全国各地高考数学真题汇编Word档含答案解析.docx

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全国各地高考数学真题汇编Word档含答案解析

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2021年1月中学生标准学术能力诊断性测试文科真题解析129

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2021年3月中学生标准学术能力诊断性测试理科真题解析139

2021年3月中学生标准学术能力诊断性测试文科真题145

目录ii

2021年3月中学生标准学术能力诊断性测试文科真题解析150

2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:

本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.设2（z+z）+3（z−z）=4+6i,则z=（）.

A：

1−2iB：

1+2iC：

1+iD：

1−i2.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=（）.

A：

∅B：

SC：

TD：

Z

3.已知命题p:

∃x∈R,sinx<1;命题q:

∀x∈R,e|x|⩾1,则下列命题中为真命题的是（）.

A：

p∧qB：

¬p∧qC：

p∧¬qD：

¬（p∧q）

4.设函数f（x）=1−x,则下列函数中为奇函数的是（）.

1+x

A：

f（x−1）−1B：

f（x−1）+1C：

f（x+1）−1D：

f（x+1）+1

5.在正方体ABCD−A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为（）.

A：

π

2

B：

π

3

C：

π

4

D：

π

6

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者.则不同的分配方案共有（）.

A：

60种B：

120种C：

240种D：

480种

7.把函数y=f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π个单

23

−

位长度,得到函数y=sin（xπ）的图像,则f（x）=（）.

4

2

A：

sin（x

7πxπ7ππ

12

2

12

12

12

−）B：

sin（+）C：

sin（2x−）D：

sin（2x+）

8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数,则两数之和大于7的概率为（）.

4

A：

7

9

B：

23

32

C：

9

32

D：

2

9

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”.则海岛的高AB=（）.

表目距的差

表目距的差

A：

表高×表距+表高B：

表高×表距−表高

2021年高考数学全国乙卷理科真题2

表目距的差

表目距的差

C：

表高×表距+表距D：

表高×表距−表距

B

D

F

AEHGC

（第9题图）

10.设a̸=0,若x=a为函数f（x）=a（x−a）2（x−b）的极大值点,则（）.

A：

a

a>bC：

ab

ab>a2

11.x2y2,⩽,

设B是椭圆C:

a2+b2=1（a>b>0）的上顶点若C上的任意一点P都满足|PB|2b则C的离

心率的取值范围是（）.

A：

[

√2

1）B：

[

2

1,1）C：

（0,

2

√21

]D：

（0,]

22

12.设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=√1.04−1,则（）.

A：

a

b

b

c

二、填空题:

本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.

x22

√,.

已知双曲线C:

m−y

=1（m>0）的一条渐近线为

3x+my=0则C的焦距为

14.已知向量a=（1,3）,b=（3,4）,若（a−λb）⊥b,则λ=.

15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3,B=60◦,a2+c2=3ac,则b=.

16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

111

222

1

2

3

图图图

22

22

4

5

图图

（第16题图）

3

三、解答题:

共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

（一）必考题:

共5小题,每小题12分,共60分.17.（12分）

某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新

设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:

旧设备

9.8

10.3

10.0

10.2

9.9

9.8

10.0

10.1

10.2

9.7

新设备

10.1

10.4

10.1

10.0

10.1

10.3

10.6

10.5

10.4

10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为s2和s2.

12

.

（1）求x,y,s2,s2;

12

s2+s2

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y−x⩾2

备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高）.

12,则认为新设

2

18.（12分）

如图,四棱锥P−ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.

（1）求BC;

（2）求二面角A−PM−B的正弦值.

P

DC

M

19.（12分）

AB

（第18题图）

记S为数列{a}的前n项和,b为数列{S

21

}的前n项积,已知+=2.

nnnn

Snbn

（1）证明:

数列{bn}是等差数列;

（2）求{an}的通项公式.

2021年高考数学全国乙卷理科真题4

20.（12分）

设函数f（x）=ln（a−x）,已知x=0是函数y=xf（x）的极值点.

（1）求a;

（2）设函数g（x）=x+f（x）,证明:

g（x）<1.

xf（x）

21.（12分）

已知抛物线C:

x2=2py（p>0）的焦点为F,且F与圆M:

x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.

