单调性与最大小值.docx

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单调性与最大小值

《函数单调性与最值第一课时》教学设计

二、教学内容解析

（1）教学内容的内涵、数学思想方法、教学重点。

本节课选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》第一章第1.3节第一课时。

教材研究的函数的单调性是严格单调，是研究“函数值y随自变量值x的增大而增大（或减

小）”的性质。

这一性质的直观反映了函数从左向右是持续上升还是持续下降的；它反映了的是函数图像的变化趋势。

函数的单调性不同于函数的奇偶性，单调性研究的是函数的局部性质，而奇偶性研究的是函数的整体对称性。

函数单调性的研究过程体现了一些重要的数学思想方法：

1•“数形结合”的思想：

先借助函数图像直观观察，再借助表格列举计算分析归纳发现增减函数的数字特征，再进一步用符号语言刻画。

2.从特殊到一般的思想：

先通过学生比较熟悉的一次函数，二次函数的探究发现“函数值y

随自变量值x的增大而增大（或减小）”的一般规律，再用符号语言抽象出函数单调性的定义。

3•类比的方法：

得出增函数的定义后只需要类比探究就可以得出减函数的定义。

4•体现了研究概念（定义）问题的一般思路：

经历情景化一去情景化一情境再现

经历情景化：

先通过生活实例让学生体会到单调性在实际生活中的背景。

去情境化：

通过两个具体函数的探究发现“函数值y随自变量值x的增大而增大（或减小）”

这一现象，再通过探究分析这一现象的本质，从而抽象出函数单调性的定义。

情境再现：

禾U用定义去分析问题、解决问题。

同时这一研究过程也体现了“发现问题”一“提出问题”一“分析问题”一“解决问题”这一研究问题的一般思路。

教学重点是：

通过活动探究引导学生发现如何用符号化的语言：

在定义域I的某个区间D上

任意取的两个数Xi,X2，当X2时，都有f（Xi）:

:

：

f（X2）（或f（Xi）•f（X2））则称函数为区间

D上的增函数（或减函数）来刻画“函数值y随自变量值X的增大而增大（或减小）”这一特征。

（2）教学内容的知识类型。

1•概念性知识：

函数单调性的定义。

2•程序性知识：

根据函数图像找函数的单调性区间、判断函数的单调性。

3.元认知知识：

“发现问题”一“提出问题”一“分析问题”一“解决问题”这一研究问题的一般思路；从特殊到一般；类比研究的思想均属于元认知知识。

（3）教学内容的上位知识与下位知识。

1.上位知识：

文字语言、图形语言、符号语言、函数的表示方法（图像法、列表法、解析法）、研究函数的基本方法是我们学习函数单调性的上位知识。

2•下位知识：

单调性的证明、根据单调性画函数图像、函数的最值、禾U用单调性比大小是函数单调性的下位知识。

（4）思维教学资源和价值观教学资源。

本节课引入例子摘取自生活实例，再结合天气预报引发学生建立函数模型去观察图像变化趋势从而激发学生观察发现思维；再从学生熟悉的“一次函数、二次函数”入手探究发现函数变化趋势的本质从而抽象定义，既能激发学生从“特殊到一般”从“感性到理性”的思想，也能培养学生“数学抽象”这一素养。

