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线性方程组的矩阵求法

摘要:

关键词：

第一章引言

矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容，用矩阵

方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本

技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。

第二章用矩阵消元法解线性方程组

第一节预备知识

定义1:

一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。

定理1:

初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。

定义2:

定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件：

（1）B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的

一个主元）为1；

（2）B中每一主元是其所在列的唯一非零元。

则称矩阵为行最简形矩阵。

第二节

1.对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩

阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。

这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。

下面以一般的线性方程组为例，给出其解法：

ainXnb1,

（1）

a2nXn

b2,

LLLLLLLLLLLL

am1X1am2X2L

amnXn

bm.

根据方程组可知其系数矩阵为:

aii

ai2L

ain

a2i

a22L

a2n

（2）

LLLLLLLLL

am1

amn

其增广矩阵为:

a11

ai2

ain

a21

a22

a2n

LLL

am1

am2

amn

（3）

根据

（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。

定理2:

设A是一个m行n列矩阵

a11

耳2

a1n

a21

a22

a2n

A=LL

LLL

am1

am2

amn

通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式

C1,r1

C1n

C2,r1

C2n

LLL

⑷0

进而化为（5）0

Cr,r1

Crn

LLL

lLL

LLL

OLLLLLLLLLOOLLLLLLLLLLLO

这里r0,rm,rn,表示矩阵的元素，但不同位置上的表

示的元素未必相等。

即任何矩阵都可以通过初等变换化为阶梯形，并进而化为行最简形

现在考察方程组

（1）的增广矩阵（3），由定理2我们可以对

（1）的系数矩阵

（2）施行一次初等变换，把它化为矩阵（5），对增广矩阵（3）施行同样的初等变换，那么（3）可以化为以下形式：

100L0C|,r1LCindi

010L0C2,r1LC2nd2

LLLLLLLLLLLLLL

（6）000L1cr,r1Lcrndr

0LLLLLLLLLLL0dr1LLLLLLLLLLLLLL

0LLLLLLLLLLL0dm

与（6）相当的线性方程组是：

Xi1C1,r1Xir1L缶Xind1，

X2C2,r1Xir1LJ%d2，

LLLLLLLLLLL

（7）Xrcr,r1Xr1LCrnXndr，

0dr1，

LLLLLLLLLLL

0dm，

这里i1,i2，…，in是1,2,…，n的一个排列，由于方程组（7）可以由方程组

（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理1，方程组（7）与方程组

（1）同解。

因此，要求方程组

（1），只需解方程组（7），但方程组（7）是否有解以及有怎样的解很容易看出：

情形

（1），r

因此方程组

（1）也无解。

情形

（1），r=m或r

Xi1%1冷1LGnXind1,

Xi2C2,r1Xir1LC2nXind2，

与方程组（8）LLLLLLLLLLLL同解。

XirCr,r1Xir1LCrnXindr

当r=n时，方程组（8）有唯一解,就是Xit=a,t=1,2，…,n.这也是方程组

（1）的唯一解

当r

C1,r1Xiri

GnXn，

Xi2

C2,r1Xir1

C2nXin,

（9）LL

LLLL

LLL

Xir

Cr,r1Xiri

CrnXin

于是，给予未知量Xiri,…,Xin以任意一组数值kir1,…kin,就得

Xii

q,r1kir!

C1nkin，

LLL

LLLL

Xir

Cr,r1Kr!

Gnkin，

到（8）的一个解：

ir1

Xin

ki.

这也是

（1）的一个解。

由于

kir1,…Kn

可以

任选，用这一方法可以

得到

（1）的无穷多解。

另一方面，由于（8）的任一解都必须满足（9）,所以（8）的全部解，亦即

（1）的全部解都可以用以上方法得到。

例1:

解线性方程组

2x2

3x3

2x〔

4x2

2x2

3x3

2x4

2x2

9x3

5x4

21.

