沪教版五四学制八年级数学下册教案223 特殊的平.docx

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沪教版五四学制八年级数学下册教案223特殊的平

特殊的平行四边形

教学目标

1.掌握矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理。

2.理解正方形与菱形和矩形的关系，能用正方形的性质定理与判定定理判定正方形。

难点内容：

根据矩形、菱形、正方形的性质求解一些相关图形问题。

特殊的平行四边形

知识精要

一、特殊的平行四边形

1、矩形：

有一个内角是直角的平行四边形。

2、菱形：

有一组邻边相等的平行四边形。

3、正方形：

有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形。

二、性质定理

图形

性质定理

判定定理

矩形

1、四个角都是直角；

2、两条对角线相等。

1、有三个内角是直角的四边形。

2、对角线相等的平行四边形。

菱形

1、四条边都相等；

2、对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。

1、四条边都相等的四边形。

2、对角线互相垂直的平行四边形。

正方形

1、四个角都是直角，四条边都相等；

2、对角线相等，且互相垂直，每条对角线平分一组内角。

1、一组邻边相等的矩形；

2、有一个内角是直角的菱形。

热身练习

1、已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：

∠ABC＝1：

2，则BD=6cm.

2、已知菱形的一条对角线的长为12cm，面积是30cm2，则这个菱形的另一条对角线的长为5cm.

3、、正方形的对称轴有＿＿4＿条。

4、、正方形的对角线与一边的夹角为＿45＿。

5、如图在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法：

①四边形是平行四边形；

②如果，那么四边形是矩形；

③如果平分，那么四边形是菱形；

④如果且，那么四边形是菱形.

其中，正确的有.（只填写序号）

答案：

①②③④

6、如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为.

7、菱形ABCD，若∠A:

∠B＝2：

1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（D）

A．相等　B．互相垂直且不平分　　C．互相平分且不垂直D．垂直且平分

8、已知菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比为3：

4，则两对角线的长分别为（C）

　　A．6cm，8cmB．3cm，4cmC．12cm，16cmD．24cm，32cm

9、如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点，过点作的垂线，分别交于点，连结，则的周长为（D）

A．5cmB．8cmC．9cmD．10cm

10、已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为（B）

　　A.　45°，135°B.　60°，120°C.　90°，90°D.　30°，150°

11、正方形具有而菱形没有的性质是（C）

A．对角线互相平分　B．每条对角线平分一组对角　C．对角线相等　D．对边相等

12、如图，四边形为矩形纸片．把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为．若，则等于（　A　）

