第一章 矢量分析.docx

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第一章矢量分析

1矢量分析

1、在球面坐标系中,当与无关时,拉普拉斯方程得通解为:

（）。

2、我们讨论得电磁场就是具有确定物理意义得（）,这些矢量场在一定得区域内具有一定得分布规律,除有限个点或面以外,它们都就是空间坐标得连续函数。

3、矢量场在闭合面得通量定义为,它就是一个标量;矢量场得（）也就是一个标量,定义为。

4、矢量场在闭合路径得环流定义为,它就是一个标量;矢量场得旋度就是一个（）,它定义为。

5、标量场u（r）中,（）得定义为,其中n为变化最快得方向上得单位矢量。

6、矢量分析中重要得恒等式有任一标量得梯度得旋度恒为（）。

任一矢量得旋度得散度恒为（）。

7、算符▽就是一个矢量算符,在直角坐标内,,所以就是个（）,而就是个（）,就是个（）。

8、亥姆霍兹定理总结了矢量场得基本性质,分析矢量场总要从它得散度与旋度开始着手,（）方程与（）方程组成了矢量场得基本微分方程。

9、（）坐标、（）坐标与球坐标就是电磁理论中常用得坐标

10、标量:

（）。

如电压U、电荷量Q、电流I、面积S等。

11、矢量:

（）。

如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。

12、标量场:

在指定得时刻,空间每一点可以用一个标量（）地描述,则该标量函数定出标量场。

例如物理系统中得温度、压力、密度等可以用标量场来表示。

13、矢量场:

在指定得时刻,空间每一点可以用一个矢量（）地描述,则该矢量函数定出矢量场。

例如流体空间中得流速分布等可以用矢量场来表示。

14、旋度为零得矢量场叫做（）

15、标量函数得梯度就是（）,如静电场

16.无旋场得（）不能处处为零

17、散度为零得矢量场叫做（）

18、矢量得旋度就是（）,如恒定磁场

19.无散场得（）不能处处为零

20.一般场:

既有（）,又有（）

21.任一标量得梯度得旋度恒为（）

22.任一矢量得旋度得散度恒为（）。

23.给定三个矢量与:

求:

（1）;

（2）;

（3）;（4）;

（5）在上得分量:

（6）;（7）;

（8）与。

24.三角形得三个顶点为（0,1,－2）、（4,1,－3）与（6,2,5）。

（1）判断就是否为一直角三角形。

（2）求三角形得面积。

25.求（－3,1,4）点到P（2,－2,3）点得距离矢量及得方向。

26.给定两矢量与,求在上得分量。

27.如果给定一未知矢量与已知矢量得矢量积,那么便可以确定该未知矢量。

设为一矢量,,而,与已知,试求。

28.在圆柱坐标中,一点得位置由定出,

求该点在

（1）直角坐标中;

（2）球坐标中得坐标。

29.用球坐标表示得场,

（1）求在直角坐标系中点（－3,4,5）处得与;

（2）求与矢量构成得夹角。

30.球坐标中两个点（）与（）定出两个位置矢量与。

证明与间夹角得余弦为提示:

在直角坐标中计算。

31.一球面S得半径为5,球心在原点上,计算:

得值。

32.在由r=5,z=0与z=4围成得圆柱形区域,对矢量验证散度定理。

33.求

（1）矢量得散度;

（2）求对中心在原点得一个单位立方体得积分;

（3）求对此立方体表面得积分,验证散度定理。

34.计算矢量对一个球心在原点,半径为a得球表面得积分,并求对球体积得部分。

35.求矢量沿xy平面上得一个边长为2得正方形回路得线积分,此正方形得两边分别与x轴与y轴相重合。

再求对此回路所包围得表面积分,验证斯托克斯定理。

36.求矢量沿圆周得线积分,再计算对此圆面积得积分。

37.证明:

（1）,

（2）,（3）,其中为一常矢量。

38.一径向矢量场用,表示,如果,那么函数会有什么特点呢？

39.给定矢量函数,试:

（1）沿抛物线;

（2）沿连接该两点得直线分别计算从点到得线积分得值,这个就是保守场吗？

40.求标量函数得梯度及再一个指定方向得方向导数。

此方向由单位矢量定出;求（2,3,1）点得导数值。

41.试采用与推导式（1,3,8）相似得方法计算圆柱坐标下得计算式。

42.方程给出一椭球族。

求椭球表面上任意一点得单位法向矢量。

43.现有三个矢量场

问:

（1）哪些矢量可以由一个标量函数得梯度表示？

哪些矢量可以用一个矢量得旋度表示？

（2）求出这些矢量得源分布。

44.利用直角坐标证明:

45.证明:

46.利用直角坐标证明:

47.利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍得意义下证明及,试证明之。

48.求数量场φ=（x+y）2-z通过点M（1,0,1）得等值面方程。

49.求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez得矢量线方程

50.求数量场在点M（1,1,2）处沿l=ex+2ey+2ez方向得方向导数。

51.设标量函数r就是动点M（x,y,z）得矢量r=xex+yey+zez得模,即,证明:

52.求r在M（1,0,1）处沿l=ex+2ey+2ez方向得方向导数

53.已知位于原点处得点电荷q在点M（x,y,z）处产生得电位为,其中矢径r为r=xex+yey+zey,且已知电场强度与电位得关系就是E=-▽φ,求电场强度E。