三、教学目标设置

1•通过学生画出两个特殊的一次函数、二次函数的图像能直观地判断函数的变化趋势，并能用文字语言描述函数的变化趋势。

2•通过老师几何画板动画演示和学生的类比探究让学生体会并理解“任意……都……”的含义。

3•通过例题1和定义辨析进一步让学生理解单调性的定义•

4•在两个特殊函数探究中归纳抽象出单调性的定义，从而培养学生“数学抽象”这一素养。

5•在类比增函数的探究方法探究减函数定义过程中，让学生体会“类比方法”。

6•通过生活实例引入，让学生感受数学来源于生活高于生活，体会数学的应用价值。

7•通过活动设计，问题串联，让学生经历过程探究、经历从直观到抽象、从特殊到一般、类比研究的过程，形成理性数学思维，体会事物互相联系互相影响的辩证主义唯物观。

四、学生学情分析

（1）学生已有的认知基础

学生通过初中阶段对一次函数、二次函数、反比例函数的学习，以及高中阶段对函数概念的学习和函数表示方法的学习，已经明确了研究函数的一些基本思路和基本方法。

初中阶段学生也接触过“单调性”它是用描述性的语言即“y随x的增大而增大（或减小）”来描述变量之间的依

赖关系，而一次函数、二次函数、反比例函数都可以很好地呈现这一规律，这位我们抽象函数单调性的定义提供了认知基础。

此外通过学生小学初中阶段的学习，学生具备了一定的数学素养：

如抽象概括、类比推理、数据处理等，为新知学习提供了一定的保障。

（2）达成教学目标所需要认知基础

本节课目标的达成需要学生有一定的“数学抽象”能力和“有限”与“无限”的观点，需要学生有一定的“数形结合”的思想。

（3）“已有基础”与“需要基础”之间的差异

学生对两个具体数据的比较应该是清楚的，但要将具体的数据比较转化为“任意”两个数据大小的比较存在一定认知差异；学生用文字语言描述“y随x的增大而增大（或减小）也是没有问

题的，但要将“文字语言”的描述抽象为为“符号语言”的描述还存在一定差异。

（4）教学难点及突破策略

难点1:

如何用符号语言刻画“y随x的增大而增大（或减小）”。

突破策略：

通过回顾f（x）=x2图像直观感受“y随x的增大而增大（或减小）”;再通过“列表法”由形入数在表中任选两对数据比较其大小第一次发现“y随x的增大而增大（或减小）”在

解析式上的体现：

如当1<2时，有f

（1）：

：

：

f

（2）;再通过几何画板动画演示在x轴上任取两个数

及图像上对应的函数值f（xj,f（X2），比较其函数值的大小，引导学生体会数字表示与字母表示

的区别；从而实现对“y随x的增大而增大（或减小）”的符号化描述。

难点2:

如何理解“任意……都……”

突破策略：

1.结合学生熟悉的问题举例说明“任意……都……”的含义口：

“我班任意一位同学都是好人”，帮助学生理解其含义。

2.在增函数定义探究中老师通过几何画板动画演示在x轴上任取两个数及图像上对应的函

数值f（Xj,f（X2），比较其函数值的大小让学生观察、体会“任意……都……”的含义。

在学生类比探究减函数的定义过程中让学生自己动手用几何画板操作再次体会“任意……都……”的含义。

3.通过概念辨析中设计的三个思考问题，帮助学生理解“任意……都……”的含义。

思考1:

若定义在某区间D上的函数f（x）满足f

（2）>f

（1）,则函数在区间上D上一定是增函数吗？

通过思考1让学生举出反例体会特殊数据的比较不能代表所有数据的比较，体会“任意”的含义。

思考2:

函数在区间（1,3）和［3,5］都是增函数，则函数在区间（1,5］上一定也是增函数吗？

通过思考2设计的问题让学生再次体会“任意……都……”的含义，结合分段函数的反例让学生一方面体会“任意……都……”的含义另一方面体会正因为单调性强调“任意……都……”从而导致了单调性是函数的局部性质这一特征。

1

思考3:

反比例函数f（x）在整个定义域上是减函数吗？

x

通过思考3的设计让学生结合思考2和自己比较熟悉的反比例函数对比再次体会“任意……都……”的含义

五、教学策略分析

（1）教学材料分析

首先从学生身边实例（最高气温随时间变化曲线图）出发，让学生通过自身对温度变化的体验和数据统计曲线图直观感受两个变量之间的变化关系。

再从学生非常熟悉的一次函数、二次函数入手通过图像语言、文字语言描述函数变化趋势；提出问题：

如何用符号语言描述函数变化趋势？

而在后续的“分析问题一解决问题”的过程中，以学生熟悉的二次函数f（x）二X2为载体探究

其内在规律，通过几何画板动画演示如何任取两点比较自变量和函数值的大小，实现学生对“任意……都……”的理解，实现由“形”到“数”的过度。

通过三个思考的辨析加强学生对定义的理解和认识，通过例题1和学生练习让学生理解定义掌握定义，也体现了数学的应用价值。

（2）教学方法分析

本节课活动设计较多，所以采用“导学案”的形式让学生开展探究式学习，同时通过幻灯片及动画展示、学生活动展示等手段采用观察发现、启发引导、合作探究的教学方式开展教学。

（3）设计“问题串”引导学生数学思维活动分析

以学生对函数已有的认知基础为主线展开问题设计。

通过11个关键问题串联引导学生开展探

究。

同时在定义辨析、示范证明过程中通过对细节的一些追问加深学生的问题的认识和理解。

（4）缩小认知差距分析

通过3个探究活动、三个定义辨析、1个例题、1个练习和学生小结交流，让学生充分参与活

动体验，在老师问题设计下实施探究，体会知识的生成过程，逐步缩小认知差距。

（5）学习反馈分析

通过类比探究反馈学生对“任意……都……”的理解是否清晰，通过例题1反馈学生对单调

性定义的理解，通过三个思考问题的辨析反馈学生对概念的理解是否深刻，通过小结反馈学生对本节课涉及的数学知识、方法、思想的认识。

六、教学流程

七、教学过程

教学

环节

师生活动

设计意图

创设情境「引入新课

好友来信贵阳市网庆节毎日最高气温天气预报

1.以生活实例为情景，激发学生的学习兴趣。

（一）

创设

情境

引入

新课

；：

B戟Ji?

