空间向量讲义.docx
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空间向量讲义
空间向量教学讲义
教学内容
【新授课知识讲解】
知识要点。
1.空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：
（1）向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2.空间向量的运算。
定义：
与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）
UUUUUUUUUrVUITIUUUUUUrrUUUr
OBOAABab:
BAOAOBab;OPa（R）
运算律：
（1）加法交换律：
abba
（2）加法结合律：
（ab）ca（bc）
⑶数乘分配律：
（ab）ab
3.共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线
向量或平行向量，a平行于b，记作a//bo
当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同
一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：
空间任意两个向量a、b（b羊0）,a//b存在实数入使a二xb。
4.共面向量
（1）定义：
一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：
空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：
如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数
X,y使pxaybo
5.空间向量基本定理：
如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个
r
唯一的有序实数组x,y,z，使pxaybzc。
若三向量a,b,c不共面，我们把｛a,b,C｝叫做空间的一个基底，比b,c叫做基向量，空
间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：
设O,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数
uuuuuuuuuuuur
x,y,z，使OPxOAyOBzOC。
6.空间向量的直角坐标系：
（D空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组（x,y,z），使
OAxiyizk，有序实数组（x,y,z）叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作A（x,y,z），x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用
rrr｛i,j,k｝表示。
（3）空间向量的直角坐标运算律：
rrr
1若a（a.,a2,a3）,b（b„b2,b3）»贝Vaa3b3）
R
aibia2b2a3t30。
uuu
2若A（为，yi,w）,B（X2,y2,Z2），则AB（x?
"yYZz\-
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（4）模长公式：
若3（8）,32,33）,
-7bbJb/b22b32
aQazdasb3
，a；a22a32•・拧b：
2b32
書2©，|b|
au・
（5）夹角公式:
cos1：
ab|5[|b|」
（6）两点间的距离公式：
若A（Xi,yi?
Zi），B（X2,yzZ»，
uuutuui2i22
则丨AB|>AB,（X2Xi）（y2yj（z?
乙），
或dA;B-（X2Xi）2（y2yi）2亿乙）2
7.空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量a,b，在空间任取一点o，作
ULWrUuurrrrrrr
OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b;且规定0a,b，
rrrrr
显然有a,bb,a;若a,b‘则称a与b互相垂直，记作：
ab。
2
UUUrUUUr
（2）向量的模：
设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：
心I。
（3）向量的数量积：
已知向量a,b，则|a||b）|cosa,b叫做a,b的数量积，记
rrrr
作mb，即mb面|b|cosa,b。
（4）空间向量数量积的性质：
（Dae|a|cosa,e。
②abab0。
③向2aa<>
（5）空间向量数量积运算律：
rrrrr
①（a）b（aib）a（b）。
②abba（交换律）。
rr
3日（be）abac（分配律）。
【典型例题】
1•在棱长为1的正方体ABCDAiBClD中「设aB=a,aD=b,AA二c,贝Ua•（b+c）的值
2.
异的点
（2012•太原咼一期末）设空间有四个互
AB,C5D,已知（屁oC-2oA・（届
AC）二0,则厶ABC是（）
A直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角二角形
D.等边三角形
3.已知i、j、k是两两垂直的单位向量‘
a二2i—j+k,b二i+j—3k，贝Ua・b等于
4.已知|a|二2,|b|=>/2，且a与2b—a互相垂直，则a与b的夹角大小为
5.已知|a|二3羽，|b|二4,m二a+b,n二a+入b〈a,b〉二135,mln,则入二
6.已知空间向量a,b,c两两夹角都是60°，其模都是1，则|a—b+2c|=
【典型例题】
1.
1）,a+b二（一1,2,—1），贝Ub等于（
2.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且AB
二一i+j—k，贝UB点的坐标为（
）
A.（—1,1-1）
B・（一i,j，—k）
C.（1,—11）
D.不确定
3.已知空间三个向量a二（1,
—2,z）,b二（x,2,—4）,c二（一1,y,3），若它们分
另寸两两垂直，贝Hx=,V=
z=•
4.已知△ABC的三个顶点为A（3,3,2）、B（4,-3,7）、C（0,5,1）,M为BC的中占，
八、、
则IAM二.
