立体几何文科练习题精编版doc.docx
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立体几何文科练习题精编版doc
立体几何
1．用斜二测画法画出长为
6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为（）
A.12
B.
24
C.
62
D.
122
2．设m,n是不同的直线，
是不同的平面，下列命题中正确的是
（）
A．若m//,n
mn，则
B．若m//,n
mn，则//
C．若m//,n
m//n，则⊥
D．若m//,n
m//n，则//
3．如图，棱长为
1
的正方体
ABCD
A1B1C1D1中，P为线段A1B
．．
上的动点，则下列结论错误
的是
A．
DC1D1P
B．平面D1A1P平面A1AP
C．
APD1的最大值为900
D．APPD1的最小值为22
4．一个几何体的三视图如图所示（单位：
m），则该几何体的体积为______m3.
5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于.
6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________
1
7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D,E,F，且知
SD:
DASE:
EBCF:
FS2:
1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的.
S
F
D
AEC
B
1
8．如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
2
（1）证明：
PQ⊥平面DCQ；
（2）求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值．[来
9．如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED面ABCD,BAD．
3
（1）求证:
平面BCF//平面AED.
（2）若BFBDa,求四棱锥ABDEF的体积。
10．在四棱锥P
ABCD中，底面ABCD为矩形，PD
底面ABCD，AB
1，BC
2，PD
3，G、F
分别为AP、CD的中点．
（1）
求证：
AD
PC；
（2）
求证：
FG//平面BCP；
2
P
G
DFC
AB
11．如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M,N分别为AF,BC的中点．
（1）求证：
MN//平面CDEF；
（2）求多面体ACDEF的体积．
D
C
2
2
2
E
N
F
M
正视图
2
A
直观图
B
侧视图
2
2
俯视图
12．如图，在三棱锥P
ABC中，ABC
90，PA
平面ABC，E,F分别为PB,PC的中点.
（1）求证：
EF//平面
ABC；
（2）求证：
平面AEF
平面PAB.
P
F
E
AC
B
3
13．如图，在三棱锥P—ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA=6，BC=8,DF=5.
求证：
（1）直线PA∥平面DFE；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
14．如图.直三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B1=A1C1,点D、E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC1B1
（2）直线A1F∥平面ADE．
A1C1
F
B1E
C
A
D
B
4
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：
斜二测法：
要求长边，宽减半，直角变为
450角，则面积为：
6
2
sin450
62.
考点：
直观图与立体图的大小关系.
2．C
【解析】
试题分析：
此题只要举出反例即可，A,B中由n
m
n可得n//
则
可以为任意
角度的两平面,A,B均错误.C,D中由n
m//n可得m
，则有
//
故C正确，D错
误.
考点：
线，面位置关系.
3．C
【解析】
试题分析：
DC1面A1BCD1，∴A正确；D1A1
面ABB1A1，∴B正确；当0
A1P
2
2
时，
APD1为钝角，∴C错；将面AA1B与面ABB1A1沿A1B展成平面图形，线段
A1D即
为AP
PD1的最小值，解三角形易得
A1D=2
2，∴D正确.故选C.
考点：
线线垂直、线面垂直、面面垂直.
4．4
【解析】
试题分析：
已知三视图对应的几何体的直观图，如图所示：
，所
以其体积为：
V2111124，故应填入：
４．
考点：
三视图．
5．24
【解析】
试题分析：
由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图
V
1345
1（1
34）324.
2
3
2
考点：
三视图.
【答案】12
【解析】
1
试题分析：
该几何体是一个直三棱柱，底面是等腰直角三角形
体积为V1
226＝12
2
考点：
三视图，几何体的体积.
7．23
27
【解析】
试题分析：
过
DE作截面平行于平面ABC,可得截面下体积为原体积的
2
3
19
1（）
，若
3
27
过点F，作截面平行于平面
SAB
可得截面上的体积为原体积的
（）
，若C为最低点，
23
8
3
27
以平面DEF
为水平上面，则体积为原体积的
2
2
1
23
1
3
3
，此时体积最大.
3
27
考点：
体积相似计算.