（1）求p;

（2）若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.

（二）选考题:

共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.【选修4−4:

坐标系与参数方程】（10分）

在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C（2,1）,半径为1.

（1）写出⊙C的一个参数方程;

（2）过点F（4,1）作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.

23.【选修4−5:

不等式选讲】（10分）已知函数f（x）=|x−a|+|x+3|.

（1）当a=1时,求不等式f（x）⩾6的解集;

（2）若f（x）>−a,求a的取值范围.

2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷（参考答案）

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:

本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.设2（z+z）+3（z−z）=4+6i,则z=（）.

A：

1−2iB：

1+2iC：

1+iD：

1−i

答案：

C.

解析：

设z=a+bi,则z=a−bi,2（z+z）+3（z−z）=4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,所以z=1+i.2.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=（）.

A：

∅B：

SC：

TD：

Z

答案：

C.

解析：

s=2n+1,n∈Z:

当n=2k,k∈Z时,S={s|s=4k+1,k∈Z};当n=2k+1,k∈Z时,S={s|s=4k+3,k∈Z}.

所以T⫋S,S∩T=T.故选C.

3.已知命题p:

∃x∈R,sinx<1;命题q:

∀x∈R,e|x|⩾1,则下列命题中为真命题的是（）.

A：

p∧qB：

¬p∧qC：

p∧¬qD：

¬（p∧q）

答案：

A.

解析：

p真,q真.故选A.

4.设函数f（x）=1−x,则下列函数中为奇函数的是（）.

1+x

A：

f（x−1）−1B：

f（x−1）+1C：

f（x+1）−1D：

f（x+1）+1

答案：

B.

−−−

解析：

f（x）=1+2关于（1,1）中心对称.

x+1

向右1个单位,向上1个单位后关于（0,0）中心对称.所以y=f（x−1）+1为奇函数.

5.在正方体ABCD−ABCD

中,P为BD

的中点,则直线PB与AD

D1C1

所成的角为（）.

A：

π

2

1111

111

P

D

B1

A1

B：

π

3C

C：

π

4

答案：

D.

D：

π

6

AB

解析：

如图,∠PBC1为直线PB与AD1所成角的平面角.

2021年高考数学全国乙卷理科真题解析6

易知△A1BC1

为正三角形,又P为A1C1

π

中点,所以∠PBC1=6.

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者.则不同的分配方案共有（）.

A：

60种B：

120种C：

240种D：

480种

答案：

C.

解析：

所求分配方案数为C2A4=240.

54

7.把函数y=f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的1倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π个单

23

−

位长度,得到函数y=sin（xπ）的图像,则f（x）=（）.

4

A：

sin（x

7πxπ7ππ

−）B：

sin（+）C：

sin（2x−）D：

sin（2x+）

212

答案：

B.

212

π左移ππ

1212

1π

解析：

逆向:

y=sin（x−

）−−−−→3

y=sin（x+

12

横坐标变为原来的2倍

）

−−−−−−−−−−−−→

y=sin（x+

2

）.故选B.

12

8.

4

在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数,则两数之和大于7的概率为（）.

4

A：

7

9

答案：

B.

B：

23

32

C：

9

32

D：

2

9

4

解析：

由题意记x∈（0,1）,y∈（1,2）,题目即求x+y>7的概率.绘图如下所示.

y

2D

C

N

1

AM

O

1

x

S阴1×1−1AM·AN1−1×3×323

故P=

=

S正ABCD

2

1×1

=24

1

4=.

32

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”.则海岛的高AB=（）.

表目距的差

表目距的差

A：

表高×表距+表高B：

表高×表距−表高

C：

表高×表距+表距D：

表高×表距−表距

表目距的差

表目距的差

B

D

F

AEHGC

（第9题图）

7

答案：

A.

解析：

连接DF交AB于M,则AB=AM+BM.