A．B．C．D．

13、已知：

如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：

AE=AF．

证明：

只要证

14、已知：

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．

（1）求证：

BE=DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？

并证明你的结论．

C

B

答案：

证明：

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD,∠B=∠D=90°．

∵AE=AF，∴．∴BE＝DF．

（2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC．∵BE＝DF，

∴BC－BE=DC－DF.即．

∴∵OM=OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE=AF，

∴平行四边形AEMF是菱形．

15、已知，如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：

四边形CEDF是正方形。

证明：

因为∠ACB＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC

所以四边形CEDF是矩形

因为CD为∠ACB的平分线

所以三角形CDE是等腰三角形，所以CE=DE

所以四边形CEDF是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）

精解名题

例1、如图，已知锐角△ABC中，以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，交点为O，求证：

（1）EC＝BG；

（2）EC⊥BG．

解析易证△EAC≌△BAG，可得EC＝BG，∠AEC＝∠ABG，于是可证∠EOB＝∠EAB

证明：

（1）在正方形ABDE和正方形ACFG中，

AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，

∴∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC．

即∠EAC＝∠BAG，

∴△EAC≌△BAG．∴EC＝BG．

（2）由

（1）知：

△EAC≌△BAG，∴∠AEC＝∠ABG．

又∵∠1＝∠2，

∴∠ABG＋∠2＝∠AEC＋∠1＝90°．

∴∠EOB＝∠EAB＝90°∴EC⊥BG．

（若把∠BAC为锐角改为钝角，其余条件不变，上述两结论仍能成吗？

如果成立试证明之．）

例2、如图，已知P点是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F分别是垂足，求证：

AP＝EF．

证明：

连结AC交BD于O，连结PC．

在正方形ABCD中，BD⊥AC，BD平分AC．

∴PA＝PC．又∵PE⊥CD，PF⊥BC，∠DCB＝90°．

∴四边形PFCE是矩形．∴EF＝PC．∴PA＝EF．

例3、将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．

（1）四边形ABCD是平行四边形吗？

说出你的结论和理由：

是，两对边平行的四边形为平行四边形．

（2）如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？

说出你的结论和理由：

是，由，且，得到（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）．

（3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是：

平行四边形有一内角为；当点B的移动距离为__1____时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是：

平行四边形内有一组相邻的边相等．（图3、图4用于探究）

例4、探究问题：

⑴方法感悟：

如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．

感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB=AD,BG=DE,∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．

∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_EAF__．

又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_______．

∴___GF__=EF，故DE+BF=EF．

⑵方法迁移：

如图，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

证：

延长直线FB,使得BG=DE,

∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点.∴AB=AD，∠ABG=∠ADE，

∵BG=DE

∴△AGB≌△AED，

∴AG=AE，

∵AF=AF，∠BAG=∠DAE

又∵∠EAF=12∠DAB

∠GAF=∠FAE，

∴△AGF≌△AEF，

∴GF=EF，

∴DE+BF=EF；

⑶问题拓展：

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

当∠B+∠D=1800

巩固练习

一、填空题

1.如图，矩形的周长为24cm，一边中点与对边两顶点连线成直角，则矩形的两邻边分别为4cm和8cm。

2、菱形的周长为12cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是1.5cm。

3、菱形的两邻角之比为1：

2，边长为2，则菱形的面积为__________．

4、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为：

_________。

5、正方形ABCD中，对角线BD长为16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于8cm

6、如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是_____5______厘米.

7、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=．

2、选择题

1、已知菱形ABCD的周长为40cm，BD=AC，则菱形的面积为（A）

A．96cm2B．94cm2C．92cm2D．90cm2

2、如下图，四边形ABCD为正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则∠BDP=（C）

A．15°B．25°C．30°D．35°

（2题图）（3题图）（4题图）

3、如上图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF等于  （  A ）

A．　　  B．　C．  D．8　

4、如图，正方形的面积为1，是的中点，则图中阴影部分的面积是（B）

A．B．C．D．

5、如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，E、F三等分AC，则△ABE的面积是（B）

A．60B．100C．150D．200

（5题图）（6题图）（7题图）

6、如右图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（B）

A.75°B.60°C.45°D.30°

7、如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（B）

A．30B．34C．36D．40

三、解答题

1、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2，

求：

（1）∠ABC的度数；

（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积。

解：

（1）120度；

（2）AC=，BD=4

（3）

2、如图，在ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，EF过点O且垂直于AC并交AB于点E，交CD于点F，求证：

四边形AECF是菱形。

提示：

证ΔCOF≌ΔAOE

3、如图，已知E为正方形ABCD的边BC的中点，EF⊥AE，CF平分∠DCG，求证：

AE＝EF．

解析：

可取AB中点M，连结ME，证△AME≌△ECF

证明：

取AB中点M，连结ME

在正方形ABCD中，AB＝BC，∠B＝∠DCB＝90°．

又E为BC中点，

G

∴AM＝BM＝BE＝EC．

∴∠BME＝45°．∴∠AME＝135°．

又CF平分∠DCG．

∴∠ECF＝135°．∴∠AME＝∠ECF．

又∵AE⊥EF，∴∠FEC＋∠AEB＝90°．

又∵∠BAE＋∠AEB＝90°．∴∠FEC＝∠BAE．

∴△AME≌△ECF．∴AE＝EF．

4、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

并证明你的结论．

答案：

当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

∵CE平分，∴∠OCE=∠ECB．又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB．∴∠OCE=∠OEC．∴．

同理，．∴．

∵，AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形.