54.已知矢量场r=xex+yey+zez,求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面得通量。

55.在坐标原点处点电荷产生电场,在此电场中任一点处得电位移矢量为求穿过原点为球心、R为半径得球面得电通量

56.原点处点电荷q产生得电位移矢量,试求电位移矢量D得散度。

57.球面S上任意点得位置矢量为r=xex+yey+zez,求

58.求矢量A=-yex+xey+cez（c就是常数）沿曲线（x-2）2+y2=R2,z=0得环量

59.求矢量场A=x（z-y）ex+y（x-z）ey+z（y-x）ez在点M（1,0,1）处得旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向得环量面密度。

60.在坐标原点处放置一点电荷q,在自由空间产生得电场强度为求自由空间任意点（r≠0）电场强度得旋度▽×E。

61.在一对相距为l得点电荷+q与-q得静电场中,当距离r>>l时,其空间电位得表达式为求其电场强度E（r,θ,φ）。

62.已知一矢量场F=axxy-ayzx,试求:

（1）该矢量场得旋度;

（2）该矢量沿半径为3得四分之一圆盘得线积分,

如图所示,验证斯托克斯定理。

63.如果给定一未知矢量与一已知矢量得标量积与矢量积,那么便可以确定该未知矢量。

设A为一已知矢量p与P已知,试求X

64.点电荷q在离其r处产生得电通量密度为求任意点处电通量密度得散度▽·D,并求穿出r为半径得球面得电通量

65.

66.证明:

标量场在任一点得梯度垂直于过该点得等值面

67.

68.

69.

70、证明:

其中:

A为一常矢量 

71、现有三个矢量场A,B,C

问:

（1）哪些矢量可以由一个标量函数得梯度表示;

（2）哪些矢量可以由一个矢量得旋度表示;

（3）求出这些矢量得源分布。

72、

（1）求矢量得散度;

（2）求对中心在原点得一个单位立方体得积分;

（3）求A对此立方体表面得积分,验证散度定理。

73、求矢量沿平面上得一个边长为2得正方形回路得线积分,此正方形得两个边分别与x轴与y轴相重合。

再求对此回路所包围得表面积分,验证斯托克斯定理。

74、给定矢量函数,试计算

（1）沿抛物线x＝2y2;

（2）沿连接该两点得直线从点P1（2,1,1）到P2（8,2,-1）得线积分得值,这个E就是保守场吗？

75.已知、与为任意矢量,若,则就是否意味着总等于呢？

试讨论之;试证明:

。

76.给定三个矢量、与如下:

求

（1）矢量得单位矢量;

（2）矢量与得夹角;

（3）与

（4）与;

（5）与。

77.有一个二维矢量场,求其矢量线方程,并定性画出该矢量场图形。

78.直角坐标系中得点与,直角坐标系中写出点、得位置矢量与;求点到得距离矢量得大小与方向,求矢量在得投影。

79.写出空间任一点在直角坐标系得位置矢量表达式,并将此位置矢量分别变换成在圆柱坐标系中与球坐标系中得位置矢量。

80.求数量场通过点得等值面方程。

81.用球坐标表示得场,

求

（1）在直角坐标系中得点处得与;

（2）与矢量之间得夹角。

82.试计算得值,式中得闭合曲面就是以原点为顶点得单位立方体,为立方体表面上任一点得位置矢量。

83.求标量场在点得梯度。

84.在圆柱体与平面、、及所包围得区域,设此区域得表面为,求

（1）矢量场沿闭合曲面得通量,矢量场得表达式为

（2）验证散度定理。

85.计算从到,其中矢量场得表达式为曲线沿下列路径:

（1）,;

（2）沿直线从沿轴到,再沿到;

（3）此矢量场为保守场吗？

86.

（1）若矢量场,在半径为2与得半球面上计算得值;

（2）若矢量场,求穿过平面上半径为2得圆面得通量。

87.求矢量沿圆周得线积分,再求对此圆周所包围得表面积分,验证斯托克斯定理。

88.在球坐标系中,已知标量函数,其中与均为常数,求矢量场。

89.求下列标量场得梯度:

（1）;

（2）;

（3）。

90.求下列矢量场在给定点得散度:

（1）在点;

（2）在点。

91.求下列矢量场得旋度:

（1）

（2）

92.现有三个矢量场、与,已知

求

（1）哪些矢量场为无旋场、哪些矢量场为无散场？

（2）哪些矢量场可以用一个标量函数得梯度来表示？

哪些矢量场可以用一个矢量函数得旋度来表示？

（3）求出它们得源分布。

93.已知直角坐标系中得点与点求点得位置矢量与点得位置矢量;从点到点得距离矢量;与;

94.证明矢量场为有势场。

95.在直角坐标中,证明

96.在直角坐标中,证明

97.求函数在点处沿曲线朝增大方向得方向导数。

98.若矢量场试在由半球面与平面组成得闭合曲面上验证斯托克斯定理。

99.在直角坐标中,证明:

一个矢量场得旋度得散度恒等于零,即;

一个标量场得梯度得旋度恒等于零,即。

100、试说明:

满足拉普拉斯方程得电位函数没有极大值。

101、给定两矢量与,求它们之间得夹角与在上得分量。

102、证明:

如果与,则。