函数模型及其应用.docx

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函数模型及其应用

函数模型及其应用

适用学科

数学

适用年级

高一

适用区域

通用

课时时长（分钟）

60

知识点

几类不同增长的函数模型的特点

用已知函数模型解决实际问题

建立函数模型解决实际问题

教学目标

了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．

了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用．

教学重点

了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程,了解函数模型的广泛应用

教学难点

建立函数模型刻画现实问题中数据的处理

教学过程

一、课堂导入

问题：

什么是函数模型，常用的函数模型有哪些？

二、复习预习

本节主要包括函数的模型、函数的应用以及函数模型的做法等知识点。

主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题。

常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。

用函数解应用题的基本步骤是：

（1）阅读并且理解题意.（关键是数据、字母的实际意义）；

（2）设量建模；

（3）求解函数模型；

（4）简要回答实际问题。

三、知识讲解

考点1几类函数模型

考点2理解函数应用问题的步骤

（1）审题：

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：

将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

（3）求模：

求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原：

将数学问题还原为实际问题的意义．

考点3函数模型的应用实例的基本题型

（1）给定函数模型解决实际问题；

（2）建立确定性的函数模型解决问题；

（3）建立拟合函数模型解决实际问题．

四、例题精析

考点一二次函数模型

例题1某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2m，

跳水板距水面CD的高BC为3m，CE＝5m，CF＝6m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应

在离起跳点hm（h≥1）时达到距水面最大高度4m，规定：

以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．

（1）当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；

（2）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．

【规范解答】

（1）由题意知最高点为（2＋h,4），h≥1，设抛物线方程为y＝a[x－（2＋h）]2＋4，

当h＝1时，最高点为（3,4），方程为y＝a（x－3）2＋4，将A（2,3）代入，得3＝a（2－3）2＋4，解得a＝－1.

∴当h＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y＝－（x－3）2＋4.

（2）将点A（2,3）代入y＝a[x－（2＋h）]2＋4得ah2＝－1，所以a＝－

.

由题意，得方程a[x－（2＋h）]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．

令f（x）＝a[x－（2＋h）]2＋4＝－

[x－（2＋h）]2＋4，

则f（5）＝－

（3－h）2＋4≥0，且f（6）＝－

（4－h）2＋4≤0.解得1≤h≤

.

达到压水花的训练要求时h的取值范围为[1，

]．

【总结与反思】实际生活中的二次函数问题（如面积、利润、产量等），可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图象、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域．

考点二指数函数模型

例题2诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：

1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19800万美元．设f（x）表示第x（x∈N＋）年诺贝尔奖发放后的基金总额（1999年记为f

（1），2000年记为f

（2），…，依次类推）．

（1）用f

（1）表示f

（2）与f（3），并根据所求结果归纳出函数f（x）的表达式；

（2）试根据f（x）的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．

（参考数据：

1.03129＝1.32）

【规范解答】

（1）由题意知，f

（2）＝f

（1）（1＋6.24%）－

f

（1）·6.24%＝f

（1）（1＋3.12%），

f（3）＝f

（2）（1＋6.24%）－

f

（2）·6.24%＝f

（2）（1＋3.12%）＝f

（1）（1＋3.12%）2，

∴f（x）＝19800（1＋3.12%）x－1（x∈N＋）．

（2）2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f（10）＝19800（1＋3.12%）9＝26136，

故2009年度诺贝尔奖各项奖金为

·

f（10）·6.24%≈136（万美元），与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．

【总结与反思】此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N（1＋p）x的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．

考点三分段函数模型

例题3某市居民自来水收费标准如下：

每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x（吨）．

（1）求y关于x的函数；

（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．

【规范解答】　

（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8（5x＋3x）＝14.4x；

当甲的用水量超过4吨时，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3（5x－4）＝20.4x－4.8.

当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，

y＝2×4×1.8＋3×[（3x－4）＋（5x－4）]＝24x－9.6.所以y＝

（2）由于y＝f（x）在各段区间上均单调递增；当x∈[0，

]时，y≤f（

）<26.4；当x∈（

，

]时，y≤f（

）<26.4；

当x∈（

，＋∞）时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.

