2-2函数的单调性、最大值、最小值.doc

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第2模块第2节

[知能演练]

一、选择题

1．已知函数f（x）＝x2－4x，x∈[1,5]，则函数f（x）的值域是

（　　）

A．[－4，＋∞）　　　　　 B．[－3,5]

C．[－4,5] D．（－4,5]

解析：

∵函数f（x）＝x2－4x的对称轴的方程为x＝2，∴函数f（x）＝x2－4x，x∈[1,5]的最小值为f

（2）＝－4，最大值为f（5）＝5，∴其值域为[－4,5]．

答案：

C

2．函数y＝3x2＋2（a－1）x＋b在区间（－∞，1）上是减函数，那么（

　　）

A．a∈（－∞，－1） B．a＝2

C．a≤－2 D．a≥2

解析：

∵函数y＝3x2＋2（a－1）x＋b为二次函数且开口向上，其对称轴方程为x＝－＝.若使y＝3x2＋2（a－1）x＋b在（－∞，1）上是减函数，则≥1，解得a≤－2.

答案：

C

3．已知函数f（x）为R上的减函数，则满足f（||）

（1）的实数x的取值范围是

（　　）

A．（－1,1） B．（0,1）

C．（－1,0）∪（0,1） D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

解析：

∵f（x）在R上为减函数且f（||）

（1），

∴||>1，即|x|<1且x≠0，得－1

答案：

C

4．若函数f（x）＝（a2－2a－3）x2＋（a－3）x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是

（　　）

A．a＝－1或3 B．a＝－1

C．a>3或a<－1 D．－1

解析：

若a2－2a－3≠0，则f（x）为二次函数，定义域和值域都为R是不可能的．

若a2－2a－3＝0，即a＝－1或3；

当a＝3时，f（x）＝1不合题意；

当a＝－1时，f（x）＝－4x＋1符合题意．

答案：

B

二、填空题

5．y＝的递减区间是________，y＝的递减区间是________．

解析：

y＝＝－1＋，

定义域为（－∞，－1）∪（－1，＋∞），

∴该函数的递减区间为（－∞，－1）和（－1，＋∞）．

对于函数y＝，其定义域为－1

由复合函数的单调性知它的递减区间为（－1,1]．

答案：

（－∞，－1）和（－1，＋∞）　（－1,1]

6．已知f（x）＝是（－∞，＋∞）上的减函数，那么a的取值范围是________．

解析：

∵当x≥1时，y＝logax单调递减；

∴0

而当x<1时，f（x）＝（3a－1）x＋4a单调递减，

∴a<；

又函数在其定义域内单调递减，

故当x＝1时，（3a－1）x＋4a≥logax，得a≥，

综上可知，≤a<.

答案：

≤a<

三、解答题

7．判断f（x）＝在（0,1]上的单调性．

解：

f（x）＝在（0,1]上为减函数．

证明如下：

证法一：

设x1，x2∈（0,1]，且x1

则f（x1）－f（x2）＝－

＝

＝

＝.

∵x1，x2∈（0,1]且x1

∴－>0,1－>0，

∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），

所以f（x）＝在（0,1]上是减函数．

证法二：

∵f（x）＝＝＋＝x－＋x，

∴f′（x）＝－x－＋x－

＝－＋＝.

又∵0

∴f（x）在（0,1]上为减函数．

8．函数f（x）对任意的实数m、n有f（m＋n）＝f（m）＋f（n），且当x>0时有f（x）>0.

（1）求证：

f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数；

（2）若f

（1）＝1，解不等式f[log2（x2－x－2）]<2.

（1）证明：

设x2>x1，则x2－x1>0.

∵f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1＋x1）－f（x1）

＝f（x2－x1）＋f（x1）－f（x1）

＝f（x2－x1）>0，

∴f（x2）>f（x1），f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数．

（2）解：

∵f

（1）＝1，

∴2＝1＋1＝f

（1）＋f

（1）＝f

（2），

又f[log2（x2－x－2）]<2，

∴f[log2（x2－x－2）]

（2），

∴log2（x2－x－2）<2，于是

∴即－2

∴原不等式的解集为{x|－2

[高考·模拟·预测]

1．（2009·辽宁高考）已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）单调增加，则满足f（2x－1）

（　　）

A．（，） B．[，）

C．（，） D．[，）

解析：

f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，又f（x）在[0，＋∞）上递增，∴f（2x－1）

答案：

A

2．（2009·海南、宁夏高考）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f（x）＝min{2x，x＋2,10－x}（x≥0），则f（x）的最大值为

（　　）

A．4 B．5

C．6 D．7

解析：

由画图可知f（x）＝

∴f（x）的最大值为f（4）＝6.故选C.

答案：

C

3．（2009·北京高考）若函数f（x）＝则不等式|f（x）|≥的解集为________．

解析：

依题可得

或

解之得－3≤x<0或0≤x≤1，

∴不等式|f（x）|≥的解集为[－3,1]．

答案：

[－3,1]

4．（2009·江苏镇江）已知函数f（x）＝log2[2x2＋（m＋3）x＋2m]，若f（x）的定义域是R，则实数m的取值集合为A；若f（x）的值域是R，则实数m的取值集合为B，那么A、B满足关系________．

解析：

由f（x）的定义域为R得

Δ＝（m＋3）2－4×2×2m<0，①

由值域为R得

Δ＝（m＋3）2－4×2×2m≥0，②

解不等式①②取并集易得A∪B＝R.

答案：

A∪B＝R

5．（2009·江苏高考）设a为实数，函数f（x）＝2x2＋（x－a）·|x－a|.

（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；

（2）求f（x）的最小值；

（3）设函数h（x）＝f（x），x∈（a，＋∞），直接写出（不需给出演算步骤）不等式h（x）≥1的解集．

解：

（1）因为f（0）＝－a|－a|≥1，所以－a>0，即a<0.由a2≥1知a≤－1.

因此，a的取值范围为（－∞，－1]．

（2）记f（x）的最小值为g（a）．我们有

f（x）＝2x2＋（x－a）|x－a|

＝

Ⅰ.当a≥0时，f（－a）＝－2a2，由①②知f（x）≥－2a2，此时g（a）＝－2a2.

Ⅱ.当a<0时，f（）＝a2.若x>a，则由①知f（x）≥a2；

若x≤a，则x＋a≤2a<0，由②知f（x）≥2a2>a2.此时g（a）＝a2.

综上得g（a）＝

（3）Ⅰ.当a∈∪时，解集为（a，＋∞）；

Ⅱ.当a∈时，解集为；

Ⅲ.当a∈时，解集为

∪.

[备选精题]

6．已知函数f（x）自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称区间A为f（x）的保值区间．

（1）求函数f（x）＝x2形如[n，＋∞）（n∈R）的保值区间；

（2）g（x）＝x－ln（x＋m）的保值区间是[2，＋∞），求m的取值．

解：

（1）若n<0，则n＝f（0）＝0，矛盾．

若n≥0，则n＝f（n）＝n2，解得n＝0或1，

所以f（x）的保值区间为[0，＋∞）或[1，＋∞）．

（2）因为g（x）＝x－ln（x＋m）的保值区间是[2，＋∞），

所以2＋m>0，即m>－2，

令g′（x）＝1－>0，得x>1－m，

所以g（x）在（1－m，＋∞）上为增函数，

同理可得g（x）在（－m,1－m）上为减函数．

若2≤1－m即m≤－1时，则g（1－m）＝2得m＝－1满足题意．

若m>－1时，则g

（2）＝2，得m＝－1，矛盾．

所以满足条件的m值为－1.