8．
（1）祥见解析；
（2）１．
【解析】
试题分析：
（1）要证直线与平面垂直，只须证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可，注
意到QA⊥平面ABCD，所以有平面PDAQ⊥平面ABCD，且交线为AD，又因为四边形ABCD
为正方形，由面面垂直的性质可得DC⊥平面PDAQ，从而有PQ⊥DC，又因为PD∥QA，且
1
QA＝AB＝PD，所以四边形PDAQ为直角梯形，利用勾股定理的逆定理可证
PQ⊥QD；从
2
而可证PQ⊥平面DCQ；
（2）设AB＝a，则由
（1）及已知条件可用含
a的式子表示出棱锥Q－ABCD
的体积和棱锥P－DCQ的体积从而就可求出其比值．
试题解析：
（1）证明：
由条件知PDAQ为直角梯形．
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ.可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝
2
PD，
2
则PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.
（2）设AB＝a.由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝1
a3.
3
由
（1）知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝
2a，△DCQ的面积为
2
a2，
2
所以棱锥P－DCQ的体积V2＝1
a3.
3
故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1.
考点：
１．线面垂直；２．几何体的体积．
9．
（1）证明过程详见解析；
（2）3a3.
6
【解析】
2
试题分析：
本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积等基础知识，考查
学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由于ABCD是菱形，得到BC//AD，
利用线面平行的判定，得
BC//面ADE，由于BDEF为矩形，得
BF//DE，同理可得BF//面
ADE，利用面面平行的判定，得到面
BCF//面AED；第二问，通过证明得到
AO
面BDEF，
则AO为四棱锥A
BDEF
的高，再求出BDEF的面积，最后利用体积公式V
1Sh，计
3
算四棱锥A-BDEF的体积.
试题解析：
证明：
（1）由ABCD是菱形
BC//AD
BC面ADE,AD
面ADE
BC//面ADE
3分
由BDEF是矩形
BF//DE
BF面ADE,DE
面ADE
BF//面ADE
BC面BCF,BF
面BCF,BC
BF
B
∴平面BCF//平面AED.
6
分
（2）连接AC，ACBD
O
由ABCD是菱形，
AC
BD
由ED面ABCD,AC
面ABCD
ED
AC
ED,BD面BDEF,ED
BD
D
AO
面BDEF，10
分
则AO为四棱锥A
BDEF
的高
由ABCD是菱形，
BAD
，则ABD为等边三角形，
3
由BFBDa；则AD
a,AO
3a
SBDEF
a2
，
2，
VABDEF
1
a2
3a
3a3
14
分
3
2
6
考点：
线线平行、线面平行、面面平行、四棱锥的体积.
10．
（1）见解析；
（2）见解析.
3
【解析】
试题分析：
（1）欲证线线垂直往往通过证明线面垂直（即证明其中一条线垂直于另一条所在
平面）；
（2）欲证线面平行，需在平面内寻找一条直线，并证此线平行于另一直线.此题也可
以采用空间向量证明，即证明FG的方向向量垂直于平面BCP的法向量n即可.
试题解析：
（1）证明：
底面ABCD为矩形ADCD
PD底面ABCD,AD平面ABCDADPD
CDPDDAD平面PDCPC平面ABCDADPC
P
GH
DFC
AB
（2）证明：
取BP中点H，连接GH,CH
G,F分别为AP,DC中点
GH//1
AB,FC//1
AB
2
2
GH//FC
四边形GFCH是平行四边形，
FG//
CH，CH
平面BCP，FG
平面BCP
FG//
平面BCP
考点：
（1）线线垂直；
（2）线面平面.
11．
（1）证明：
见解析；
（2）多面体A
CDEF的体积8．
3
【解析】
试题分析：
（1）由多面体AEDBFC的三视图知，三棱柱AEDBFC中,底面DAE是等
腰
直角三角形，DA
AE
2，DA平面ABEF,侧面ABFE,ABCD都是边长为
2的正方
形．
连结EB，则M是EB的中点，由三角形中位线定理得
MN//EC，得证.
（2）利用DA
平面ABEF，得到EF
AD,
再据EF⊥AE，得到EF⊥平面ADE，从而可得：
四边形CDEF是矩形,且侧面CDEF
⊥平面DAE.
取DE的中点H,得到AH
2,且AH
平面CDEF．利用体积公式计算.
4
所以多面体A
CDEF的体积
V
1
SCDEFAH
1
8．
12分
3
3DEEFAH
3
试题解析：
（1）证明：
由多面体AEDBFC的三视图知，三棱柱AED
BFC中,底面DAE
是等腰
直角三角形，
DAAE2，DA
平面ABEF,侧面ABFE,ABCD都是边长为2的
正方形．连结EB，则M是EB的中点，
在△EBC中，MN//EC，
且EC平面CDEF，MN平面CDEF，
∴MN∥平面CDEF．6分
D
C
H
E
N
F
M
A
B
（2）因为DA
平面ABEF，EF
平面ABEF,
EFAD,
又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE，
∴四边形
CDEF是矩形,且侧面CDEF
⊥平面
DAE
8
分
取DE
的中点H,
DA
AE,
DA
AE
2
AH
2,
且AH
平面
CDEF
10分
．
所以多面体A
CDEF
的体积
V
1
SCDEFAH
1
DE
EF
AH
8．
12分
3
3
3
考点：
三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积
.