所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5吨；付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70（元）；

乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70（元）．

【总结与反思】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．

五、课堂运用

【基础】

1、一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过多长时间，容器中的沙子只有开始时的八分之一？

【规范解答】当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝

a，∴e－8b＝

，

容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝

a，e－bt＝

＝（e－8b）3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min.

2、某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：

当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有多少个？

【规范解答】设要同时开放x个窗口才能满足要求，则

由①②，得

代入③，得60M＋8M≤8×2.5Mx，解得x≥3.4.故至少同时开放4个窗口才能满足要求．

【巩固】

1、在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中：

①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．

（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？

并求最大余额；

（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

【规范解答】解　设该店月利润余额为L，则由题设得L＝Q（P－14）×100－3600－2000，①

由销量图易得Q＝

代入①式得L＝

（1）当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；

当20

元，此时P＝

元．故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．

（2）设可在n年后脱贫，依题意有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20.

即最早可望在20年后脱贫．

2、某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿千瓦时）与（x－0.4）元成反比例．又当x＝0.65时，y＝0.8.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？

【规范解答】

（1）∵y与（x－0.4）成反比例，∴设y＝

（k≠0）．把x＝0.65，y＝0.8代入上式，

得0.8＝

，k＝0.2.∴y＝

＝

，即y与x之间的函数关系式为y＝

.

（2）根据题意，得（1＋

）·（x－0.3）＝1×（0.8－0.3）×（1＋20%）．整理，得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5，x2＝0.6.

经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．∵x的取值范围是0.55～0.75，

故x＝0.5不符合题意，应舍去．∴x＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.

【拔高】

1、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：

千米/时）是车流密度x（单位：

辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：

当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：

辆/时）f（x）＝x·v（x）可以达到最大，并求出最大值．

（精确到1辆/时）

【规范解答】

（1）由题意，当0≤x≤20时，v（x）＝60；当20≤x≤200时，设v（x）＝ax＋b，

再由已知得

　解得

故函数v（x）的表达式为v（x）＝

（2）依题意并由

（1）可得f（x）＝

当0≤x≤20时，f（x）为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；

当20

x（200－x）≤

2＝

，

当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以当x＝100时，f（x）在区间（20,200]上取得最大值

.

综上，当x＝100时，f（x）在区间[0,200]上取得最大值

≈3333，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．

2、某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x）万元，当年产量不足80千件时，C（x）＝

x2＋10x（万元）；当年产量不少于80千件时，C（x）＝51x＋

－1450（万元）．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．

（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

【规范解答】

（1）当0

－

x2－10x－250＝－

x2＋40x－250；

当x≥80，x∈N＋时，L（x）＝

－51x－

＋1450－250＝1200－（x＋

），

∴L（x）＝

（2）当0

（x－60）2＋950，∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950.

当x≥80，x∈N＋时，L（x）＝1200－（x＋

）≤1200－2

＝1200－200＝1000，

∴当x＝

，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000>950.

综上所述，当x＝100时，L（x）取得最大值1000，

即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．

课程小结

常见函数模型的理解

（1）直线模型：

即一次函数模型，其增长特点是直线上升（x的系数k>0），通过图像可以很直观地认识它．

（2）指数函数模型：

能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（a>1），常形象地称为“指数爆炸”．

注意：

指数函数y＝ax（a>1），从图像上看，在开始过程中增长缓慢，但随着x的逐渐增大，当x增加一个非常小的增量Δx，其函数值变化Δy会大得惊人，因此常称之为“指数爆炸”．

（3）对数函数模型：

能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长的较快（a>1），但随着x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．

（4）幂函数型函数模型：

能用幂函数表达的函数模型，其增长情况随xn中n的取值变化而定，常用的有二次函数模型．

（5）“对勾”函数模型，形如f（x）＝x＋

（a>0，x>0）的函数模型，在现实生活中也有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时利用函数的单调性求解最值．