门羽工脓利睬IB那

&*仙工・VRIRV1V.EH

：

£

HH（10/1/E1）

问题1你能结合天气预报给我的好朋友一些建议吗?

生：

抽1学生回答、其他学生补充。

问题2：

如果把时间设为x,最高气温设为y,y是x的函数吗?

生：

一起回答。

问题3:

若果y是x的函数，那么函数图像反应了哪些变化规律？

生：

抽1学生回答、其他学生补充。

师：

那么如何研究函数这种变化趋势呢？

这就是今天我们要学习的函数的单调性。

由形入数、提出问题

探究1：

你能相出下列常数图橡.井描述開数有何变化趙势吗?

（1K八刃=x

2•问题2体现数学建模过程，培养学生建模意识。

3•问题3让学生直观感知图像“上升（下降）”并用文字语言

“y随x的增大而增大（或减小）”描述

“上升”“下降”趋势；完成学生对单调性的直观认识。

4•提出本节课题。

（二）

由形

入数

提出

问题

图靈语言'

■I:

（2）./（x）』

在（-<0}大而减小.

満翼的瑞

在YT¥駆的笊丈而聃大.」

加何用符号语言描述函魏的变化趙毎辛

问题4:

画图基本步骤是：

1.，2.，3.

生：

一起回顾画图基本步骤后、再学案上画图研究。

师：

巡视课堂根据学生完成情况随机抽取一个学生上台展示其研究成果。

生：

展示图像及研究结果，是补充纠正。

1•问题4回顾图像画法为学生规范画图做准备。

2.学生展示图像后引导学生结合属相用文字语言描述函数变化趋势完成学生第二次对函数变化趋势的直观认识。

3.通过PPT启发引导学生思考：

数学有三大语言，图形语言和文字语言都能描述函数变化趋势，符号语言能否描述函数变化趋势？

如何

师：

学生展示完后在PPT上小结研究过程：

我们已经从图形语言、文字语言的角度研究了函数的变化趋势；那么如何用符号语言描述

函数的变化趋势呢？

三1师生共探、抽象定义

探究2：

如何用“符号语言”描述函数〃工戶/在（山*丈）¥随斗的增大而增大？

（三）

探究

本质

抽象

定义

在1Q+0丫随胃的増人而憎大.

描述?

从而激发学生学习兴趣，明确研究方向提出研究问题。

1•问题5引导学生回顾函数的一些研究思路和方法，帮助学生找到一些探究思路。

2•问题6进一步引导学生从列表法和解析法（利用解析式）去探究。

x

f（x）

问题7:

列表法能把（0,•：

：

）内的所有的数都比较完吗?

3•问题7帮助学生认识列表法的局限性：

只能实现“有限”个自变量和函数值大小的比较；不能把所有自变量和函数值大小的比较完。

激发学生认知冲突。

4•问题8提出后老师停顿让学生思考，给予学生思考时间引导学生能发现“任取”两点作比较的思路。

5.通过几何画板动画演示帮助学体会如何实现“任意”两个自变量和函数值大小的比较。

帮助学生实现从“有限”到

“无限”的过度。

师：

问题5:

函数的表示方法有？

生：

图像法、列表法、解析法。

师：

问题6:

我们已经用图像法研究过了函数的变化趋势，那我们可否再从列表法、解析法的角度去研究函数的变化趋势呢？

探究方向1:

列表探究

在下表中任取一些自变量的值，比较它们的函数值大小，你能发现

什么结论？

问题8:

如何才能把（0,•：

：

）内的所有的数都比较完呢？

师：

停顿30秒让学生思考、引导学生发现要在函数上任取两个点作比较，然后用几何画板演示为怎么任取两个点，为什么任取两

个点就可以把（0,•二）内的所有的数都比较完。

探究方向2:

解析法（利用解析式研究）：

师：

几何画板演示探究过程.