12．
（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
试题分析：
（1）由E、F分别为PB、PC中点根据三角形中位线定理知
EF∥BC，根据线面平
行的判定知EF∥面ABC；
（2）由PA⊥面PABC知，PA⊥BC，结合AB⊥BC，由线面垂直的判定
定理知，BC⊥面PAB，由
（1）知EF∥BC，根据线面垂直性质有
EF⊥面PAB，再由面面垂直
判定定理即可证明面
AEF⊥面PAB.
试题解析：
证明:
（1）在
PBC中，
E,F分别为PB,PC的中点
EF//BC3
分
又BC
平面ABC，EF
平面ABC
EF//平面ABC
7
分
（2）由条件，PA
平面ABC，BC
平面ABC
PA
BC
ABC
90，即AB
BC，
10
分
由EF//BC，
EF
AB，EFPA
又PA
AB
A，PA,AB都在平面PAB内
EF
平面PAB
又EF
平面AEF
平面AEF
平面PAB
14
分
考点:
线面垂直的判定与性质；面面垂直判定定理；线面平行判定；推理论证能力
5
13．
（1）详见解析;
（2）
详见解析.
【解析】
试题分析：
（1）由线面平行的判定定理可知
只须证PA与平面DEF内的某一条直线平行即可,
由已知及图形可知应选择
DE,由三角形的中位线的性质易知
:
DE∥PA,从而问题得证；注意
线PA在平面DEG外,而DE在平面DEF内必须写清楚；
（2）
由面面垂直的判定定理可知
只须
证两平中的某一直线与另一个平面垂直即可，
注意题中已知了线段的长度，那就要注意利用
勾股定理的逆定理来证明直线与直线的垂直；通过观察可知：
应选择证
DE垂直平面ABC较
好,由
（1）可知:
DE⊥AC,再就只须证DE⊥EF即可；这样就能得到
DE⊥平面ABC，又DE
平面
BDE，从面而有平面BDE⊥平面ABC．
试题解析：
（1）因为D，E分别为PC,AC的中点，所以DE∥PA.
又因为PA
平面DEF，DE
平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.
（2）因为D，E，F分别人棱PC,AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝1PA＝3，
2
EF＝1BC＝4．
2
2
2
2
。
又因为DF＝5，故DF＝DE+EF，所以∠DEF=90，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC．
又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．考点：
1.线面平行;2.面面垂直.
14．
（1）详见解析；
（2）详见解析．【解析】
试题分析：
（1）由面面垂直的判定定理可知：
要证两个平面互相垂直，只须证明其中一个平
面内的一条直线与另一个平面垂直即可；观察图形及已知条件可知：
只须证平面ADE内的直
线AD与平面BCC1B1垂直即可;而由已知有:
AD⊥DE,又在直三棱柱中易知CC1⊥面ABC,而AD平面ABC，CC1⊥AD,从而有AD⊥面BCC1B1,所以有平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）由线面
平行的判定定理可知：
要证线面平行，只须证明直线与平面内的某一条直线平行即可；不难
发现只须证明A1F∥AD，由
（1）知AD⊥面BCC1B1，故只须证明A1F⊥平面BCC1B1，这一点
很容易获得．
试题解析：
（1）ABC—A1B1C1是直三棱柱，CC1⊥面ABC，
又AD平面ABC，CC1⊥AD
又AD⊥DE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE=E
AD⊥面BCC1B1
又AD
面ADE
平面ADE⊥平面BCCB
6分
1
1
（2）
A
1
B＝AC，F为BC的中点，
AF⊥BC
1
1
1
1
1
1
1
CC1⊥面A1B1C1且A,F
平面A1B1C1
CC1⊥A、F
又CC1，A,F平面BCC1B1，CC1∩B1C1=C1
A1F⊥平面BCC1B1由
（1）知AD⊥平面BCC1B1
A1F∥AD，又AD平面ADE，A1F平面ADE
A1F∥平面ADE12分
考点：
１．面面垂直；２．线面平行．
6
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