,3x）k.rotA,
2,,zyz02
,2divA,
（2）故有0,0,0,0,DA,xzx20,,,
2、,yxy20,,
x（2y,x）i,y（2z,y）j,z（2x,z）k.rotA,
',,Px（）00
,''''divA,（3）故有DA,QyO（）0,P（x）,Q（y）,R（z）.,,
',,Rz00（）,,
rotA,0o
xyz222rotuA・5・已知求u,e,A,zi,xj,yk,rotuA,urotA,gradu,A解:
002z,,xyz,,rotA,2yi,2zj,2xk,urotA,e（2yi,2zj,2xk）,有DA,2x00,,,,,02y0,,
xyzgradu,Agradu,e（yzi,xzj,xyk）,
ijk
xyzxyz232323,eyzxzxy,e[（xyz,xy）i,（xyz,yz）j,（xyz,xz）k],
222zxy
xyz232323rotuA,e[（2y,xyz,xy）i,（2z,xyz,yz）j,（2x,xyz,xz）k]
习题六1.证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。
（1）A,ycosxyi,xcosxyj,sinzk;
22
（2）A,（2xcosy,ysinx）i,（2ycosx,xsiny）j.解:
（1）记
P,ycosxy,Q,xcosxy,R,sinz・
ijk
,,贝ijrotA,,Oi,0j,[（cosxy,xysinxy）,（cosxy,xysinxy）Jk,0,x,y,z
PQR
所以A为有势场。
下面用两种方法求势函数：
v
xyzOv,,P（x,0,0）dx,Q（x,y,0）dy,R（x,y,z）dz,Cl公式法：
1,八000
xyz,,Odx,xcosxydy,sinzdz,C1,,,000
0,sinxy,cosz,1,C,cosz,sinxy,C・1
02A,,gradv不定积分法:
因势函数满足，即有v
v,,ycosxy,v,,xcosxy,v,,sinz,xyz
V,,sinxy,,（y,z）,x将第—个方程对积分，得
'v,,xcosxy,,（y,z）对求导，得，与第二个方程比较，知yyy
'，（y>z）,,（z）,v,,sinxy,,（z）.于是从而,（y,z）,0,y
'',（z）,cosz,C.V,,（z）,z再对求导，得与第三个方程比较，知，
故,（z）,,sinzz
v,cosz,sinxy,C・所以
22
（2）记P,2xcosy,ysinx,Q,2ycosx,xsiny,R,0.
则
ijk
,,rotA,,Oi,Oj,[（,2ysinx,2xsiny）,（,2xsiny,2ysinx）Jk,0,x,y,z
PQR
所以A为有势场。
下面用两种方法求势函数：
v
xyzO公式法：
v,,P（x,0,0）dx,Q（x,y,0）dy,R（x,y,z）dz,Cl,,,000
xyz2,,2xdx,（2ycosx,xsiny）dy,Odz,C,,,000
222222,,x,ycosx,xcosy,x,C,,ycosx,xcosy,C・
0不定积分法:
因势函数满足，即有2A,,gradvv
22v,,2xcosy,ysinx,v,,2ycosx,xsiny,v,0,xyz
22将第一个方程对积分，得xv,,xcosy,ycosx,,（y,z）,
2'v,xsiny,2ycosx,,（y,z）对求导，得，与第二个方程比较，知yyy
'22于是从而，（y,z）,,（z）,,（y,z）,0,v,,xcosy,ycos,,（z）.y
八再对求导，得与第三个方程比较，知，故,（z）,C.v,,（z）,z,（z）,0z
22所以v,,xcosy,ycosx,C.
2.下列矢量场A是否保守场，若是，计算曲线积分：
Adl,l
2221A（4,0,1）,
（1）,的起点为终点为A,（6xy,z）i,（3x,z）j,
（3xz,y）kB（2,1,,1）；
2221A（3,0,1）,B（5,,1,3）.
（2）,的起点为终点为A,2xzi,2yzj,（x,2yz,l）k
2.,yxz663
，解:
（1）DA,x,有601,,,
2.,z,xz316,,
22rotA,[（,1）,（,l）]i,（3z,3z）j,（6x,6x）k,0,故为保守场。
因此，存在
AA,dl的原函数u。
按公式
xyzu,P（x,0,0）dx,Q（x,y,0）dy,R（x,y,z）dz,,,000
xyz2223于是,Odx,3xdy,（3xz,y）dz,3xy,xz,yz,,,,000
B（2,1,,1）23oAdi,（3xy,xz,yz）,7,A（4,0,1）1
zx202,,
,2rotA,（4yz,4yz）i,（2x,2x）j,Ok,0,
（2）有故为保DA,zyzA024,,,
2,,xyzy242,,
A,dl的原函数u守场。
因此，存在。
按公式
xyzu,,P（x,0,0）dx,Q（x,y,0）dy,R（x,y,z）dz,,,000
xyz22222,Odx,Ody,（x,2yz,1）dz,xz,yz,z,于是,,,000
B（5,,1,3）222Adl,（xz,yz,z）,73.。
A（3,0,1）1
3.求下列全微分的原函数：
u
222
（1）du,（x,2yz）dx,（y,2xz）dy,（z,2xy）dz;
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