6•问题9帮助学生归纳总结如何用符号语言描述y随x的增大而增大。

培养学生数学抽象素养。

7•问题10帮助学生实现从“特殊到一般”的过度和认识，抽象出增函数的定

义。

、2

问题9:

你能用符号语言描述f（x）=x在（0,，：

：

）y随x的增大而

增大这一规律了吗？

学生总结如何用符号语言描述y随x的增大而增大：

8•通过探究3设计让学生体会“类比”方法的作用。

问题10：

对任一函数而言，如果满足：

在定义域I的某个区间D

上任意取的两个数^,x2，当x^：

x2时，都有f（N）：

：

：

f（x2），能

说明函数是上升的吗？

抽象增函数的定义：

类比探究*抽象定义

探究弘类比塔函数的探究方法探究函数门和“在卜，uLLf（K）随x增大而减小。

9•问题11帮助学生找到类比探究方向。

10•通过学生在电脑上用几何画板探究，体会“任意

都……”的含义，进而归纳抽象出减函数的定义。

问题11:

我们应该如何类比探究呢？

生:

只需要在函数图像上任取两个点比较它们自变量和函数值的大

小即可。

师：

下面请大家通过几何画板上在函数图像上任取两个点比较它们

自变量和函数值的大小它们有何关系？

探究完成后老师引导学生完成下列问题：

1.学生用符号语言描述y随x的增大而减小：

2.学生类比增函数定义得出减函数的定义：

师：

学生叙述减函数的定义时，老师在PPT上同步播放定义。

1.通过三个辨析让

学生再次体会“任

辨析1：

若定义在区间［-2,3］的函数f（x）满足f（-2）

（四）定义辨析强化理解

生：

练习后展示

师：

点评

辨析2:

函数在区间（1,3）和［3,5］都是增函数，则函数在区间（1,5］上一定也是增函数吗？

生：

练习后展示

师：

点评

1

辨析3：

反比例函数f（x）=-在整个定义域上是减函数吗？

x

生：

练习后展示

师：

点评

意……都……”的含义，加深学生对定义的理解。

2.通过辨析2、3体

会正因为单调性强调“任意

都……”从而导致了单调性是函数的局部性质这一特征。

3.通过辨析3让学生对初中三大函数单调性有了完整的认识。

（五）举例应用掌握定义

例1下图是定义在［-5,5］上的函数y=f（x），根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

通过例1让单调性情境再现，让学生掌握如何用函数图像找函数的单调区间，用图像判断函数的单调性。

3y-M

1111

111

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师生共答。

12345—x

■—2

（六）学生练习加深理解

2

练习：

画出函数f（x）=x-4x-5的图像，并根据图像说出函数的单调区间，以及在各区间上函数是增函数还是减函数？

生：

练习后展示

师：

点评

1•通过学生练习进一步强化学生对定义的理解和掌握。

2•通过展示学生研究结果进一步强化规范作图的习惯。

（七）归纳小结提高认识

师：

这节课你有何收获？

1.知识方面。

2.获取知识的思想方法方面。

3.体验和感悟方面？

生：

学生小结，请不同的学生发言，交流学习心得。

通过学生总结交流培养学生归纳总结的习惯，培养学生

（八）布置作业检测目标

1•必做题

（1）教材39页习题2—3A组1题。

2•选做题

（1）已知函数f（x）对于区间D上的任意实数x,x2都满足：

f（x1）-f（X2）A0则函数在区间D上是增函数吗？

x1—X2

1.通过必做作业检验学生学习成果。

2.通过选做作业培养学生自主学习能力。

3.通过分层作业让不同学生都有不同收获和提高。

（2）已知函数f（X）对于区间D上的任意实数Xi,X2都满足：

f（Xl）—f（X2）<0则函数在区间D上是减函数吗？

X〔一X?

附：

板书设计

PPT课件

单调性的定义

增函数的定义减函数的定义

第九届全国高中青年数学教师观摩与评比活动优秀课

《函数单调性与最值》

授课教师：

贵阳市第三实验中学秦孟彬

点评教师：

贵阳市第十中学葛磊

本节课教师有效采用了探究式教学，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试、体验活动，有效达成了本节课的教学目标，教学环节处理恰当，亮点纷呈。

一、情境引入，注重学生核心素养的培育。

秦老师通过贵阳市2018年国庆期间的天气情况的实际问题作为引入，引导学生将实际问题抽象成数学问题，接着去掉实际背景，从函数的角度来描述时间和气温的变化规律，让学生直观认识到函数的增减性，这是完成数学建模的一个过程，反映教师重视学生数学建模及数学抽象等数学核心素养的培育。