解：

方程组的增广矩阵是

进行初等行变换可得到矩阵最简形

对应的线性方程组是

x12x2x4

X3-X4

—

把移到右边作为自由未知量，得原方程组的一般解

第三章用初等变换解线性方程组

定义2:

设B为mn行最简形矩阵，按以下方法作sn矩阵C:

对任一i:

1is,若有B的某一主元位于第i列，则将其所在行称为C的第i行，否则以n维单位向量e©L,0,1,0丄0）作为C的第i行，称C为B的sn单位填充矩阵（其中1is）.

显然，单位填充矩阵的主对角线上的元素只能是“1”或“-1”,若主对角线上某一元素为“-1”，则该元素所在列之列向量称为C的“J一列向量”。

定义3:

设B为行最简形矩阵，若B的单位填充矩阵C勺任一“J一列向量”均为以B为系数矩阵的齐次线性方程组：

LLLLLLLLLLLL

的解向量，则陈C与B是匹配的（也说B与C是匹配的）。

引理1:

设B为行最简形矩阵，若将B的第i列与第j列交换位置所得矩阵仍为行最简形矩阵，贝心

（I）将的单位填充矩阵的第行与第行交换位置，第列与第列交

换位置所得矩阵为单位填充矩阵，其中

（H）若C与B是匹配的，则c与B'也是匹配。

证明：

结论（I）显然成立，下证（H），因为C与B是匹配的，故C

只能是nn矩阵，从而c也是nn矩阵，设以B为系数矩阵的方程组

为

（1）,

以B为系数矩阵的方程组为

（1）,以B为系数矩阵的方程组

b11X1b12X2Lb1nXn0,

为：

b21X1b22X2Lb2nXi0,佗）

LLLLLLLLLLLL

b'm1X1b'm2X2LbmnXn0.

则由B与B'的关系可知对方程组

（1）进行变量代换

X1y1,LXjyj,LXnyn

就得到方程组

（2）,于是方程组

（1）的任一解向量交换i、j两个分量的位置后就是方程组

（2）的一个解向量，又从C与C'的关系可知，c的任一“J一列向量”均可由C的某一“J一列向量”交换i、j两个分量的位置后得到，从而由C与B匹配知C'与B'也是匹配的。

引理2：

任一mn行最简形矩阵与其nn单位填充矩阵C是匹配的。

证明:

1设

其所有J一列向量为

r1（bl,r1LL，br,r1，1，0，L0）

r2（b1,r2LL,2,0,1L0）

LLLLLLLLLLLLLL

n（bi,nLL,br,n,0,0,L1）

显然它们都是方程组⑷的解，即B与C是匹配的.

2,一般形式的行最简形矩阵B显然总可以通过一系列的第二类初等列变换（变换两列的位置）化为⑶的形式，从而B的单位填充矩阵C通过相应的初等行、列变换就变成矩阵（5）,由于这种变换是可递的，据引理2及引理1（H）知B与C是匹配的。

定理3:

设齐次线性方程组

a〔iXi

ainXn0,

的系数矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B,则B的nn单

位填充矩阵C的所有“J一列向量”构成方程组（6）的一个基础解系。

证明：

设以B为系数矩阵的齐次线性方程组为

（1）,则

（1）与（6）同解，据引理2知C的所有“J一列向量”都是方程组

（1）的解，且是n-r个线性无关的解向量，（这里r=秩（B）=秩（A））,从而构成方程组

（1）的一个基础解系，也是方程组（6）的一个基础解系.

定理3:

设非齐次线性方程组

a1nXnb1,

a21X1822X2La2nXnb2,

LLLLLLLLLLLL

有解，其增广矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B,则

B的n（n+1）单位填充矩阵C的所有“J一列向量”构成方程组的导出组的一个基础解系，而C的最后一个列向量为方程组（7）的一个特解。

证明：

由定理3,前一结论显然，下证C的最后一个列向量为方程组（7）的一个特解。

作齐次线性方程组

则方程组（8）的系数矩阵即为方程组（7）的增广矩阵A,于是B勺

（n+1）（n+1）单位填充矩阵为

0,0,LL0,1

由定理3知C的最后一个列向量是方程组（8）的一个解，从而易

知C的最后一个列向量即为方程组（7）的一个特解.