5.已知向量a二（4,—2,4）,b二（6,—3,2）,则下列结论正确的是（）
A.a+b二（10,—5,—6）
B.a—b二（2,—1,—6）
C.a・b二10
D.|d|二6
6.（2012•武汉高二检测）已知向量a二（2,—3,5）与向量b二（一4,X,y）平行，贝Ux,
B.—6和10
D.6和10
y的值分别是（）
A.6和一10
C.—6和一10
D.
C.
8.（2012・台州高二期末）已知a二（2,・1,1）,b二（一1,4,・2）,C二（入，5,1）,
若向量a,b,c共面，则\二.
9.已知空间四点ABCD的坐标分别是（一1,2,1）,（1,3,4）,（0，・1,4）,（2,—1,—2）,若p二ABq二CD
求⑴p+2q；
（2）3p-q；⑶（p—q）・（p+q）.
10.已知a二（cosa,1,sina）,b=（sina,1,cosa）,则a+b与a—b的夹角是（
A.90°B.60°
C.30°D.
11.已知a二（1
—t,1—t,t）,b二（2,t,t）侧|b-a|的最小值是（）
c55
B.—
C.11
12.已知点A,B,C的坐标分别为（0,1,0）,（―1,0,—1）,（2,1,1）,点P的坐标
为（X,0,Z）,若凱ABPALXc则点P的坐标为・
13.已知向量a二（1,—3,2）,b=（—2,1,1）,以及点A—3,—1,4）低一2,—
2,2）.
⑴求|2a+b|；
（2）在直线AB上是否存在一点E,使OELb（0为原点）.
【题型介绍】
这章学习的内容是在平面向量的基础上进一步去学习的，在高考也是重点内容，固定道大题，外加不定的选择和填空题，所以学好这章极为重要。
【课堂训练】
1.设直线丨1的方向向量为a二（2,1,・2），直线12的方向向量为b二（2,2,m），
若11丄12,贝U）
A.1
B.-2
C.-3
D.3
2.已知线段AB的两端点的坐标为A（9,—3,—4）,B（9,2,1），则线段AB与哪个坐标平面平行（）
A.xOy
B.xOz
C.yOz
D.xOy与yOz
3.设O为坐标原点，OA=（1
.1.2）,6B=（328），则线段AB的中占P的坐标为.
11
4.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点0,5M=xOAa-0Ba"C贝Ux的值为
33
5.设两条直线所成角为
e（e为锐角厂则直线方向向量的夹角与e（
A.相等
B.互补
C.互余
D.相等或互补
6.
已知A、B、C三点的坐标分别为A（4,1,3）、B（2
—5,1）、C（3,7,入），若AB丄
屁则入等于（）
A.28
B.—28
7.1啲方向向量为V匸（1,2,3）,12的方向向量72二（入，4,6），若h//",则入等于
（）
A.1B.2
C.3D.4
1
8.已知两异面直线丨1和12的方向向量分别为V1和V2,若cos〈V1,匕〉二一2，贝丄与
12所成角为.
9.若云B=入CDaacE入，口€R），则直线AB与平面CDE勺位置尖系是.
10•已知A（2,1,0），点B在平面xOz内，若直线AB的方向向量是（3，—1,2），求点
B的坐标.
"11•已矢［1直线11的方向向量a二（2，4,X），直线丨2的方向向量b二（2»y»2），若|a|二6，且a丄b，则x+y的值是（）
A.—3或1
B.3或一1
C.—3
D.1
12正六棱柱
ABCDEAibCDEiFi的底面边长为1，侧棱长为羽，则这个棱柱的侧面对角
线ED与BC所成的角是（）
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
13.已知直线
I的方向向量V二（2,—1,3），且过A（0,y,3）和B（-1,2,Z）两点，
则V二，z二
14.已知正方体AC中，O为BD的中点，求证：
BO//平面ACD
【巩固训练】
1•若n=（2,・3,1）是平面a的一个法向量，则下列向量中能作平面a法向量的是（）
A・（0,-3,1）B・（2,0,1）
C.（一2,・3,1）D•（一2,3,-1）
2•若平面a与B’的法向量分别是a二（1,0,・2）,b二i・1,0,2），则平面a与平面3的尖系是（）
A.平行B.垂直
C.相交但不垂直D•无法判断
3•平面a,3的法向量分别为m=（1,2,-2）,n=（-2,・4,k），若a丄3贝卩k等于
4•已知A（1,0,0）,B（0,1,0）,C（0,0,1）,则平面ABC的单位法向量坐标为
【巩固训练】
1•若直线I的方向向量为a二（-1,0,・2）,平面a的法向量为u二（4,0,8）,则（）
D.I与a斜交
A.I//a
C.I?
