浙江省中考数学总复习四边形试题.docx

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浙江省中考数学总复习四边形试题

阶段检测6　四边形

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）

1．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．OE＝

DCB．OA＝OCC．∠BOE＝∠OBAD．∠OBE＝∠OCE

第1题图第2题图第4题图第8题图

2．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．75°

3．关于▱ABCD的叙述，正确的是（　　）

A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形

C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形

4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形OCED的周长为（　　）

A．4B．8C．10D．12

5．在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，当平行四边形ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（　　）

①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

6．将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（　　）

A．360°B．540°C．720°D．900°

7．在平行四边形ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为（　　）

A．3B．5C．2或3D．3或5

8．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为何？

（　　）

A．50°B．55°C．70°D．75°

9．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（　　）

第9题图第10题图

A．7B．8C．7

D．7

10．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB＝4

，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP＋DP最短时，点P的坐标为（　　）

A．（0，0）B.

C.

D.

二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）

11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为　　　　　　　　.

第11题图第12题图第13题图

12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝　　　　　　　　度．

13．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为　　　　　　　　.

14．如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是　　　　　　　　.

15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是　　　　　　　　.

第14题图第15题图第16题图

16．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连结EF交OB于点G，则下列结论中正确的是　　　　　　　　.

（1）EF＝

OE；

（2）S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；（3）BE＋BF＝

OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝

；（5）OG·BD＝AE2＋CF2.

三、解答题（本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分）

17．（2017·安顺）如图，DB∥AC，且DB＝

AC，E是AC的中点，

（1）求证：

BC＝DE；

（2）连结AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？

第17题图

18．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F.

第18题图

（1）求证：

△AOE≌△COF；

（2）当α＝30°时，求线段EF的长度．

19．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连结MD，AN.

第19题图

（1）求证：

四边形AMDN是平行四边形；

（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？

请说明理由．

20.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：

（1）在图1中，画出一个平行四边形，使其面积为6；

（2）在图2中，画出一个菱形，使其面积为4；

（3）在图3中，画出一个矩形，使其邻边不等，且都是无理数．

第20题图

21．如图3是利用四边形的不稳定性制造的一个移动升降装修平台，其基本图形是菱形，主体部分相当于由6个菱形相互连接而成，通过改变菱形的角度，从而可改变装修平台高度．

（1）如图1是一个基本图形，已知AB＝1米，当∠ABC为30°时，求AC的长及此时整个装修平台的高度（装修平台的基脚高度忽略不计）；

（2）当∠ABC从30°变为90°（如图2是一个基本图形变化后的图形）时，求整个装修平台升高了多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：

sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，

≈1.41）

第21题图

22．探究：

如图1，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM＝CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P.

（1）求证：

△ACN≌△CBM；

（2）∠CPN＝　　　　　　　　°.

应用：

将图1的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图2、3，在边AB、BC的延长线上截取BM＝CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图2中∠CPN＝　　　　　　　　°；图3中∠CPN＝　　　　　　　　°.

拓展：

若将图1的△ABC改为正n边形，其他条件不变，则∠CPN＝　　　　　　　　°（用含n的代数式表示）．

第22题图

23．阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：

如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连结起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？

小敏在思考问题时，有如下思路：

连结AC.

第23题图

结合小敏的思路作答．

（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？

说明理由；

参考小敏思考问题的方法解决以下问题：

（2）如图2，在

（1）的条件下，若连结AC，BD.

①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；

②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．

24．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连结PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连结OA、OP.

（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

第24题图

参考答案

阶段检测6　四边形

一、1—5.DCCBB　6—10.DDCCD

二、11.24　12.22.5　13.36°　14.（2＋

，1）　15.5　16.

（1），

（2），（3），（5）

三、17.

（1）∵E是AC中点，∴EC＝

AC.∵DB＝

AC，∴DB＝EC.又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC＝DE.　

（2）添加AB＝BC.理由：

∵DB綊AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC＝DE，AB＝BC，∴AB＝DE.∴▱ADBE是矩形．

第17题图

18.

（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AO＝OC，∴

＝

＝

＝1，∴AE＝CF，OE＝OF，在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF.　