例2:

求线性方程组

3X3

3x1

2X2

4X3

5x4

（9）

2x1

4X3

2x4

3X5

2X3

3X5

的一般解

。

解：

方程组（9）的增广矩阵为

用初等行变换将变为行最简形矩阵。

写出B的56单位填充矩阵:

于是，

方程组的导出组的基础解系为

i（2,1,1,0,0）2（0,2,0,1,1）

从而方程组（9）的一般解为K!

k223其中匕k2为任意常数.

第四章线性方程组通解的一种简便求法

1齐次线性方程组基础解系的一种简便求法设有齐次线性方程组

（1）

a11X1a12X2LnXn

a21X1a22X2La2nXn

LLLLLLLLLLL

am1X1am2X2LamnXn

[ATnmMEn]行初等变换厂MP

（nr）m

其中r=r（A）,r（Drm）=r,即Drm为一个行满秩矩阵，En为

n阶单位矩阵，P为n阶可逆矩阵。

则矩阵P的后（n-r）行即为方程组

（1）的一个基础解系。

下面证明此结论。

证明:

对于nxm矩阵at,必存在n阶和m阶可逆矩阵P,Q,使

Er0Er0D

PATQ=00,所以PAt=00QG，因为P为可逆矩阵，

00000（nr）m

P的行向量组线性无关，所以P的后（n-r）行行向量线性无关，而矩

阵P的后（n-r）行为（0,Enr）P,因为（0,Enr）PAT=（0,

DE）rnnr.

0（nr）m

=0,所以X=（0,Enr）P为方程组XAT0一个解，即P

求齐次线性方程组

的一个基础解系。

4x4

3x5

3x3

2x4

2x-|

3x3

5x4

5X5

3x-|

5X3

6x4

7X5

的一个基础解系

解

AtME5

LLL

LLLL

.LL

LLL

MLLL

LLLL

LLL

例3

因为r（A）=2,所以P的后3行，即i=（-2,1,1,0,0）,2

（-1,-3,0,1,0）,3=（2,1,0,0,1）为方程组的一个基

础解系。

2非齐次线性方程组通解的一种简便求法

a1nxnb1,

821X1822X2

设有非齐次线性方程组

anx1

LLLLLLLLLLLL

其矩阵方程为xatbT,其中bb2

求方程组XATbT的通解的方法如下

其中pn为n阶可逆矩阵，rr（A）T,则

（1）矩阵Pn的后（n-r）行即为方程组XAT=0的一个基础解系

（2）X=n3为方程组XAT=bT一个特解。

结论

（1）的正确性在前面已经得到证明，下面证明结论

（2）当r（AT）=rATbT时，方程组有解，对此情况进行证明。

则矩阵Pn的后（n-r）行即为方程组XAT=0的一个基础解系，X=n3为方程组XAT=bT一个特解。

作两点说明：

（1）对矩阵ATbT…En+1作初等行变换后，若最后一行的前m个元素不能全部变为零，即r（AT）rATbT,此时方程组无解；

（2）对矩阵ATbT…En+1作初等行变换时，最后一行不能与其它各行交换位置。

例2解线性方程组

所以方程组XAT=0的一个基础解系为

方程组XAT=bT的一个特解为n3=

所以方程组XAT二bT的通解为E=n3+clE1+c2E2,其中cl,c2

为任意常数

用这种方法求齐次线性方程组的基础解系，或求非齐次线性方程组的通解只需施行矩阵的初等行变换，省掉了写矩阵对应的方程组，以及设自由未知量等繁杂过程，简单而实用，且易于掌握。

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