复变函数论及其应用9解读.docx
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复变函数论及其应用9解读
主要内容
一、复数的几种表示及运算；区域，曲线；初等复变函数.
二、柯西-黎曼方程：
（1）判断可导与解析，求导数;
（2）构造解析函数.
三、柯西积分公式，柯西积分定理，高阶导数公式.
四、洛朗展式.
五、
留数：
（1）计算闭路积分;
（2）计算定积分；
六、保形映射：
（1）求象区域；
（2）构造保形映射.
七、Fourier变换的概念,6函数，卷积.
入、利用Laplace变换求解常微分方程（组）・
2013-9-23
（1）的模为
⑵Ln（—1）的值为_
一、填空题。
辐角主值为
-3+-I
e4的值为
（3）映射在Z二i处的旋转角为
伸缩率为。
⑷函数f（z）=+在区域D内解析的
充要条件为。
<5）z（4二3z）在5=1+i处展开成泰勒级数的
收敛半径为。
⑹z=0是f（z）=―1的（何种类型的奇点）。
ez—1z
⑺囂冷（Z-7l）3（Z+^）dZ=——°
⑻已知f（t）=—[<5（f+（0）+d（/—4）+/+才）+》（/一扌）],求沪[/（》）]=—。
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二、验证u（x,y）=2（x-l）y是z平面上的调和函数，并求以"（D）为实部的解析函数，使/⑵=—。
三、将函数/（z）=
・（—2）在一1与一2处展开为
洛朗级数。
四、计算下列各题:
z、广8COST,
⑷，Jo（X24-lXx2+9）dX
（5）・已知/卫）=e'ru（t）,f2（t）=tu（t）,求严f2（t）。
七、用拉氏变换求解方程：
r+J=Gj（0）=l,y（0）=-2
2013-9-235
二、验证u（x,y）=2（x-l）j>z平面上的调和函数，并求以”（兀,刃为实部的解析函数，使/⑵=—。
解：
⑴uxx=0,uyy=0,=>uxx+uyy=0,
故u（x,y）为调和函数
（2）方法一
ux=2J=vy^v=j2ydy+y24-（p{x}
uy=2x-2=-vx=—0（%）
（p（x）=—x24-2x+c,=>v=—x2+2x+y2+cf（z）=2（x一l）y+i（-x2+2x+y$+c）当x=2,j=0时，f（z）=-i,=>c=-l/（z）=2（x-l）y+i（-x2+2X+/-1）
二、验证u（x,y）=2（x-1”是Z平面上的调和函数，并求以u{x,y）为实部的解析函数，使/⑵=7。
解：
（1）uxx=0,uyy=0,=>uxx+uyy=0,
故u（x,y）为调和函数
（2）方法二
ux=2y=vy,uy=2x-2=-vx
dv=（-2x+2）dx+2ydy=d（-x2+2x+y2）
=>v=—x2+2x+y2+c
f（z）=2（x一l）y+i（-x2+2x+y$+c）
当X=2,J=0时，f（z）=-i9=>c=-
2013.9.23/⑺=2（兀一l）j+i（-x2+2X+/-1）
三、将函数在"1与"2处展开为
洛朗级数。
解：
⑴在z=l处
当ovlz-llvl时，
]|+8+8
/（z）=飞-l）（i"）=F萨I）"“普-I）"-1
当lz—ll>l时，
f（111
7■~（z-l）（l-（z-l））=（z-i）2]厂
当0vlz—2lvl时，
+00
/
（2）=工（一1）气2—2）〃一1
w=0
当Iz—2I>1时，
>00[
/
（2）=S（-1），，（—z）M+2
/i=oZ_2
解：
方法一：
利用留数求解
z=0为二级极点，
原式=县2方limL兰警）'=1
2mz->oz
方法二：
利用高阶导数公式求解
原式=疑*鬧仁=1
四、
（2）.j2ze~}dz
解：
Z=1为本性奇点，
宀（―）+叫占+為+站厂）
=•••+（—+1）+…
2z-1
■3
原式=2加£=3ni
2
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（•兀d0
四、（3）-h+SlI^
觀.Cd0-Pd（2〃）严d砂
解・⑴原式弍i+l-cos"=Jo3_cos2tf=Jo厂亦帀
2
dz
2zJ
（2）有两个一级极点Zi=3-2、2
乞=3+2返（舍去）
=L=i
7=
IZ
1
（3）原式=2i・27ri=丁
zt-z2a/2
2u
•+00四、⑷・丄
COST,
93dx
（x2+lXx2+9）
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四、⑸.已知/,（/）=e_/u（t）,f2（t）=tu（t）,求/!
（0*/2（0o
解：
f\（0515/2（o=f°°/i（t）/2（^-T）dr
当tvo时，
/i（o*/2a）=o；
当t>0时，
/1（f）*/2（Z）=JAY（'一T）^T
=（Z-l）+e"z
五、求区域D={z：
Rez>0,Ovlmzvl}在映射凶=—下的像。
z
解:
（z）
i^l
0T8
8T0
14-l—>号（1+t）
I-»1
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六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。
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七、用拉氏变换求解方程：
h+y=j（o）=i,y（o）=-2
解：
（1）对方程两边取拉氏变换得：
s2Y（s）一号（0）-M（0）+7（5）=4s2y（s）-5+24-y（s）=-y
w\s—21
"=^2+l+y2（s2+l）
YG）=+A■-
S+1S4-19S+1
（2）取拉氏逆变换得：
y（t）=cosf+f—3sinZ
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八、设函数/（z）在\z\炉-Iz—/（C,、―一、
2兀iEuz）（0_zg严~f（）9（）
证明：
（1）奇点G=z,・=——
Z
由于izivR,故e2在适1=尺外
一亠R2-\z\211（/（C）—
（2）左边=2加耒"（—）"一Z』*
一、⑴1，7T；
（2）（2氐+1）方，kwZ,e-3（—+—0
22
（3）兀，4;（4）u.v在D内可微，且满足C—R方程（5）罟；⑹可去奇点
（7）0；（8）cos^0+COS^^
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