利用逆矩阵解线性方程组.docx
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利用逆矩阵解线性方程组
利用逆矩阵解线性方程组
第歹夕简单盜用
1.利用逆矩阵解线性方程组设用矩阵表示的方程组为AX=B.其中
A=l^ij]»xn吃AXnY
B=hb2Ab,X
若4可逆X—A~]B
e-g.1
设A为上节e.g.9中矩阵，即
-5
4
3
e,g.9
若〃=[（）01匚则对方程组AX二
6
3
14
17
17
17
5
II
23
17
17
I?
2
1
1
~V1
17
17
B,
可解得
即所求解为州=
17
17
?
7
5
11
23
17
17
17
2
1
1
17
17
14
23
X-,=
—
17
17
6
14
厂"
LF
14
0
17
23
0
17
1
1
L.=
K7
BB>■
=
Remark
利用逆矩阵求■解要求
且矩阵A,否则此法失效。
而GAUSS消元法对方程组个数与未知元个数不等时仍适用（此时有可能不相容或有无穷多个解）。
且GAUSS消元法特别适合于计算机计
2.利用矩阵编制密码
我们介绍用数字替代字母的方法编制密码
126个字母与26个数字1-1对题
把字母分组得到相应的数字向量
在毎个向量左乘一可逆矩阵A（A和人宀的元素为整数）得新的数字向量，然后按此码发出接收者再将收到信号向量左乘A-1即真码返回到字母得原码
e.g.2
把-WEARESTUDENTS”编成密码.
解①选择字母与数字的对应
K5U
JI10
IAUHV9
H八V8
GAVKV7
FAUUV6
E<=>5
DH4rtAVco
Bauhv2
AAV1
1213141516171819202122
WXYZ
on
23242526
2把字母分组，得到向量.我们用2个字母一组
V
_231
T
~E
■5"
T
~20
■
—
二
E
18
_S_
19
u
21
D
4
N
14
~s~
ri9_
—
y
J
E
5
T\
20
z
26
（最后一组字母不够，用Z补足）
-3
2
A
6133563767431036223148854
103
62
11671
3选一个2x2的可逆阵中元素为整数
可选A=
在②中向量前乘以矩阵A
61
'23
：
33.
5
iA-1
A,A-1
116
71
19
26
把这些数字与字母对应，得到原话（最后一个字母明显不在句子中，去掉即可）
Remark1
字母与数字的对应可以是公开的，但矩阵A不能公开
Remark2也可以三个字母为1组，组成三维向量,
此时要找3阶可逆矩阵
3.线性方程组在投入产出中的应用
L投入产出概念
从事某种经济活动时的付出
一般包粒
▲从其他部门购进原材料，半成品，辅助材料,电力，能源等等
▲购入必要的机器设备.生产工具等
▲必要的劳动力投入等
在一定投入条件下进行生产活动或经济活动后所得的（生产）成果
成果可能流向两个方面：
▲以中同产芫形式供本部门及其相关部门作为本期生产中的再投入
▲以畑2的形式进入市场或作为积累，退出
本期生产过程
数学问题
2•闭合模型（收入支出模型）
木工.电工、粉刷工合作装修自家房子,
订下列协议：
每人工作io天，具体为
I/1^
工）剧工粉—
2
11
6
电工（房）
4
5
1
工）剧房粉{
0
4
3
假设三种工匠日工资市场价为60-80元，每人按10天计算应得收入和装修费用支出
^^=9工1丘自己收支平衝
问题三位工匠各人的日工资实际上是多少?
解设木工，电工，粉刷工的日工资分别芨卩丿2,巧
2门+P2+6/?
3二10戸
10天内每人总支出=总收入
卡4/7］十5/7十”3=1（｝卩2
.4戸十4必+3円=1°几
_-8
1
6「
（1）X1/2+
（2）
-8
1
6_
4
4
-5
斗
1
一7
（1）x1/2+（3）
0
0
-9/2
9/2
斗
-4
写出系数姬阵并作变换
1
6
8
0
（2）X2/9+（!
）
0
-9/2
-9/2
0
（）
831
P2=尹"Pl=—A
取=36k
62/9
三人日工资分别为：
Pi二62,p2二64?
卩3二72
Remark1
把一个实际问题化成数学问题的过程称为数学建模（mathematicalmodeling）t数学建模的目的是解决问题，所以建模后还须求解，修正，解释.
Remark2
这里每个人的劳动支出仅限于三个当事趴之间进行流动和分配，未超出所论系统之外，因此称之为“旬4*曜。
这个模型要解决的问题是：
确定毎个参与者的劳动支出的价格即日工资使系统平衡，即每人的总收入等于每人的总支出.
由此得出投入产出闭合模型的一般形式:
一经济系统有川个部门组成，编号为12A心每个部门的生产周期相同，每个部门只生产一种产品*且一个生产周期内各个部门的产品或者服务的分配是由该系统内部按预定方式完成竹
问4如何确定合适的价格作为付给每个部门的产晶费用，并且使各部门的
遴收入兰支出
——表示这个经济系统的一种平衡
由此建立的投入产出模型为用會撲锲
数学表述
Pi——第，个部门的产品价格（i=l,2,A，/n）Ci；——第i个部门购买第J个部门平均
7每个产品的价格中被第i个企业
购买所占的比例数（/；./=1,2,A,m）
_cp=p,c=（4
p=[“p2xptflY
（1Pi>0,i=1,2,A
）
（2ctj>0,z，7=1.2,Ajn
）
（3C^+C^+A+Cnv=t
）J=1,2,A,rn
3.开式模型（产品模型）
中间产品（在各部门间分配）
最终严品（供应给系统外部）
阿龜研究各部门产品的产值
三个企业：
煤矿.电厂.地方铁路组成的系统
支出煤费
支出电费
支出运费
煤矿收入
1元
0.25
0.25
电厂收入
1元
0.65
0.05
0.05
铁路收入
1元
0,55
0.10
某星期，煤矿接到外界50000元订单，电厂有25000元订单，铁路无订单“
三个企业各自产值应为多少，才能满足需要?
解设煤矿、电厂和铁路的产值分别为兀门兀2，兀3元
*—（0X州+0.65x2+055®）=50000
—卜2—（0”25州+（XO5.¥3+OJOx3）=25000
x3-（0.25%!
十O.O5x2+0x）=（）
―►[x-CX=D
兀]=102087（元）
x2=56163（元）
兀3=28330（元）
Remark开式系统的数学模
第，熬企业的产值为呂，外界对第Z个企业要求的产值为dt
第丿个企业每单位产值需买进第i个企业的产值为C"元的产品
投入产出模型为I（/—C）X=D
V
—（G®x二
M
D=
M
求解打式摸锲牛求解此攸戕方軽他
优习
匕把下面一段话编成密码
ATTACKATMIDNIGHT
2.甲家种植西红柿，乙家种植黄瓜，丙家种
植茄子，假设三种蔬菜产量恰好相同°经协商，
三家同意按下列比例相互分享各家产品:
西红柿
黄瓜
茄子
甲得比例
1/2
1/3
1/4
乙得比例
1/3
1/3
1/4
丙得比例
1/6
1/3
1/2
假设三种蔬菜价格中最低的为1.20元，三家收支正好各自平衡，三种蔬菜的价格各是多少？
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