又∵CE、CF分别平分∠ACB和∠ACP，

∴．∴四边形AECF是矩形．

自我测试

一、填空题

1、如图，矩形ABCD的对角线相交于O点，AE⊥BD，垂足为E，若∠DAE＝4∠BAE，则∠EAC＝54°

2、已知菱形一个内角为，且平分这个内角的一条对角线长为8cm，则这个菱形的周长为32cm.

3、已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为40cm.

4、菱形的边长是2cm，一条对角线的长是2cm，则另一条对角线的长是2cm

5、如图，正方形的对角线相交于O，∠BAC的的平分线交BD于E，若正方形的周长是20cm，则DE＝5cm

（5题图）

6、如图,E是正方形ABCD内一点,如果△ABE为等边三角形,那么∠DCE=_15度__。

二、选择题

1、下列命题中，真命题是（B）

A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形；D.对角线相等的四边形是菱形

2、正方形具有而矩形不一定具有的特征是（C）

A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等

3、具备下列条件的四边形，不能断定四边形是矩形的是（D）

A．三个角都是直角B．四个角都相等C．对角线相等的平行四边形D．对角线垂直且相等

4、矩形的各角平分线若相交围成的四边形是（D）

A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形

5、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是（3，4）则顶点A、B的坐标分别是（D）

A.（4，0）（7，4）B.（4，0）（8，4）

C.（5，0）（7，4）D.（5，0）（8，4）

6、菱形的周长为4，一个内角为60︒，则较短的对角线长为（C）

A．2B．

C．1D．2

7、如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论:

（1）∠E=22.50.

（2）∠AFC=112.50.（3）∠ACE=1350（4）AC=CE（5）AD∶CE=1：

.其中正确的有（A）

A5个B4个C3个D2个

三、解答题

1、如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．

（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；

（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．

解：

（1）四边形OCED是菱形．

∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，

又在矩形ABCD中，OC=OD，

∴四边形OCED是菱形．

（2）连结OE．由菱形OCED得：

CD⊥OE，∴OE∥BC

又CE∥BD∴四边形BCEO是平行四边形

∴OE=BC=8∴S四边形OCED=

2、如下图，在正方形ABCD中，G为BC边上任意一点（与点B、C不重合），AE⊥DG于点E，CF∥AE交DG与点F。

求证：

AE=FC+EF

证明：

∵在正方形ABCD中AD∥BC,

∴∠ADE=∠DGC∵在△DGC中∠DGC+∠GDC=90º

又∠GDC+∠DCF=90º∴∠DGC=∠DCF

∴∠ADE=∠DCF另∵AD=DC∴RT△AED≌△DFC

∴AE=DF，DE=FC∴AE=FC+EF

3、如图l，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMBE，垂足为M，AM交BD于点F．

（1）求证：

OE=OF；

（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?

如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

答案：

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形．

∴BOE=AOF＝90．OB＝OA………………

又∵AMBE，∴MEA+MAE＝90=AFO+MAE

∴MEA＝AFO………………

∴Rt△BOE≌Rt△AOF………………

∴OE=OF………………

（2）OE＝OF成立………………

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴BOE=AOF＝90．OB＝OA………………

又∵AMBE，∴F+MBF＝90=B+OBE

又∵MBF＝OBE

∴F＝E………………

∴Rt△BOE≌Rt△AOF………………

∴OE=OF………………

4、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE＝PB.

（１）求证：

①PE＝PD；②PE⊥PD；

（２）设AP＝x,△PBE的面积为y.

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

证：

①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．

∵PC=PC，∴△PBC≌△PDC（SAS）．

∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．又∵PB=PE，∴PE=PD．

②（i）当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，

∵PB=PE，∴∠PBE=∠PEB，∴∠PEB=∠PDC，

而∠PEB+∠PEC=180°，∴∠PDC+∠PEC=180°，

∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，∴PE⊥PD．

（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．

（iii）当点E在BC的延长线上时

∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴PE⊥PD．

综合（i）（ii）（iii），PE⊥PD；

（2）①过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE．

∵AP=x，AC=，∠ACB=45°，PF⊥BC，

∴PC=2-x，PF=FC=（-x）BF=FE=1-FC=1-（-x）=x．

∴=，

②当时，最大，最大为