二、新知探究，符合新课程重视过程与方法的理念。

本节“概念教学课”，教师把重点放在概念的形成和探究上，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“函数单

调性”为基本探究内容，符合新课程标准重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向。

三、概念形成，重视观察实验与学生体验。

概念的探究与形成，是本

节课的重点和难点，教师让学生画出函数f（x）二X,f（x）=X2的图象，又让学生直观感受函数图象“上升（下降）”的趋势，引导学生用文字语言描述

“y随X的增大而增大（或减小）”。

然后教师选择大家都熟悉的二次函数f（x）=x2图象为切入点，让学生体验了“观察一实验一归纳一猜想一类比”的数学思想方法，形成了“函数单调性”这一概念，这是本节课的亮点。

四、目标达成，反映教师教学基本功扎实。

教学过程中，教师充分利用现代教育技术手段：

如手机拍照等展示，使得教学过程更为流畅，在知识的形成、发展过程中展开思维和反馈，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

（一）创设情境、引入新课

c邑同学甘久不见了.国氏节

敏昔话£

《函数单调性与最值第一课时》学案

好友来信

皿阳电悄船干・■

<1■叙也2

贵阳市国庆节每H最高气温天气预报

问题1：

你能结合天气预报给我的好朋友一些建议吗？

问题2:

如果把时间设为x,最高气温设为y,y是x的函数吗?

问题3:

若果y是x的函数，那么函数图像反应了哪些变化规律？

（2）由形入数、提出问题

探究1:

画出下列函数f（x）=xf（x）=x2图像，并描述函数有何变化趋势

问题4:

画图基本步骤：

1.，2.，3.

x

f（x）=x

x

f（x）=x2

从左至右

1.图像从左至右

。

1.图像在

2.在y随x的增大而

在从左至右

2.在y随x的增大而

在y随x的增大而

（三）师生共探、抽象定义

探究2:

如何用符号语言描述对函数

f（x）=x2在（0,=：

）y随x的增大而增大?

，2.，3.

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丿

11・

*1111

问题5:

函数的表示方法有：

i

问题6:

我们已经用图像法研究过了函数的变化趋势，那我们可否再从列表法、解析法的角度去研究函数的变化趋势呢？

探究方向1:

列表探究

在下表中任取一些自变量的值，比较它们的函数值大小，你能发现什么结论？

x

f（x）

问题7:

列表法能把（0,=）内的所有的数都比较完吗?

问题&如何才能把（0j：

：

）内的所有的数都比较完呢？

探究方向2:

解析法（利用解析式研究）：

几何画板演示探究过程

问题9:

你能用解析式描述f（x）=x2在（0,=）y随x的增大而增大这一规律了吗?

问题10:

对任一函数而言，如果满足：

在定义域I的某个区间D上任意取的两个数Xi,X2,当x:

:

X2时，都有f（xj：

：

g，能说明函数是上升的吗?

增函数的定义：

（三）类比探究、抽象定义

探究3：

类比增函数的探究方法探究如何用符号语言描述f（x）=x2在（-：

：

0）y随x的

增大而减小

\:

V

L|

■ki1

探究方向1:

列表探究

在下表中任取一些自变量的值，比较它们的函数值大小，你能发现什么结论?

x

f（x）

探究方向2:

解析法（利用解析式探究）

在函数图像上任取两个点比较它们自变量和函数值的大小它们有何关系?

符号语言描述y随x的增大而减小：

减函数的定义：

（4）定义辨析、强化理解

辨析1：

若定义在区间［-2,3］的函数f（x）满足f（-2）

辨析2：

函数在区间（1,3）和［3,5］都是增函数，则函数在区间（1,5］上一定也是增函数吗？

1

辨析3:

反比例函数f（x）在整个定义域上是减函数吗?

x

（5）举例应用、掌握定义

例1下图是定义在［-5,5］上的函数y=f（x），根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

（六）学生练习、加深理解

练习：

画出函数f（x）=x2-4x-5的图像，并根据图像说出函数的单调区间，以及在

各区间上函数是增函数还是减函数?

（七）归纳小结、提高认识这节课你有何收获？

知识方面

获取知识的思想方法方面

情感体验方面

（八）布置作业、检测目标

1.必做题

（1）教材39页习题2—3A组1题。

2.选做题

（1）已知函数f（x）对于区间D上的任意实数洛必都满足：

f（Xl）一f（x2）0则函

捲_x2

数在区间D上是增函数吗？

（2）已知函数f（x）对于区间D上的任意实数x1,x,都满足：

f（X1）一f（