凸函数的性质及其应用--毕业论文.doc
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凸函数的性质及其应用
摘要
凸函数是一类重要的函数，在数学规划中有着广泛的应用，本文给出了凸函数的三种等价定义，并讨论了凸函数的有关性质，以及它在不等式方面的相关应用。
[关键词]凸函数等价定义性质应用最优化
NatureandApplicationofConvexFunction
Abstract
Convexfunctionisanimportantfunctionandithasawideapplicationinmathematicprogramming.Thisessaygivesthreekindsofequaldefinitionsofconvexfunctionanddiscussessomerelativenatureofit.Anditalsodiscussessomerelativeapplicationsoninequality
[Keywards]ConvexfunctionThedefinitionofequivalencenatureapplicationOptimization
目录
绪论…………………………………………………
（1）
1凸函数的概念与等价定义…………………………
（1）
1.1凸函数的概念…………………………………
（1）
1.2凸函数的等价定义………………………………
（2）
2凸函数的简单性质……………………………………（3）
3凸函数的判定定理……………………………………（5）
4关于凸函数的几个重要不等式…………………………（7）
4.1Jensen不等式………………………………………（7）
4.2Hadamard不等式……………………………………（10）
5凸函数的应用…………………………………………（11）
5.1凸函数在证明不等式中的应用……………………（11）
般凸函数和凸集…………………………………（13）
广义凸函数求极小的问题…………………………（14）
5.4广义凸函数求极大的问题…………………………（16）
结束语………………………………………………………（19）
致谢…………………………………………………………（19）
参考文献……………………………………………………（20）
绪论
凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域,函数凸性是数学分析中的一个重要概念,它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。
运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。
运筹学的创始人定义运筹学是：
“管理系统的人为了获得关于系统运行的最优解而必须使用的一种科学方法。
”它使用许多数学工具（包括概率统计、数理分析、线性代数等）和逻辑判断方法，来研究系统中人、财、物的组织管理、筹划调度等问题，以期发挥最大效益。
随着科学技术和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用。
本世纪初建立了凸函数理论以来,凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用。
现行高等数学教材中,也都对函数的凸性作了介绍,由于各版本根据自己的需要,对凸函数这一概念作了不同形式的定义,本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用；研究凸函数在最优化中的应用，研究比凸函数更一般的各类凸函数，给出它们的定义及以及其之间的关系；以及广义凸函数求极小的问题（即广义凸规划）和广义凸函数求最大的问题。
1凸函数的概念与等价定义
1.1凸函数的概念
人们常用凸与凹来反映曲线的弯曲方向。
这种从几何直观给出的关于曲线凸（凹）的概念反映在数学上就是表达该曲线的凸（凹）性概念。
定义1设是定义在区间上的函数，若对上的任意两点,,常有
则称为上的凸函数。
定义2若在定义上成立不等式（≠）
<
则称是上严格的凸函数。
例指数函数（>0,≠1）是（-∞，+∞）上的严格凸函数。
不难验证，恒正的函数（>0,≠1）满足关系式
由指数函数的单调性可知，当时，必有，再由不相等正数的几何平均值小于它们的算术平均值，则有
<
综上所述可得：
<
因此，（>0,≠1）是（-∞，∞）上的严格凸函数。
1.2凸函数的等价定义
定义1设在区间上有定义，在上成为凸函数当且仅当对任意,∈,任意∈（0,1）有
若不等号反向，则称为上的凹函数。
若“≤”改为“<”，则称为上的严格凸函数。
定义2设在区间上有定义,在上成为凸函数当且仅当对任意,∈,有
定义3设在区间上有定义，在上成为凸函数当仅当对任意,…,∈,有
推论：
若在区间上成为凸函数，则对任意<<,有
注：
若在上连续，则上述定义1,2,3等价。
2凸函数的简单性质
在本节中，来叙述关于凸函数的一些常用的简单的性质。
定理2.1设在区间I上为凸函数，对任意，则:
时，在区间上为凸函数
时，在区间上为凹函数
定理2.2设，是间I上的凸函数，则其和也是I上的凸函数。
推论：
设，是间I上的凸函数，则线性组合的函数为I上的凸函数
为I上的凹函数
定理2.3若设，是间I上的凸函数，则为I上的凸函数
定理2.4设是单调递增的凸函数，u=f（x）是凸函数，则复合函数也是凸函数
定理2.5设为区间I上的凹函数，，则为区间I上的凸函数，反之不真。
证明：
要证为区间I上的凸函数，即证任意有
因为，为凹函数。
故有
所以：
只需证明：
由于，故
成立，结论得证。
另：
设为R上的凸函数，但仍为凸函数。
定理2.6若在区间I上为凸函数，对任意，则为I的内点。
则单侧导数皆存在，且。
推论：
若为I上的凸函数，则在I上的内点连续。
定理2.7为区间上的凸函数，对任意对任意有
证明：
（必要性）已知为区间，存在，
且单调于。
故对当时有
同理，当时，当时有
因为
故对，对，总有
（充分性）对，由题设，对，存在使得
在上式中分别令得
证毕。
3凸函数的判定定理
利用凸函数的定义判别函数是否为凸函数，常常并不方便。
因此需要建立一系列的便于应用的判别法。
定理3.1若函数是区间上的递增可积函数，则变动上限积分所定义的函数