（2）当α＝30°时，即∠AOE＝30°，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠OAD＝60°，∴∠AEO＝90°，在Rt△AOB中，sin∠ABO＝

＝

＝

，∴AO＝1，在Rt△AEO中，cos∠AOE＝cos30°＝

＝

，∴OE＝

，∴EF＝2OE＝

.

第18题图

19．

（1）∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，∵点E是AD中点，∴DE＝AE，在△NDE和△MAE中，

，∴△NDE≌△MAE（AAS），∴ND＝MA，∴四边形AMDN是平行四边形；　

（2）AM＝1.理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝2，∵平行四边形AMDN是矩形，∴DM⊥AB，即∠DMA＝90°，∵∠DAB＝60°，∴∠ADM＝30°，∴AM＝

AD＝1.

20．

（1）如图1，　

（2）如图2，　（3）如图3.

第20题图

21.

（1）连结图1中菱形ABCD的对角线AC、BD，交于点O，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∠ABO＝

∠ABC＝15°，∴OA＝AB·sin∠ABO＝1×sin15°≈0.26米，此时AC＝2AO＝2×0.26＝0.52≈0.5米，故可得整个装修平台的高度＝0.52×6＝3.12≈3.1米；　

（2）当∠ABC从30°变为90°时，AC＝

≈1.41米，此时的整个装修平台的高度＝1.41×6＝8.46米，整个装修平台升高了8.46－3.12≈5.3米．

第21题图

22．探究：

（1）∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°.∴∠ACN＝∠CBM＝120°.在△ACN和△CBM中，

，∴△ACN≌△CBM.　

（2）∵△ACN≌△CBM，∴∠CAN＝∠BCM，∵∠ABC＝∠BMC＋∠BCM，∠BAN＝∠BAC＋∠CAN，∴∠CPN＝∠BMC＋∠BAN＝∠BMC＋∠BAC＋∠CAN＝∠BMC＋∠BAC＋∠BCM＝∠ABC＋∠BAC＝60°＋60°＝120°.应用：

将等边三角形换成正方形，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠ABC＝∠BCD＝90°.∴∠MBC＝∠DCN＝90°.在△DCN和△CBM中，

∴△DCN≌△CBM.∴∠CDN＝∠BCM，∵∠BCM＝∠PCN，∴∠CDN＝∠PCN，在Rt△DCN中，∠CDN＋∠CND＝90°，∴∠PCN＋∠CND＝90°，∴∠CPN＝90°.将等边三角形换成正五边形，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝∠BCD＝108°.∴∠MBC＝∠DCN＝72°.在△DCN和△CBM中，

，∴△DCN≌△CBM.∴∠BMC＝∠CND，∠BCM＝∠CDN，∵∠ABC＝∠BMC＋∠BCM＝108°，∴∠CPN＝180°－（∠CND＋∠PCN）＝180°－（∠CND＋∠BCM）＝180°－（∠BCM＋∠BMC）＝180°－108°＝72°.　拓展：

方法和上面正五边形的方法一样，得到∠CPN＝180°－（∠CND＋∠PCN）＝180°－（∠CND＋∠BCM）＝180°－（∠BCM＋∠BMC）＝180°－

＝

，故答案为

.

23.

（1）是平行四边形，证明：

如图2，连结AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF＝

AC，同理HG∥AC，HG＝

AC，综上可得：

EF∥HG，EF＝HG，故四边形EFGH是平行四边形；　

（2）①AC＝BD.理由如下：

由

（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG＝

BD，HG＝

AC，∴当AC＝BD时，FG＝HG，∴平行四边形EFGH是菱形；　②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：

同①得：

四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF＝90°，∴四边形EFGH为矩形．

第23题图

24．

（1）四边形APQD为平行四边形；　

（2）OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，∴OB＝OQ，在△AOB和△OPQ中，

，

∴△AOB≌△POQ（SAS），∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP；　（3）如图，过O作OE⊥BC于E.①如图1，当P点在B点右侧时，则BQ＝x＋2，OE＝

，∴y＝

×

·x，即y＝

（x＋1）2－

，又∵0≤x≤2，∴当x＝2时，y有最大值为2；②如图2，当P点在B点左侧时，则BQ＝2－x，OE＝

，∴y＝

×

·x，即y＝－

（x－1）2＋

，又∵0≤x≤2，∴当x＝1时，y有最大值为

；综上所述，当x＝2时，y有最大值为2.

第24题图