B

α

α

MDβF

β

AEHGC

tanβ

tanα

GC

EH

记∠BDM=α,∠BFM=β,则MB−MB=MF−MD=DF.而tanβ=FG,tanα=ED.所以

tanβ

tanα

tanβ

tanα

FG

ED

ED

MB−MB=MB（1−1）=MB·（GC−EH）=MB·GC−EH.

故MB=ED·DF=表高×表距,所以高AB=表高×表距+表高.

GC−EH

表目距的差

表目距的差

10.设a̸=0,若x=a为函数f（x）=a（x−a）2（x−b）的极大值点,则（）.

A：

a

a>bC：

ab

ab>a2

答案：

D.

y

a

b

O

x

y

a

b

O

x

解析：

若a>0,其图像如图

（1）,此时,0

（2）,此时,b

（1）

（2）

综上,a2

11.

x2y2,⩽,

设B是椭圆C:

a2+b2=1（a>b>0）的上顶点

心率的取值范围是（）.

若C上的任意一点P都满足|PB|

2b则C的离

A：

[

√2

1）B：

[

2

1,1）C：

（0,

2

√21

]D：

（0,]

22

答案：

C.

x2y2y2

解析：

由题意,点B（0,b）.设P（x0,y0）,则0+0=1⇒x2=a2（1−0）.故

a2b2

y2

0b2

c2

2222

02

2222

|PB|

=x0+（y0−b）

=a（1−b2）+y0−2by0+b

=−b2y0−2by0+a

+b,y0∈[−b,b].

b3

c2

由题意,当y0=−b时,|PB|2最大.则−

⩽−b,b2⩾c2,a2−c2⩾c2,e=

c√2

⩽

a2

√2

即e∈（0,2].

12.设a=2ln1.01,b=ln1.02,c=√1.04−1,则（）.

A：

a

b

b

c

2021年高考数学全国乙卷理科真题解析8

答案：

B.

解析：

设f（x）=ln（1+x）−√1+2x+1,则b−c=f（0.02）.易得

f′（x）=1−√2

=√1+2x√−（1+x）.

1+x21+2x

（1+x）1+2x

√

当x⩾0时,1+x=（1+x）2⩾√1+2x,故f′（x）⩽0.

所以f（x）在[0,+∞）上单调递减.所以f（0.02）

再设g（x）=2ln（1+x）−√1+4x+1,则a−c=g（0.01）.易得

g′（x）=2−√4

=2·√1+4x√−（1+x）.

1+x21+4x

（1+x）1+4x

当0⩽x<2时,√1+4x⩾√1+2x+x2=1+x.所以g′（x）在[0,2）上⩾0.

故g（x）在[0,2）上单调递增.所以g（0.01）>g（0）=0.故a>c.

综上,a>c>b.

二、填空题:

本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.

x22

√,.

已知双曲线C:

m−y

答案：

4.

=1（m>0）的一条渐近线为

3x+my=0则C的焦距为

√

解析：

易知双曲线渐近线方程为y=±bx,由题意得a2=m,b2=1,且一条渐近线方程为y=−3x,则有

am

m=0（舍去）,m=3.故焦距为2c=4.

14.已知向量a=（1,3）,b=（3,4）,若（a−λb）⊥b,则λ=.

答案：

3.

5

5

解析：

由题意得（a−λb）·b=0,即15−25λ=0,解得λ=3.

15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3,B=60◦,a2+c2=3ac,则b=.

答案：

2√2.

解析：

S=1acsinB=√3ac=√3,所以ac=4.

△ABC24√

由余弦定理,b2=a2+c2−ac=3ac−ac=2ac=8,所以b=22.

16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

答案：

②⑤或③④.

解析：

由高度可知,侧视图只能为②或③.

P

C

A

P

A

B

C

（1）

B

（2）

9

1

2

3

侧视图为②,如图

（1）.平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=√2,BA=BC=√5,AC=2.俯视图为⑤.俯视图为③,如图

（2）.PA⊥平面ABC,PA=1,AC=AB=√5,BC=2.俯视图为④.

1

2

1

2

1

2

图图图

2

2

2

2

图图

4

5

（第16题图）

三、解答题:

共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

（一）必考题:

共5小题,每小题12分,共60分.17.（12分）

某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标