是上的一个凸函数。
证明：
设，则
由于是递增的，故
从而得
这样，由定义1可知，是凸函数。
在间上存在，则在上成为凸函数的充分必要条件是：
在上
证明：
（1）必要性，已知为凸函数，令，并设
因而，这样就有
即
用反证法，假定，由可知，存在，使得
另外，从
知
是的减函数。
但这函数当时等于。
因此，
这与结论矛盾，因而
（2）充分性，两次应用中值定理有
，
及，
从而
再由得
在上式中，令及得
两式相加得
故是凸函数。
证毕
例3.1函数在内是凸函数，因为。
定理3.3若在区间上存在，，则在区间是严格凸函数。
4关于凸函数的几个重要不等式
4.1不等式
定理（凸函数的基本不等式）设是间上的凸函数，则对中任意个数成立不等式
当仅当时等号。
定理（总和不等式）若是上的连续凸函数，是一组不为零的非负数，则成立不等式：
当仅当都相等时等式成立。
证明：
（1）特别地，设都是非负有理数，
为自然数；为非负数，这样
分子，分母同乘以，上面分式就成了凸函数的基本不等式的样子，此时
因而得证。
（2）一般地，设都是非负实数，记
则可具有公分母的有理数列，使）
这样由
（1）有
考虑到具有连续性，因而对上面不等式的两边极限，立得
证毕
定理（积分不等式）若是上的连续凸函数，而与是上的连续函数，，则成立
证明：
令
由总和不等式有
从而
当令时，即得
证毕
例若为上的正连续函数，则
证明：
考虑到函数是凹函数，为上的正连续函数，当设，根据积分不等式立得
整理可得
例若，则
证明：
设，因故是凸函数。
由总和不等式有
两边同乘以立得
证毕。
不等式
定理（不等式）设是上的连续凸函数，则
证明：
由于是上的连续凸函数，由凸函数的基本定理可知
两边积分可得
因而
..................................（A）
又
若令，得
所以
又是上的连续凸函数，即
故
即
........................................................（B）
由A，B两式可得
证毕
5凸函数的应用
5.1凸函数在证明不等式中的应用
在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙。
证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数。
例证明不等式
证明：
设，因，所以是严格凸函数。
由凸函数的定义可知
（）
这就是要证的不等式。
例若则
证明：
设，因
故是上的凹函数，因而
，这便是要证的不等式。
例5.1.3证明不等式：
均为正数，
证明：
令，则，为凹函数，从而由的单调增加性：
即
例对任何正数，当时有
证明：
注意不等式系数之和，及系数均为正数，可考虑用凸凹性来证明。
设，则为凹函数，故
，或
由的单调增加性知：
即，
证毕
例设证明：
证明：
设，对
故为上严格凸函数，因而
证毕
5.2一般凸函数和凸集
定义集合，若，以及任意的数，均有
则称为凸集。
特别地，若为凸集，也为闭集，则称为闭凸集。
定理1集合为凸集的充分必要条件是，及任意数有
设函数定义在凸集上，其中，
定义若存在常数，使得，有
则称为一致凸函数。
定义若，及，有
则称为严格凸函数。
定义设为可微的凸函数，若，满足
则称为伪凸函数，其中
定义若，，有
则称为严格拟凸函数。
若把上式中的“”改为“”，则称为拟凸函数
定义若，及，有
则称为强拟凸函数。
5.3广义凸函数求极小的问题
考虑
其中为闭凸集，而为广义凸函数，则称上述问题为广义凸规划问题。
定理设为凸集，为严格拟凸函数，则规划问题
的任意局部最优解都为整体最优解。
证明：
设为的局部最优解，即存在，使得为下面问题的最优解：
若存在有
由于为严格拟凸函数，故，有
当，足够接近时，有
此与为局部最优解相矛盾.
证毕
定理设为凸集，为强拟凸函数，若如下规划问题存在最优解：
则的最优解必唯一。
证明：
若和都为的最优解，由于为强拟凸函数，故都有
此与和都为的最优解矛盾，证毕。
定理设为凸集，为拟凸函数，则问题
的最优解集合为凸集。
证明：
若与为的最优解，有
故上式必等号，即
由为凸集，故
因此也为的最优解。
证毕
5.4广义凸函数求极大的问题
考虑
中为闭凸集，而为广义凸函数。
定理设为闭凸集，为连续的严格拟凸函数，则规划问题
的最优解一定在的边界上达到，除非在上为常数。
证明：
设在上不为常数，存在最优解，即存在
使得
现任意则存在，及使得
（1）若由为严格拟凸函数，故
矛盾。
（2）若由为连续的严格拟凸函数，故有
由为的最优解，故必有
因此在上为常数，此与假设矛盾。
证毕
定理设为连续的严格拟凸函数，并约束集合
若规划问题的最优解存在，则的最优解可以在的顶点达到。
证明：
令为的最优解，设
为线性相关的，于是，存在
使得
记
则
考虑
其中设存在有，令
（1）存在有，令；令
可知它们的非零向量比至少少1个；有
若，由为连续的严格拟凸函数有
此与为的最优解矛盾，故必有
由为连续的严格拟凸函数有
而为的最优解，故有
（2）若都有令
则
类似于
（1）可证
重复上述过程，最多可通过步找到最优解或或。
而对应的非零分量是线性无关的，可知为凸多面体的极点。
证毕
结束语
本文对凸函数这一概念作了不同形式的定义,以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出凸函数的几个简单性质，探讨了几种凸函数的判定方法，并给出有关凸函数的简单应用：
应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式及凸函数在证明一般不等式中的应用,特别是在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙、简练.利用凸函数的定义、性质及判定定理证明不等式，关键是寻找合适的凸函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的；此外，本文还研究了比凸函数更为一般的各类凸函数，给出它们的定义及其之间的关系和广义凸函数在最优化中的应用：
广义凸函数求极小的
（即广义凸规划，记为convex-min）和广义凸函数求最大的问题（convex-max）的性质。
参考文献
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