a
2•已知平面a上的两个向量
A.（1,・1,1）
C.（-2,1,1）
a二（2,3,1）,b二（5,6,4）,则平面a的一个法向量为（
B・（2,・1,1）
D・（-1,1,・1）
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ACC1的一个法向量可以是（）
D
A.BC
B.A1B1
C.BBi
D.BD
1
4.
已知I//a且I的方向向量为（2,mJ，平面a的法向量为1,2,2，则
5.在正方体ABCD-AiBiCiDi中，E,F分别是BBi,DC的中点，贝UAE与平面AiDiF的
矢系为■
6.
i如图，ABCD是直角梯形，/ABC二90°,SA丄平面ABCD,SA二AB二BC二i,AD二？
，求平面SCD的一个法向量.
7.
已知平面a过点A（i,-i,2）,法向量为n二（2,-i,2）,则下列点在a内的是（）
A.（2,3,3）B.（3,—3,4）
C.（—1,1,0）D.（-2,0,1）
7.（2012杭州高二检测）直角三角形ABC的直角边AB在平面a内，其中/B为直角，顶
点C在a外，且C在a内的射影为Ci（Ci不在AB上厂则厶ABCi>（）
A・直角三角形B・锐角三角形
C.钝角三角形D.以上都有可能
如图所示，已知矩形ABCD,AB二1,BC二a,PA丄平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ丄QD，则a的值等于.
10.在四棱锥P-ABCD中‘已知PA丄平面ABCD，/PBA二60°，底面ABCD是直角梯
形，/ABC二ZBAD二90°,AB二BC二qAD.求证：
平面PCD丄平面FAC.
【课堂回顾】
1・了解空间向量的基本概念；掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面的概念及条件；理解空间向量基本定理
2•理解空间直角坐标系的概念，会用坐标来表示向量；理解空间向量的坐标运算
【课后作业】
1•平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为
（）
A・30°B60°
C.45°D120°
2•若直线1的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120°，则直线I与平面a所成的
角等于（）
A.120°B60°
C.30°D以上均错
3•若平面a的一个法向量为n=（3,3,0），直线1的一个方向向量为b二（1,D'则
I与a所成角的余弦值为・
4•在正方体ABCD-AiBiCiDi中，BDi与平面A1B1C1D1所成角的正切值为
n
5•直线1与平面価成角为6，直线m在平面a内且与直线1异面，则直线I与m所成
角取值范围为（）
n
n
n
A・[6,
刁
B.[0,E】
n
n
n5
CJ3,
2]
D・，】
6•正方体ABCD-AiBiCiDi中，BBi与平面ACD1所成角的余弦值为（
7.AB丄平面a于B,BC为AC在a内的射影，CD在a内，若/ACD二60°，/BCD二
45°，贝uAC和平面a所成的角为（）
B.60°
D.30°
A.90°
C.45“
8•如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a二（0,2,1）,b二
（迈，Q5,需），那么这条斜线与平面的夹角为.
9•已知空间四边形ABCD各边和对角线的长都相等，那么AC与平面BCD所成角的正弦值为.
10.正三棱柱ABC-AiBiCi的底面边长为a,侧棱长为,2a,求ACi与侧面ABB1A1所成的角.
11.正方体ABCD-A1B1C1D1中°为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为（）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC,/BAD二90°,PA丄底面
ABCD，且PA二AD二AB二2BC,M、N分别为PC、PB的中点，贝UBD与平面ADMN所成
的角B%（）
A.30“
C.120°
13.等腰RtAABC的斜边AB在平面a内，若AC与a成30°角，则斜边上的中线与平面a所CM成角的大小为.
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